【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第4章-第7节-正弦定理、余弦定理的应用举例.docx

第四章第七节一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站北偏东40，灯塔B在观看站的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10答案B解析由图可知ACB180(4060)80，ACBC，ACBA(18080)50.CEBD，CBDBCE60，ABDCBDCBA605010，灯塔A在灯塔B的北偏西10.2一船向正北航行，观看正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观看一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时()A5n mileB5n mileC10n mileD10n mile答案C解析依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(n mile/h)3如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A，a，bB，aCa，b，D， 答案D解析利用余弦定理，可由a，b，或，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，求出AB，当只知，时，无法计算AB4一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D20海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，依据正弦定理得，解得BC10(海里)5(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得ABC120，则A、C两地间的距离为()A10kmBkmC10kmD10km答案D解析利用余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos12010220221020()700，AC10(km)(理)如图所示，D，C，B三点在地面同始终线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、()，则点A离地面的高度AB等于()ABCD答案A解析在ADC中，DAC，由正弦定理，得AC.在RtABC中，ABACsin.6一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m答案A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，依据余弦定理得，(h)2h210022h100cos60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.二、填空题7(文)(2022新课标)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN_m .答案150解析本题考查解三角形中的应用举例在RtABC中，BC100，CAB45，AC100.在AMC中，CAM75，ACM60，AMC45.由正弦定理知，AM100.在RtAMN中，NAM60，MNAMsin60100150(m)(理)(2022四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析本题考查了运用正弦定理解三角形由条件可得：AC92，AB，BC60.8我舰在岛A南50西12n mile的B处，发觉敌舰正从岛沿北10西的方向以每小时10n mile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为_答案14n mile/h解析设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在ABC中，AC20，AB12，BAC120.BC2784，v14n mile/h.9(文)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.答案32解析设航速长v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32.(理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D测得BCD15，BDC30，CD30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_m.答案15解析由已知可得DBC135，在DBC中，由正弦定理可得，BC15，ABBCtan601515.三、解答题10如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解析(1)在ABC中，由于cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得ABsinC1040(m)所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙动身tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.一、选择题1据新化社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A米B10米C米D20米答案A解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)2(2022贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A11.4B6.6C6.5D5.6答案B解析AB1 0001 000(m)，BCsin30(m)航线离山顶hsin7511.4(km)山高为1811.46.6(km)二、填空题3在直径为30m的圆形广场中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为_m.答案5解析轴截面如图，则光源高度h5(m)4某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最终一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗？答案0.6解析在BCD中，BDC45，CBD30，CD10(m)，由正弦定理，得BC20(m)；在RtABC中，ABBCsin602030(m)所以升旗速度v0.6(m/s)三、解答题5(文)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40m，求电视塔的高度解析如图，设电视塔AB的高为xm，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，ADB30，BCx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，即(x)2x24022x40cos120，解得x40，电视塔高为40米(理)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75、30，于水面C处测得B点和D点仰角均为60，AC0.1km.摸索究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)分析解析在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是 CAD底边AD的中垂线，所以BDBA在ABC中，所以AB.同理，BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33km.6某海疆内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50(其中sin，090)且与A相距60海里的位置C(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不转变航行方向连续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离解析(1)如图(1)，AB80，AC60，BAC，sin.由于090，所以cos.由余弦定理得BC40，所以船的行驶速度为40海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理得，sinABC60，自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离在RtABD中，ADABsinABD8015(海里)，船在行驶过程中离观测站A最近距离为15海里