2021高考数学总复习专题系列——圆锥曲线综合.板块六.与原点相关的问题.学生版.docx

板块六.与原点相关的问题

典例分析

【例1】 直线交抛物线于两点，为抛物线的顶点，，则的值为_____．

【例2】 椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，，且，求此椭圆的方程．

【例3】 中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于两点、，且．求椭圆的方程．

【例4】 给定抛物线：，是的焦点，过点的直线与相交于、两点．
⑴设的斜率为，求与夹角的余弦值；
⑵设，若，求在轴上截距的变化范围．

【例5】 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，．
⑴求椭圆的方程；
⑵若，且，求的值（点为坐标原点）；
⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

【例6】 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．
⑴ 求的方程；
⑵ 平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程．

【例7】 在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于，两点．
⑴ 写出的方程；
⑵ 若，求的值；
⑶ 若点在第一象限，证明：当时，恒有．

【例8】 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【例9】 如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点．

⑴ 若，求直线的方程；
⑵ 设直线的斜率分别为，若，求的值．

【例10】 已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求线段的长度的最小值；
⑶在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【例11】 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，，．
⑴ 设动点满足，求点的轨迹；
⑵ 设，，求点的坐标；
⑶ 设，求证：直线必过轴上的确定点（其坐标与无关）