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第四章 第七节
一、选择题
1．两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站北偏东40°，灯塔B在观看站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
[答案] B
[解析] 由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，
∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝(180°－80°)＝50°.
∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，
∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2．一船向正北航行，观看正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观看一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )
A．5n mile B．5n mile
C．10n mile D．10n mile
[答案] C
[解析] 依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(n mile/h)．
3．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β， γ
[答案] D
[解析] 利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB．
4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
[答案] A
[解析] 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)
5．(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )
A．10km B．km
C．10km D．10km
[答案] D
[解析] 利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，
∴AC＝10(km)．
(理)如图所示，D，C，B三点在地面同始终线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α<β)，则点A离地面的高度AB等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 在△ADC中，∠DAC＝β－α，
由正弦定理，＝，得AC＝.
在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝.
6．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
[答案] A
[解析] 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，
依据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，
即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，
即h＝50，故水柱的高度是50 m.
二、填空题
7．(文)(2022·新课标Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .
[答案] 150
[解析] 本题考查解三角形中的应用举例．
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，
∴AC＝100.
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°.
由正弦定理知＝，
∴AM＝100.
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．
(理)(2022·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
[答案] 60
[解析] 本题考查了运用正弦定理解三角形．
由条件可得：AC＝92，AB＝，＝，∴BC＝≈60.
8．我舰在岛A南50°西12n mile的B处，发觉敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10n mile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为________．
[答案] 14n mile/h
[解析] 设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.
∴BC2＝784，∴v＝14n mile/h.
9．(文)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h.
[答案] 32
[解析] 设航速长v n mile/h
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：＝，∴v＝32.
(理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
[答案] 15
[解析] 由已知可得∠DBC＝135°，
在△DBC中，由正弦定理可得＝，
BC＝＝＝15，
∴AB＝BCtan60°＝15×＝15.
三、解答题
10．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
[解析] (1)在△ABC中，由于cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝，sinC＝.
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝×sinC＝×＝1040(m)．
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙动身tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，
所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.
一、选择题
1．据新化社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A．米 B．10米
C．米 D．20米
[答案] A
[解析] 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．
2．(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)( )
A．11.4 B．6.6
C．6.5 D．5.6
[答案] B
[解析] AB＝1 000×1 000×＝(m)，
∴BC＝·sin30°＝(m)．
∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．
∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
二、填空题
3．在直径为30m的圆形广场中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.
[答案] 5
[解析] 轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．
4．某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最终一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗？
[答案] 0.6
[解析] 在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10(m)，
由正弦定理，得BC＝＝20(m)；
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(m)．
所以升旗速度v＝＝＝0.6(m/s)．
三、解答题
5．(文)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．
[解析] 如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BC＝x.
在△BDC中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD
·cos120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，
解得x＝40，∴电视塔高为40米．
(理)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC＝0.1km.摸索究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．
[分析] →→→→
[解析] 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是 △CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA．在△ABC中，＝，所以AB＝＝.同理，BD＝≈0.33(km)．
故B、D的距离约为0.33km.
6．某海疆内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°＋θ(其中sinθ＝，0°<θ<90°)且与A相距60海里的位置C．
(1)求该船的行驶速度；
(2)若该船不转变航行方向连续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离．
[解析] (1)如图(1)，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sinθ＝.
由于0°<θ<90°，所以cosθ＝＝.
由余弦定理得BC＝＝40，
所以船的行驶速度为40海里/小时．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴sin∠ABC＝＝60×＝，
自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离．
在Rt△ABD中，AD＝ABsin∠ABD＝80×＝15(海里)，
∴船在行驶过程中离观测站A最近距离为15海里．
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