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第2讲 直线与圆
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一、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝_______.
解析 由弦切角定理得，
∠MCA＝∠ABC，sin ∠ABC＝＝＝＝，则sin ∠MCA＝.
答案
2．(2022·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
解析 由题意QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PA＝4，∵PA＝PB，∴PB＝4.
答案 4
3.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
解析 由于AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由于CF∥BD，所以＝即＝，BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以DC·DA＝BD2即4x2＝，所以x＝.
答案
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.
解析 由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB，
又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.
答案 2
5.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析 由题意知，AB＝6，AE＝1，
∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
答案 5
6.如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析 ∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，又∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB.∴＝，
∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝.
答案
7.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______．
解析 ∵AC、AD分别是两圆的切线，
∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，
∴△ACB∽△DAB.
∴＝，
∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.
∴AB＝2(舍去负值)．
答案 2
8．(2021·湖南卷)如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
解析 由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.
又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，
∴CD＝PC＋PD＝5.
过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，
∴OE＝＝＝.
答案
9.(2021·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，
∴AC＝10，BC＝10.
∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.
∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.
由切割线定理得DC2＝DE·DB，
即(5)2＝15DE，
∴DE＝5.
答案 5
二、解答题
10.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．
(1)证明 ∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD.
(2)解 ∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
由(1)知OC∥AD，
∴AD⊥DC，即∠ADC＝90°，
连接BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∵AD＝2，AC＝，
∴AB＝.
11.(2022·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明 (1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.
故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
12.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．
(1)证明 由于AD平分∠EAC，
所以∠EAD＝∠DAC.
由于四边形AFBC内接于圆，
所以∠DAC＝∠FBC.
由于∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，
所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.
(2)证明 由于∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，
∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，
所以＝，所以FB2＝FA·FD.
(3)解 由于AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，
又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，
∠DAC＝∠EAC＝60°，由于BC＝6，
所以AC＝BCtan∠ABC＝2，
所以AD＝＝4(cm)．
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