资源描述
[基础达标]
1．给出下列命题：
(1)两个具有公共终点的向量，确定是共线向量．
(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．(1)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
(2)正确，由于向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
(3)错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
(4)错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．
2．(2022·湖北武汉市答题适应性训练)已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0
解析：选A．依题意得，＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.
3．(2022·贵州贵阳检测考试)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D．依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－n a，即a－c＝mc－n a．又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
4．(2022·山东师大附中模拟)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
解析：选C．由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上．
5. (2022·四川广元模拟)如图，已知＝，用，表示，则等于( )
A．－
B．＋
C．－＋
D．－－
解析：选C．＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
6．(2021·高考四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
解析：由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，
∴＋＝2.
又＋＝λ，∴λ＝2.
答案：2
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3 ，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．
解析：由＝3 ，得4 ＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，∴＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋B．
答案：－a＋b
8．(2022·广东江门质检)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．
解析：∵＝＋＝2a－b，
又A、B、D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即∴p＝－1.
答案：－1
9．设i、j分别是平面直角坐标系Ox、Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，
即＝λ，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，
∴，解得或.
10. 在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解：＝(＋)＝a＋B．
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋B．
[力气提升]
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．相互垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A．由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
2．(2021·高考广东卷)设a是已知的平面对量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μ c；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μ c；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ C．
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．对于①，由于a与b给定，所以a－b确定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，由于b与c不共线，由平面对量基本定理可知②正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必需和向量λb有交点，这个不愿定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错，因此正确的有2个．
3．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析：设D为AC的中点，连接OD(图略)，则＋＝2.又＋＝－2，所以＝－，即O为BD的中点，从而简洁得△AOB与△AOC的面积之比为.
答案：
4．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，
＝＋＝a＋b，
＝(＋)＝(－a＋b)
＝－a＋b，
∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
∴正确命题为②③④.
答案：3
5．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则与共线，
故存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n，
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.
6. (选做题)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝B．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝.
又由于，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
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