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板块四.中点问题
典例分析
【例1】 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】 设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点．若的中点为，则直线的方程为_____________．
【例3】 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线．当直线的斜率为时，在轴上截距的取值范围为_________．
【例4】 已知定点，，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、
⑴求的方程；
⑵试推断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由．
【例5】 已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程．
【例6】 已知椭圆：，试确定的取值范围，使得对于直线：，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称．
【例7】 已知的三边长，，成等差数列，若点的坐标分别为，．
⑴求顶点的轨迹的方程；
⑵若线段的延长线交轨迹于点，记线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，试将表示成直线的斜率的表达式．
⑶当时，求的取值范围．
【例8】 已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
①若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
②在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例9】 已知椭圆的方程为，点的坐标为．
⑴ 若直角坐标平面上的点、，满足，求点的坐标；
⑵ 设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；
⑶ 对于椭圆上的点 ，假如椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出访、存在的的取值范围．
【例10】 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值
【例11】 已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率．
⑴求椭圆的方程；
⑵求的角平分线所在直线的方程；
⑶在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，说明理由．
【例12】 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的中点到焦点的距离．
【例13】 已知双曲线的方程为，试问：是否存在被点平分的弦？假如存在，求出弦所在的直线方程；假如不存在，说明理由．
【例14】 已知：双曲线，过点能否作直线，使与已知双曲线交于点，且点是线段的中点，假如存在，写出它的方程，假如不存在，说明理由．
【例15】 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
⑴ 求双曲线的方程；
⑵ 若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
【例16】 已知斜率为1的直线与双曲线相交于、两点，且的中点为．
⑴求的离心率；
⑵设的右顶点为，右焦点为，，证明：过、、三点的圆与轴相切．
【例17】 已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合（如图）．
⑴写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
⑵求线段中点的坐标；
⑶求所在直线的方程．
【例18】 如图，、为函数图象上两点，且轴，点是边的中点．
⑴设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；
⑵求函数的最大值，并求出相应的点的坐标．
【例19】 若直线与抛物线交于、两点，且中点的横坐标为，求此直线方程．
【例20】 若曲线上总存在两个对称于直线的不同的点，求取值的范围．
【例21】 求常数的范围，使曲线的全部弦都不能被直线垂直平分．
【例22】 已知，动点到定点的距离比到定直线的距离小．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵设是轨迹上异于原点的两个不同点，，求面积的最小值；
⑶在轨迹上是否存在两点关于直线对称？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
【例23】 已知抛物的焦点为，以为圆心，长为半径画圆，在轴上方交抛物线于、不同的两点，若为的中点．
⑴求的取值范围；
⑵求的值；
⑶问是否存在这样的值，使、、成等差数列？
【例24】 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程．
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
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