资源描述
时间：45分钟 分值：75分
一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
1.
(2021·湖北武汉模拟)如图所示，平行四边形ABCD中，AEBE＝12，若△AEF的面积等于1 cm2，则△CDF的面积等于________cm2.
解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又＝＝，且相像三角形的面积之比等于对应边的比的平方．
∴△CDF的面积等于9 cm2.
答案 9
2.
(2021·广东佛山模拟)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．
解析 ∵DE∥BC，EF∥CD，又BC＝3，DE＝2，DF＝1，∴＝＝＝2.∴AF＝2，AD＝3，BD＝，则AB的长为.
答案
3.
如图所示，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．
解析 连接BD，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°.∴∠ABD＝∠BCD，在直角△ABD中，∵AD＝2，AB＝4，
∴∠ABD＝30°，故∠C＝∠ABD＝30°.
答案 30°
4．(2021·重庆卷)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析 由已知BC＝ABsin60°＝10，由弦切角定理∠BCD＝∠A＝60°，所以BD＝BCsin60°＝15，CD＝BCcos60°＝5，由切割线定理CD2＝DE·BD，所以DE＝5.
答案 5
5.
(2021·湖北卷)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
解析 连接AC，BC，则AC⊥BC，又AB＝3AD，则AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB，OC＝AB，△ABC中，CD2＝AD·BD＝AB2，△OCD中，OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC可得：OE＝AB，CE＝AB，＝8.
答案 8
6．(2021·广东惠州5月)如图所示，已知AD＝5，BD＝8，AO＝3，则圆O的半径OC的长为________．
解析 取BD的中点M，连接OM，OB，则OM⊥BD，由于BD＝8，所以DM＝MB＝4，AM＝5＋4＝9，所以OM2＝AO2－AM2＝90－81＝9，所以半径OB＝＝＝＝5，即OC＝5.
答案 5
7.
(2021·天津和平5月)如图所示，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC＝5，BD＝10，则AB＝________；＝________.
解析 依据弦切角定理，知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，故△ABC∽△DBA，则＝，故AB2＝BC·BD＝50，AB＝5.
依据切割线定理，知CA2＝CB·CF，DA2＝DB·DE，两式相除，得＝·(*)．
由△ABC～△DBA，得＝＝＝，
＝，又＝＝，由(*)得＝1.
答案 5 1
8．(2021·陕西卷)如图所示，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.
解析 由PE∥BC得∠PED＝∠C＝∠A，△APE中与△EPD中，∠APE＝∠EPD，∠PED＝∠A，故△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PA·PD，又PA＝PD＋DA＝3；PD＝2，故PE2＝2×3＝6，则PE＝.
答案
9.
(2021·天津卷)如图所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．
解析 由切割线定理EA2＝EB·ED，得62＝EB·(EB＋5)，经计算EB＝4，∠EAB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC，又由于AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，可得BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.∠C＝∠C，∠CAF＝∠D＝∠C＝∠ABC，所以△CAF∽△CBA，所以＝，即CF＝＝＝.
答案
二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)(2021·云南大理二模)如图所示，在正△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P，求证：
(1)四点P、D、C、E共圆；
(2)AP⊥CP.
证明 (1)在△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA知△ABD≌△BCE，
∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π.
∴四点P、D、C、E共圆．
(2)如图所示，连接DE.
在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，
由正弦定理知∠CED＝90°.
由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，
所以AP⊥CP.
11.
(本小题10分)(2021·全国卷Ⅱ)如图所示，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
思路分析 本题考查圆的基本性质、三角形相像定理、直角三角形射影定理等基本学问，是对考生基本推理力气以及转化与化归力气的考查．
解 (1)由于CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
由于B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，由于∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
12.
(本小题10分)(2021·全国卷Ⅰ)如图所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明： DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
解 (1)连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
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