资源描述
专题定位 本专题主要是综合应用动力学方法和功能关系解决带电粒子在电场和磁场中的运动问题．这部分的题目掩盖的内容多，物理过程多，且情景简洁，综合性强，常作为理综试卷的压轴题．高考对本专题考查的重点有以下几个方面：①对电场力的性质和能的性质的理解；②带电粒子在电场中的加速和偏转问题；③带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题；④带电粒子在电场和磁场的组合场中的运动问题；⑤带电粒子在电场和磁场的叠加场中的运动问题；⑥带电粒子在电场和磁场中运动的临界问题．
应考策略 针对本专题的特点，应“抓住两条主线、明确两类运动、运用两种方法”解决有关问题．两条主线是指电场力的性质(物理量——电场强度)和能的性质(物理量——电势和电势能)；两类运动是指类平抛运动和匀速圆周运动；两种方法是指动力学方法和功能关系．
第1课时 电场与磁场的理解
1．对电场强度的三个公式的理解
(1)E＝是电场强度的定义式，适用于任何电场．电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与摸索电荷q无关．摸索电荷q充当“测量工具”的作用．
(2)E＝k是真空中点电荷所形成的电场的打算式．E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r打算．
(3)E＝是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，留意：式中d为两点间沿电场方向的距离．
2．电场能的性质
(1)电势与电势能：φ＝.
(2)电势差与电场力做功：UAB＝＝φA－φB.
(3)电场力做功与电势能的变化：W＝－ΔEp.
3．等势面与电场线的关系
(1)电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(2)电场线越密的地方，等差等势面也越密．
(3)沿等势面移动电荷，电场力不做功，沿电场线移动电荷，电场力确定做功．
4．带电粒子在磁场中的受力状况
(1)磁场只对运动电荷有力的作用，对静止电荷无力的作用．磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
(2)洛伦兹力的大小和方向：其大小为F＝qvBsin θ，留意：θ为v与B的夹角．F的方向由左手定则判定，但四指的指向应为正电荷运动的方向或负电荷运动方向的反方向．
5．洛伦兹力做功的特点
由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以洛伦兹力永不做功，但洛伦兹力的分力可以做功．
1．本部分内容的主要争辩方法有：(1)抱负化模型．如点电荷、电场线、等势面；(2)比值定义法．电场强度、电势的定义方法是定义物理量的一种重要方法；(3)类比的方法．电场和重力场的比较；电场力做功与重力做功的比较；带电粒子在匀强电场中的运动和平抛运动的类比．
2．静电力做功的求解方法：(1)由功的定义式W＝Flcos α来求；(2)利用结论“电场力做功等于电荷电势能增量的负值”来求，即W＝－ΔEp；(3)利用WAB＝qUAB来求．
3．争辩带电粒子在电场中的曲线运动时，接受运动合成与分解的思想方法；带电粒子在组合场中的运动实际是类平抛运动和匀速圆周运动的组合，类平抛运动的末速度就是匀速圆周运动的线速度．
考向1 对电场性质的理解
例1 如图1所示，实线为电场线，虚线为等势面，两相邻等势面间电势差相等．A、B、C为电场中的三个点，且AB＝BC，一个带正电的粒子从A点开头运动，先后经过B、C两点，若带电粒子只受电场力作用，则下列说法正确的是( )
图1
A．粒子在A、B、C三点的加速度大小关系aA>aB>aC
B．粒子在A、B、C三点的动能大小关系EkC>EkB>EkA
C．粒子在A、B、C三点的电势能大小关系EpC>EpB>EpA
D．粒子由A运动至B和由B运动至C电场力做的功相等
审题突破 加速度是由什么力产生的？据图如何推断加速度大小关系？A、B、C三点的电势大小关系如何？AB和BC间的电势差哪个大？
解析 由电场线可知EC＞EB＞EA，因此aC＞aB＞aA，故A错误；粒子从A点运动经过B、C，电场力做正功，动能不断增加，因此EkC＞EkB＞EkA，故B正确；由于沿着电场线，电势渐渐降低，故φA＞φB＞φC，因此带正电粒子的电势能大小关系EpA＞EpB＞EpC，故C错误；由于从A到B过程的电场力小于从B到C过程的电场力，故从A到B过程的电场力做功较少，因此粒子由A运动至B和由B运动至C电场力做的功不等，D错误．
答案 B
以题说法 1.在静电场中，通常利用电场线和等势面的两个关系分析电场的性质：一是二者确定处处垂直；二是电场线密的地方，等差等势面也密，且电场线由电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
2．在分析电场性质时，要特殊留意电场强度、加速度、电势、电场力做功、动能、电势能等物理量的基本推断方法．
(2022·江苏·4)如图2所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O.下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )
图2
A．O点的电场强度为零，电势最低
B．O点的电场强度为零，电势最高
C．从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势上升
D．从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低
答案 B
解析 依据电场的对称性和电场的叠加原理知，O点的电场强度为零．在x轴上，电场强度的方向自O点分别指向x轴正方向和x轴负方向，且沿电场线方向电势越来越低，所以O点电势最高．在x轴上离O点无限远处的电场强度为零，故沿x轴正方向和x轴负方向的电场强度先增大后减小．选项B正确．
考向2 电场矢量合成问题
例2 如图3所示，a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc＝120°.现将三个等量的正点电荷＋Q分别固定在a、b、c三个顶点上，则下列推断正确的是( )
图3
A．d点电场强度的方向由d指向O
B．O点处的电场强度是d点处的电场强度的2倍
C．bd连线为一等势线
D．引入一个电量为＋q的点电荷，依次置于O点和d点，则在d点所具有的电势能大于在O点所具有的电势能
审题突破 三个电荷都在O点、d点产生电场，该用什么方法推断这两点场强的大小和方向呢？Od连线上电场线的方向能推断吗？
解析 由点电荷的电场及电场的叠加可知，O点处的场强等于b处点电荷在O点产生的场强，设菱形的边长为L，则EO＝k，方向由b指向O，而在d处的点电荷由a、b、c处的点电荷产生，其大小为Ed＝2k＝EO，方向也沿bO方向，A错误，B正确；bd是a、c两处电荷连线的中垂线，由两等量正电荷的电场中电势分布可知，在a、c两点电荷的电场中O点电势高于d点电势，而在点电荷b的电场中，O点电势也高于d点电势，再由电势叠加可知，O点电势高，而正电荷在电势越高处，电势能越大，C、D错误．
答案 B
以题说法 1.娴熟把握常见电场的电场线和等势面的画法．
2．对于简洁的电场场强、电场力合成时要用平行四边形定则．
3．电势的凹凸可以依据“沿电场线方向电势降低”或者由离正、负场源电荷的距离来确定．
如图4甲所示，MN为很大的薄金属板(可理解为无限大)，金属板原来不带电．在金属板的右侧，距金属板距离为d的位置上放入一个带正电、电荷量为q的点电荷，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．几位同学想求出点电荷和金属板垂直连线之间中点a的电场强度大小，但发觉问题很难．几位同学经过认真争辩，从图乙所示两等量异号点电荷的电场分布得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是完全一样的．图乙中两等量异号点电荷的大小也为q，他们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别求出了a点的电场强度大小，一共有以下四个不同的答案(答案中k为静电力常量)，其中正确的是( )
图4
A. B. C. D.
答案 C
解析 依据a点的电场线方向可得a点的电场强度方向是垂直于金属板向左，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，乙图上＋q左侧处的场强大小为E＝k＋k＝，依据题意可知，a点的电场强度大小与乙图上＋q左侧处的场强大小相等，即为.
考向3 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
例3 (2022·江苏·14)某装置用磁场把握带电粒子的运动，工作原理如图5所示．装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．转变粒子入射速度的大小，可以把握粒子到达收集板的位置．不计粒子的重力．
图5
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
审题突破 粒子在磁场中做圆周运动，画一画如何才能到达P点？怎么由几何关系求宽度？粒子到达N点的轨迹又如何？
解析 (1)设粒子在磁场中的轨迹半径为r，粒子的运动轨迹如图所示．
依据题意知L＝3rsin 30°＋dcot 30°，且磁场区域的宽度h＝r(1－cos 30°)
解得：h＝(L－d)(1－)．
(2)设转变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r′，洛伦兹力供应向心力，则有m＝qvB，m＝qv′B，
由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°，
解得粒子速度的最小变化量Δv＝v－v′＝(－d)．
(3)设粒子经过上方磁场n次
由题意知L＝(2n＋2)cot 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
且m＝qvnB，解得vn＝(－d)(1≤n<－1，n取整数)．
答案 (1)(L－d)(1－) (2)(－d)
(3)(－d)(1≤n<－1，n取整数)
以题说法 1.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，查找临界点，确定临界状态，依据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系．
2．粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切．
如图6所示，在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面对里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.在正方形对角线CE上有一点P，其到CF、CD距离均为，且在P点处有一个放射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向放射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m，电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力．
图6
(1)速率在什么范围内的全部离子均不行能射出正方形区域？
(2)求速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围．
答案 (1)v≤ (2)≤d<
解析 因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做圆周运动．
(1)依题意可知离子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域，做圆周运动的半径为r≤.
对离子，由牛顿其次定律有qvB＝m⇒v＝≤.
(2)当v＝时，设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由qvB＝m可得R＝＝·＝.
甲
要使离子从DE射出，则其必不能从CD射出，其临界状态是离子轨迹与CD边相切，设切点与C点距离为x，其轨迹如图甲所示，
由几何关系得：
R2＝(x－)2＋(R－)2，
计算可得x＝L，
设此时DE边出射点与D点的距离为d1，则由几何关系有：(L－x)2＋(R－d1)2＝R2，
解得d1＝.
乙
而当离子轨迹与DE边相切时，离子必将从EF边射出，设此时切点与D点距离为d2，其轨迹如图乙所示，由几何关系有：
R2＝(L－R)2＋(d2－)2，
解得d2＝.
故速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围为≤d<.
8．带电粒子在匀强磁场中的多过程问题
例4 (22分)如图7所示，无限宽广的匀强磁场分布在xOy平面内，x轴上下方磁场均垂直xOy平面对里，x轴上方的磁场的磁感应强度为B，x轴下方的磁场的磁感应强度为B.现有一质量为m、电量为－q的粒子以速度v0从坐标原点O沿y轴正方向进入上方磁场．在粒子运动过程中，与x轴交于若干点．不计粒子的重力．求：
图7
(1)粒子在x轴上方磁场做匀速圆周运动的半径；
(2)设粒子在x轴上方的周期为T1，x轴下方的周期为T2，求T1∶T2；
(3)如把x轴上方运动的半周与x轴下方运动的半周称为一周期的话，则每经过一周期，在x轴上粒子右移的距离；
(4)在与x轴的全部交点中，粒子两次通过同一点的坐标位置．
思维导图
解析 (1)设粒子在x轴上方磁场做匀速圆周运动的半径为r1，在下方磁场中做匀速圆周运动的半径为r2，
由Bqv0＝m得r1＝，r2＝(6分)
(2)由T＝得
T1＝(2分)
T2＝(2分)
T1∶T2＝4∶3(2分)
(3)在磁场中运动轨迹如图所示，如把x轴上方运动的半周与x轴下方运动的半周称为一周期的话，则每经过一周期，在x轴上粒子右移Δx＝2r1－2r2＝(5分)
(4)则在第4周期刚结束时粒子其次次经过x1＝2r1的这一点，以后每过一周期将会毁灭符合要求的点．
故xk＝2r1＋＝r1＝(k＝1,2,3…)(5分)
答案 (1) (2)4∶3 (3) (4)(k＝1,2,3…)
(限时：15分钟，满分：18分)
(2022·重庆·9)如图8所示，在无限长的竖直边界NS和MT间布满匀强电场，同时该区域上、下部分分别布满方向垂直于NSTM平面对外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上、下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h.质量为m、带电量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.
图8
(1)求电场强度的大小和方向．
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的全部可能值．
答案 (1)，方向竖直向上 (2)(9－6)
(3)
解析 (1)设电场强度大小为E.
由题意有mg＝qE，
得E＝，方向竖直向上．
(2)如图所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ.
由r＝，
有r1＝，r2＝＝r1，
由(r1＋r2)sin φ＝r2，
r1＋r1cos φ＝h，
得vmin＝(9－6).
(3)如图所示，
设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x.
由题意有3nx＝1.8h，(n＝1,2,3，…)，
由(2)知x≥r2＝，
x＝，
得r1＝(1＋)，n≤0.6(3＋2)≈3.5，
即n＝1时，v＝；
n＝2时，v＝；
n＝3时，v＝.
(限时：45分钟)
题组1 对电场性质的理解
1．(2022·新课标Ⅰ·21)如图1所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M＝30°.M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示．已知φM＝φN，φP＝φF；点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则( )
图1
A．点电荷Q确定在MP的连线上
B．连接PF的线段确定在同一等势面上
C．将正摸索电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．φP大于φM
答案 AD
解析 电场是由正点电荷产生的，所以电场线由正点电荷指向无穷远处，并且跟点电荷距离相等的点，电势相等，场强大小相等．由于φM＝φN，φP＝φF，所以点电荷Q到M和N的距离相等，到P和F的距离相等，即过F作MN的中垂线，然后作FP的中垂线，两中垂线的交点为点电荷Q所在的位置，由几何学问得Q在MP上，如图所示，故选项A正确；点电荷形成的电场中等势面是球面，故选项B错误；正摸索电荷与Q同号，所以受斥力作用，故将其从P点搬运到N点时，电场力做正功，故选项C错误；由几何关系知点电荷Q距M的距离大，距P的距离小，所以φM<φP，故选项D正确．
2．两点电荷形成电场的电场线分布如图2所示，若图中A、B两点处的场强大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则( )
图2
A．EA<EB，φA>φB B．EA<EB，φA<φB
C．EA>EB，φA<φB D．EA>EB，φA>φB
答案 D
解析 依据电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图知，A处电场线密集，故EA>EB；沿电场线的方向电势降低，所以A、B两点的电势φA>φB，所以A、B、C错误，D正确．
3．空间存在着方向平行于x轴的静电场，A、M、O、N、B为x轴上的点，OA<OB，OM＝ON，AB间的电势φ随x的分布为如图3所示的折线，一个带电粒子在电场中仅在电场力作用下从M点由静止开头沿x轴向右运动，则下列推断正确的是( )
图3
A．粒子确定带正电
B．粒子确定能通过N点
C．AO间的电场强度小于OB间的电场强度
D．粒子从M向O运动过程中所受电场力均匀增大
答案 B
解析 A到O电势上升是逆电场线，粒子仅在电场力作用下，从M点由静止开头沿x轴向右运动即逆电场线方向运动，故粒子确定带负电，A错误；由图可知，M点的电势小于N点的电势，故M到O电场力做的功大于O到N电场力做的功，所以粒子能通过N点，故B正确；由于图象的斜率表示电场强度，则AO间的电场强度大于OB间的电场强度，故C错误；粒子从M向O运动过程电场力不变，故D错误．
题组2 电场矢量合成问题
4．如图4所示，在正方形区域的四个顶点固定放置四个点电荷，它们的电量的确定值相等，电性如图中所示．K、L、M、N分别为正方形四条边的中点，O为正方形的中心．下列关于各点的电场强度与电势的推断正确的是( )
图4
A．K点与M点的电场强度大小相等、方向相反
B．O点的电场强度为零
C．N点电场强度的大小大于L点电场强度的大小
D．K、O、M三点的电势相等
答案 D
解析 K点与M点的电场强度大小相等、方向相同，所以A错误；O点的电场强度不为零，所以B错误；N点的电场强度大小等于L点的电场强度大小，所以C错误．
5．如图5所示是一个正方体ABCDEFGH，m点是ABCD面的中点、n点是EFGH面的中点．当在正方体的八个角上各固定一个带电量相同的正点电荷，比较m、n两点的电场强度和电势，下列推断正确的是
图5
A．电场强度相同，电势相等
B．电场强度不相同，电势不相等
C．电场强度相同，电势不相等
D．电场强度不相同，电势相等
答案 D
解析 由对称性可知，m、n点电场强度大小相等，m点电场强度方向垂直ABCD面对上，n点电场强度方向垂直EFGH面对下，两点电场强度的方向相反．由叠加可知m、n点连线中点的电场强度为0.当电荷沿m、n连线从m点移动到n点的过程中电场力做功确定为0，表明m、n两点电势相等，故D正确．
6．如图6所示，在真空中固定两个等量异号点电荷＋Q和－Q，图中O点为两点电荷连线的中点，P点为连线上靠近－Q的一点，MN为过O点的一条线段，且M点与N点关于O点对称．则下列说法正确的是( )
图6
A．M、N两点的电势相等
B．M、N两点的电场强度相同
C．将带正电的摸索电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电荷的电势能先增大后减小
D．只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，则O点的电场强度变大
答案 BD
解析 依据等量异号点电荷电场分布的对称性，M、N两点的电场强度相同，电势不相等，故A错误，B正确；将带正电的摸索电荷从M点沿直线移到N点的过程中，电场力做正功，电势能减小，故C错误；只将－Q移到P点，其他点在空间的位置不变，－Q在O点产生的电场强度变大，则O点的合电场强度变大，故D正确．
7．如图7所示，在场强大小为E，方向水平向右的匀强电场中，放一个电荷量为－q的点电荷，A、B、C、D四点在以点电荷为圆心、半径为r的圆周上，并且A点、C点与点电荷在同一水平线上，B点、D点与点电荷在同一竖直线上，则下列说法正确的是( )
图7
A．A点电场强度最大，且为E＋k
B．B、D两点电场强度大小相等，方向相同
C．同一点电荷在B点和D点时的电势能相等
D．同一点电荷在A点和C点时的电势能相等
答案 AC
解析 A、B、C、D四点的场强是水平向右的匀强电场和点电荷产生的电场的叠加，A点二者同向电场强度最大，且为E＋k，B、D两点电场强度大小相等，方向不同，故A正确，B错误；点电荷的电场，同心圆上各点的电势相等，BD与匀强电场垂直，是匀强电场的等势线，所以B、D两点的电势相等，由Ep＝qφ知，同一点电荷在B点和D点时的电势能相等，故C正确；AC与匀强电场的电场线平行，A点的电势高于C点的电势，同一正点电荷在A点具有的电势能高于在C点时具有的电势能，故D错误．
题组3 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
8．如图8所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面对外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射人，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
图8
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．粒子距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区
C．粒子距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 A项，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力供应向心力，依据牛顿其次定律，有：qvB＝m，
其中v＝，解得r＝d，故A错误；
B项，画出恰好不进入Ⅱ区的临界轨迹，如图所示：
结合几何关系，有：
AO＝＝2r＝2d，
故从距A点0.5d处射入会进入Ⅱ区，故B错误；
C项，粒子从距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的轨迹为半个圆周，故时间为t＝＝，故C正确；
D项，从A点进入的粒子在磁场Ⅱ区域中运动的轨迹最短(弦长也最短)，运动时间最短，轨迹如图所示：
轨迹对应的圆心角为60°，故时间为t＝＝，故D正确．
9．如图9所示，在匀强电场中建立直角坐标系xOy，y轴竖直向上，一质量为m、电荷量为＋q的微粒从x轴上的M点射出，方向与x轴夹角为θ，微粒恰能以速度v做匀速直线运动，重力加速度为g.
图9
(1)求匀强电场场强E；
(2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场，使微粒能到达x轴上的N点，M、N两点关于原点O对称，距离为L，微粒运动轨迹也关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面对外，求磁场区域的最小面积S及微粒从M运动到N的时间t.
答案 (1)，方向竖直向上 (2) ＋
解析 (1)对微粒有qE－mg＝0，得E＝
方向竖直向上．
(2)微粒在磁场中有qvB＝m，解得R＝.
如图所示，当PQ为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小．有r＝Rsin θ
其面积S＝πr2＝
又T＝(或T＝)
依据几何关系可知偏转角为2θ
则在磁场中运动的时间t2＝T＝
又MP＝QN＝，且有t1＝t3＝
故运动的时间t＝t1＋t2＋t3＝＋＝＋＝＋
题组4 带电粒子在匀强磁场中的多过程问题
10．如图10所示，在坐标系xOy的其次象限内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第三象限内存在匀强磁场Ⅰ，y轴右侧区域内存在匀强磁场Ⅱ，Ⅰ、Ⅱ磁场的方向均垂直于纸面对里．一质量为m、电荷量为＋q的粒子自P(－l，l)点由静止释放，沿垂直于x轴的方向进入磁场Ⅰ，接着以垂直于y轴的方向进入磁场Ⅱ，不计粒子重力．
图10
(1)求磁场Ⅰ的磁感应强度B1；
(2)若磁场Ⅱ的磁感应强度B2＝B1，粒子从磁场Ⅱ再次进入电场，求粒子其次次离开电场时的横坐标；
(3)若磁场Ⅱ的磁感应强度B2＝3B1，求粒子在第一次经过y轴到第六次经过y轴的时间内，粒子的平均速度．
答案 (1) (2)－2l
(3) ，方向沿y轴负方向
解析 (1)设粒子垂直于x轴进入磁场Ⅰ时的速度为v，
由运动学公式2al＝v2
由牛顿其次定律Eq＝ma
由题意知，粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为l，
由牛顿其次定律qvB1＝
解得B1＝ .
甲
(2)粒子运动的轨迹如图甲所示，粒子再次进入电场，在电场中做类平抛运动，有
x＝vt
l＝at2
解得x＝2l，
则粒子其次次离开电场时的横坐标x′＝－x＝－2l.
乙
(3)粒子运动的轨迹如图乙所示．
设粒子在磁场Ⅰ中运动的半径为r1，周期为T1，在磁场Ⅱ中运动的半径为r2，周期为T2.
r1＝l
3qvB1＝
T1＝＝
T2＝＝
得r2＝＝
T2＝
粒子在第一次经过y轴到第六次经过y轴的时间t＝T1＋T2，
粒子在第一次经过y轴到第六次经过y轴的时间内的位移x＝4r1－6r2＝2l，
平均速度＝，联立解得＝ ，方向沿y轴负方向．
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