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带电粒子在磁场中的运动
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1．如图1所示，在某种装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在的平面对外．某时刻在A点(x＝l0，y＝0)处，一质子沿y轴的负方向进入磁场．已知质子的质量为m，电量为e.
图1
(1)假如质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
(2)假如质子从A点进入磁场的同一时刻，一个α粒子(qα＝2e，mα＝4m)从C点(x＝－l0，y＝0)进入磁场，并且与质子在坐标原点O处相遇，求α粒子的速度大小和方向．
答案 (1) (2) 方向斜向上且与x轴正方向夹角为θ＝或
解析 (1)质子进入磁场后做圆周运动，圆心在x轴上的Op点，其轨道半径rp＝l0，
设质子的速度为vp，由牛顿定律得：
eBvp＝m
解出vp＝.
(2)α粒子从C点射入磁场，要想经过O点，速度方向必与磁场垂直，并在xOy平面内做圆周运动，C点及O点都在这个圆周上．
质子在磁场中作圆周运动的周期为Tp＝
因α粒子的qα＝2e，mα＝4m，α粒子在磁场中作圆周运动的周期为Tα＝＝2Tp
若α粒子从C点动身，假如第一次经过O点时不与质子相遇，则二者永久不会在O点相遇，即二者只能在α粒子第一次经过O点时相遇，而质子却有两种可能，或者是第一次经过O点，或者是其次次经过O点．即α粒子和质子相遇是在t＝Tp或t＝Tp时刻．
当α粒子在t1＝＝时刻经过O点，其轨道半径由几何学问得rα＝l0
由rα＝
得v1＝
方向斜向上且与x轴正方向夹角为θ1＝
当α粒子在t2＝＝时刻经过O点，其轨道半径由几何学问可知照旧为rα＝l0
故v2＝v1＝
方向斜向上且与x轴正方向夹角为θ2＝.
2．图2甲是中国自行设计、研制的最大的受控核聚变试验装置：其原理如图乙，带电粒子被强电流线圈产生的磁场约束在一个半经为r的“容器”中，通电线圈产生的圆形磁场可看作匀强磁场，磁场圆半径为R，R>r且两圆同心，磁感应强度为B，它们的截面如图丙所示．“容器”中有质量均为m，带电量均为q的带电粒子，在“容器”内运动，有些粒子会运动到“容器”的边缘，观看到在“容器”的边缘各处，有向各个方向离开“容器”的粒子，且每个方向的粒子的速度都从0到v分布．不久，全部粒子都能返回“容器”．(本题只考虑运动方向与磁场垂直的粒子，不计粒子重力和粒子间相互作用和碰撞)
图2
(1)要产生如图乙所示的磁场，逆着磁场方向看，线圈中的电流方向如何？不转变装置结构，要转变磁场，可实行什么方法？
(2)为保证全部粒子从“容器”边缘处离开又能返回，求带电粒子的最大速度v；
(3)假如“容器”中带电粒子是核聚变的原料H、H，它们具有相同的动能，但被该装置约束后，它们的“容器”半径会不同．现用该装置约束这两种粒子，设它们“容器”的最大的半径分别为r1、r2，试推导r1、r2和R应满足的关系式．
答案 (1)逆时针方向；转变线圈中电流方向，就转变磁场方向，转变线圈中电流大小，就转变磁感应强度大小． (2) (3)r1－r2＝(－1)R
解析 (1)由安培定则可知，电流为逆时针方向．转变线圈中的电流方向，就可以转变磁场方向；转变线圈中的电流大小，就可以转变磁感应强度大小．
(2)从“容器”边缘切线方向离开，最大速率为v的粒子，在磁场中做圆周运动的轨迹刚好与磁场圆内切，那么其他粒子都返回“容器”中，
设这个轨迹圆半径为r′，由几何关系，R－r＝2r′①
粒子做圆周运动向心力由洛伦兹力供应Bqv＝m②
由①②得R－r＝2r′＝2
所以v＝.
(3)H、H两粒子，电量相同，动能相同，
所以m1v1∶m2v2＝∶＝1∶③
由(2)得R－r1＝④
R－r2＝⑤
由③④⑤得r1－r2＝(－1)R.
3．在真空室内取坐标系xOy，在x轴上方存在二个方向都垂直于纸面对外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ(如图3)，平行于x轴的直线aa′和bb′是区域的边界线，两个区域在y方向上的宽度都为d，在x方向上都足够长．Ⅰ区和Ⅱ区内分别布满磁感应强度为B和B的匀强磁场，边界bb′上装有足够长的平面感光板．一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以大小为v的速度沿y轴正方向射入Ⅰ区的磁场中．不计粒子的重力作用．
图3
(1)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区？
(2)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子击中bb′上的感光板？并求感光板可能被粒子击中的范围？
答案 (1)v≤ (2)v≥ 0<x≤d
解析 (1)粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动，有qvB＝m
得粒子运动的轨道半径r1＝
粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区，则r1≤d
解得速度v满足的条件v≤.
(2)粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动，有qv·B＝m
得粒子运动的轨道半径r2＝＝r1
粒子恰好能运动到感光板的运动状况如图所示
粒子在Ⅰ区中运动的圆心为A1、在Ⅱ区中运动的圆心为A2，在图中△A1CD相像于△CA2E，因此＝
即＝，解得r1＝d，v＝
因此，要使粒子击中感光板，粒子射入的速度应满足v≥
在△A1CD中，可得cos θ＝＝
粒子经过感光板上的F点的横坐标
xF＝r1＋(r2－r1)sin θ
解得xF＝d
因此，感光板可能被粒子击中的横坐标范围0<x≤d.
4．如图4所示，圆形区域中，圆心角为30°的扇面MON之外分布着垂直于纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量为－q的粒子，自圆心O点垂直于OM以速度v射入磁场，粒子能两次经过边界OM，不计粒子重力．
图4
(1)求粒子从射入到第一次穿过边界ON，在磁场中运动的时间；
(2)求圆形区域的最小半径；
(3)若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将∠MON变为10°，粒子射出后穿越磁场边界的次数．
答案 (1) (2) (3)15
解析 (1)粒子第一次穿过边界，偏转角θ＝120°
时间t＝·T，其中T＝，得t＝.
(2)粒子在磁场中运动轨迹如图
qvB＝
半径R＝
要保证粒子两次穿过OM，磁场最小区域应与粒子圆周运动在E点相切．
在△O1AB中，O1B＝2R
在△O2BD中，BD＝
在△ODO2中，OD＝OB－BD＝R
O2D＝R
得OO2＝R
OE＝R＋R＝(＋1)R
最小半径r＝OE＝(＋1)R＝.
(3)∠MON变为10°，首次从ON边界向下穿出时与之夹角为80°，首次向上穿出OM时与之夹角为70°，每次从边界向扇面区穿出，均比上次夹角减小10°，直到向上穿出时，与OM夹角为10°，不再进入磁场，故穿越边界的次数为15次．
【必考模型3】 带电粒子在磁场中的临界、极值问题
1.模型特点：一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动，不论是一群粒子，还是一个粒子，争辩的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时的极值问题或临界问题或边界问题.,2.表现形式：(1)同源粒子放射问题.此形式常有两类状况，一类是粒子的速率相同，放射方向各异，另一类是速率不同，但放射方向唯一.
(2)自某一边界射入磁场.这种形式也常有两类状况：一类是射入磁场的位置不同，但速度的大小、方向唯一；另一类是位置相同，速度大小确定，但速度方向各异.,3.应对模式：不论哪种模型，都是争辩一系列的圆周运动问题，这时要抓住不变量接受动态圆的方法找到临界点或极值.
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