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一席教育七年级数学下册
第六章 实数 知识讲解+题型归纳+测试卷基础A、提高B
l 知识讲解
一 、 实数的组成
1、实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二 、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1/a.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作 （a>=0）
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四 、实数的运算
有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0
4.有理数除法法则：
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0
b）a0=1（a不等于0）
6.有理数的运算顺序：
a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。
五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a<b；若a-b=0则a=b
3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a<b
B.两个数均为负数时，a/b>1则a<b；a/b<1则a>b
C.一正一负时，正数>负数
4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反
5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
l 题型归纳
l 经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A、1 B、1.4 C、 D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．
【变式3】
【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：（估算）因为，所以选B
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
【答案】1）；.2）-3. 3）， ，
【变式2】求下列各式中的
（1） （2） （3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．
A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.142|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜1.4
∴|-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵＜, ∴|-|=-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
举一反三：
【变式1】化简：
【答案】=+-=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。
解：由题意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三：
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数： ，
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，
根据题意得 x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：
【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
多24cm2，求中间小正方形的边长.
解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
大正方形的面积=，
一个长方形的面积=。
所以，
答：中间的小正方形的面积，
发现的规律是：（或）
(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：
，即 ，
又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
所以有，
化简得：
将代入，得：
cm
答：中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3； （2）的平方根是±15.
（3）当x=0或2时， （4）是分数
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是.
（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
解：由 得
的整数部分a=5, 的小数部分，
∴
（2）解：(1) 设x= ①
则 ②
②-①得
9x=6
∴ .
(2) 设 ①
则 ②
②-①，得
99x=23
∴ .
(3) 设 ①
则 ②
②-①，得
999x=107，
∴ .
l 测试卷基础A、提高B
A组（基础）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（ ）
A． B. C. D.
2. 的平方根是( )
A．4 B. C. 2 D.
3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
无理数。其中正确的说法有（ ）
A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5．对于来说（ ）
A．有平方根 B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数
的个数有（ ）
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）
A． B. C. D.
8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（ ）
A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B. C. D.
二、耐心填一填
11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
21．计算
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ∣∣+∣∣ ⑸ ×+×
⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
参考答案：
一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
二：11、，π-3 12、3，
13、0；0，；0，1 14、 15、答案不唯一 如： 16、5 17、 18、-15 19、2 20、1，9
三：
21、⑴ ⑵-17 ⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9
22、
B组（提高）
一、选择题：
1．的算术平方根是 （ ）
A．0.14 B．0.014 C． D．
2．的平方根是 （ ）
A．－6 B．36 C．±6 D．±
3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在下列各式中，正确的是 （ ）
A．; B．; C．; D．
5．下列说法正确的是 （ ）
A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数
6．下列说法错误的是 （ ）
A． B． C．2的平方根是 D．
7．若，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
8．下列结论中正确的是 （ ）
A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）
A．0 B．6 C．0或-6 D．-12或6
10．下列计算结果正确的是 （ ）
A．B． C． D．
二．填空题:
11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有__________；无理数的有__________.（填序号）
12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是_________；立方根等于它本身的数是_______.
14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题：
16．计算或化简：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
17．已知 ，且x是正数，求代数式的值。
18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，
⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。
参考答案：
一、选择题：
1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B
二．填空题:11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、；0.6. 13、；. 14、； ． 15、3.
三、解答题：16、计算或化简：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17、解： 25x2=144
又∵x是正数
∴x=
∴
18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是
②边长的值在4与5之间
③
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