沪科版初中数学七年级第六章一实数知识点加题型归纳加测试题.doc

一席教育七年级数学下册
第六章 实数 知识讲解+题型归纳+测试卷基础A、提高B
l 知识讲解
一 、 实数的组成

1、实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二 、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1/a.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作 （a>=0）
特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四 、实数的运算
有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0
4.有理数除法法则：
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0
b）a0=1（a不等于0）
6.有理数的运算顺序：
a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。
五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则ab
3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a1则ab
C.一正一负时，正数>负数
4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反
5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
l 题型归纳
l 经典例题
类型一．有关概念的识别
　　1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
　　故选C
　　举一反三：
　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）
　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数
　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

　　A、1　　　 B、14　　　 C、 　　　D、
　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

　　【变式3】
　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0
　　　　　　∴

类型二．计算类型题
　　2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　　　　B.
　　C. 　　　　　　D.
　　解析：（估算）因为，所以选B
　　举一反三：
　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2 -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ，

　　【变式2】求下列各式中的
　　（1） 　　　（2）　　　　（3）
　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合
　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
　　解析：在数轴上找到A、B两点，
　　举一反三：
　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
　　【答案】选C

　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　　　　　　化简
　　【答案】：

类型四．实数绝对值的应用
　　4．化简下列各式：
　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|
　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)
　　(5) |x2+6x+10|
　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
　　解：(1) ∵=1.414…＜1.4
　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4-
　　　　(2) ∵π=3.14159…＜3.142
　　 　　　 ∴|π-3.142|=3.142-π
　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-
　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| =
　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
　　举一反三：
　　【变式1】化简：
　　【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用
　　5．已知：=0，求实数a, b的值。
　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。
　　解：由题意得
　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7
　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
　　　　∴只取a=7
　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21
　　　　∴a7, b=21为所求。
　　举一反三：
　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
　　　　∴ 解这个方程组得
　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
　　【答案】初中阶段的三个非负数： ，
　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题
　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
　　解：设新正方形边长为xcm，
　　　　根据题意得 x2=112+13×8
　　　　∴x2=225
　　　　∴x=±15
　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
　　　　∴只取x=15(cm)
　　答：新的正方形边长应取15cm。
　　举一反三：
　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
　　　　　　　 ，所以面积为=
　　　　　　　 大正方形的面积=，
　　　　　　　 一个长方形的面积=。
　　　　　　　 所以，

　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，
　　　　　　　　　发现的规律是：（或）
　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：
　　　　　　 ，即 ，
　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
　　　　　　 所以有，
　　　　　　 化简得：
　　　　　　 将代入，得：
　　　　　　 cm
　　　　　　 答：中间小正方形的边长2.5 cm。

类型七．易错题
　　7．判断下列说法是否正确
　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±15.
　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数
　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
　　 　　 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

　 　　　　　　故的平方根是.
　　　　　（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，
　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高
　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

　　解：由 得　　
　　　　的整数部分a=5, 的小数部分，
　　　　∴

　　（2）解：(1) 设x= ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①得
　　 　　　　　　9x=6
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　　 (2) 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①，得
　　 　　　　　　99x=23
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　 　(3) 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①，得
　　 　　　　　　999x=107，
　　 　　　　　　∴ .
l 测试卷基础A、提高B
A组（基础）
　　一、细心选一选
　　1．下列各式中正确的是（ ）
A．　　 B. 　　　C. 　　　D.

　　2. 的平方根是( )
　　A．4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D.

　　3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
　 　　无理数。其中正确的说法有（ ）
　　A．3个　　　 B. 2个 　　　C. 1个 　　　D. 0个

　　4．和数轴上的点一一对应的是（ ）
　　A．整数 　　　B.有理数 　　　C. 无理数 　　　D. 实数

　　5．对于来说（ ）
　A．有平方根　 B．只有算术平方根 　C. 没有平方根 　　D. 不能确定

　　6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数
　 　　的个数有（ ）
　　A．3个　　　 B. 4个 　　　C. 5个　　　 D. 6个

　　7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）
A．　　B. 　　　C. 　　　D.

　　8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
　A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与

　　9．-8的立方根与4的平方根之和是（ ）
　　A．0　　　 B. 4　　　 C. 0或-4　　　 D. 0或4

　　10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
　　A． 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　二、耐心填一填
　　11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
　　12．的算术平方根是_______，=______。
　　13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
　　14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
　　15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6。
　　16．大于，小于的整数有______个。
　　17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
　　18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
　　19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
　　20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

　　三、认真解一解
　　21．计算
　　⑴ 　　⑵ 　　　　　⑶
⑷ ∣∣+∣∣　⑸ ×+×
　　⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）

　　22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：

参考答案：
　　一 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
二：11、，π-3 　　　　12、3，
　　　　13、0；0，；0，1　　　　　14、 　　　　15、答案不唯一 如： 　16、5 17、 　18、-15　　 19、2 　　　　　　　　　　　　　　 20、1，9

　　三：
　　21、⑴　 ⑵-17　 ⑶-9 　⑷2 ⑸-36 　⑹37.9

　　22、

B组（提高）
　　一、选择题：
　　1．的算术平方根是 （ ）
　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D．

　　2．的平方根是 （ ）

　　A．－6 　　　B．36　　　 C．±6 　　　D．±
　　3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，
　 　　其中正确的个数有 （ ）
　　A．1个 　　　B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个

　　4．在下列各式中，正确的是 （ ）
　　A．; 　　B．;　　 C．;　　 D．

　　5．下列说法正确的是 （ ）
　　A．有理数只是有限小数 　　B．无理数是无限小数　　 C．无限小数是无理数 　　D．是分数

　　6．下列说法错误的是 （ ）
　　A． 　B． 　C．2的平方根是 　D．
7．若，且，则的值为 （ ）
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．
8．下列结论中正确的是 （ ）
　　A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; 　　　B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
　　C. 两个无理数之和一定是无理数;　D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）
　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或-6　　　 D．-12或6

　　10．下列计算结果正确的是 （ ）
　A．B． C．　　　 D．

　　二．填空题:
　　11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有__________；无理数的有__________.（填序号）
　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是_________；立方根等于它本身的数是_______.
　　14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
　15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.

　　三、解答题：
　　16．计算或化简：
　　(1) 　　　　　(2) 　　　　　 (3)
　　4) 　　　　(5) 　　(6)
17．已知 ，且x是正数，求代数式的值。

　　18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，
⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
　　⑶把边长在数轴上表示出来。
参考答案：
　　一、选择题：
　　1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B
二．填空题:11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、；0.6. 13、；. 14、； ． 15、3.
三、解答题：16、计算或化简：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17、解： 25x2=144
　　　　　　 又∵x是正数
　　　　　　 ∴x=
　　　　　　 ∴
18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是
　　　　　　②边长的值在4与5之间
　　　　　　③