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第4讲 随机大事的概率
1．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称n次试验中大事A毁灭的次数nA为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例fn(A)＝为大事A毁灭的频率．
(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估量概率P(A)．
2．大事的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
假如大事A发生，则大事B确定发生，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称大事A与大事B相等
A＝B
并大事(和大事)
若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)
A∪B(或A＋B)
交大事(积大事)
若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)
A∩B(或AB)
互斥大事
若A∩B为不行能大事，那么称大事A与大事B互斥
A∩B＝∅
对立大事
若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那么称大事A与大事B互为对立大事
A∩B＝∅且A∪B＝Ω
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必定大事的概率：P(A)＝1．
(3)不行能大事的概率：P(A)＝0．
(4)概率的加法公式
假如大事A与大事B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立大事的概率
若大事A与大事B互为对立大事，则A∪B为必定大事．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
[做一做]
1．若A、B为互斥大事，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．
答案：0.3
2．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为________．
答案：0.74
1．辨明两个易误点
(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
(2)对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．集合方法推断互斥大事与对立大事
(1)由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥．
(2)大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．
[做一做]
3．甲：A1，A2是互斥大事；乙：A1，A2是对立大事，那么( )
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B.两个大事是对立大事，则它们确定互斥，反之不愿定成立．
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，大事“至少有一名女生”与大事“全是男生”( )
A．是互斥大事，不是对立大事
B．是对立大事，不是互斥大事
C．既是互斥大事，也是对立大事
D．既不是互斥大事与不是对立大事
答案：C
__随机大事的关系______________________
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设大事A表示向上的一面毁灭奇数点，大事B表示向上的一面毁灭的点数不超过3，大事C表示向上的一面毁灭的点数不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立大事
B．A与B是对立大事
C．B与C是互斥而非对立大事
D．B与C是对立大事
[解析] A∩B＝{毁灭点数1或3}，大事A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故大事B，C是对立大事．
[答案] D
[规律方法] 对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪些试验结果，从而断定所给大事的关系．
1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记大事A为“只订甲报纸”，大事B为“至少订一种报纸”，大事C为“至多订一种报纸”，大事D为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事．
(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.
解：(1)由于大事C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A与大事C有可能同时发生，故A与C不是互斥大事．
(2)大事B“至少订一种报纸”与大事D“一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B与D是互斥大事．由于大事B不发生可导致大事D确定发生，且大事D不发生会导致大事B确定发生，故B与D还是对立大事．
(3)大事B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B与C不是互斥大事．
(4)由(3)的分析，大事D“一种报纸也不订”是大事C的一种可能，即大事C与大事D有可能同时发生，故C与D不是互斥大事．
__随机大事的频率与概率________________
(2022·高考陕西卷)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解] (1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为
P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.
[规律方法] 频率是个不确定的数，在确定程度上频率可以反映大事发生的可能性大小，但无法从根本上刻画大事发生的可能性大小，但从大量重复试验中发觉，随着试验次数的增多，大事发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.
__互斥大事、对立大事的概率(高频考点)__
随机大事的频率留意对互斥大事和对立大事的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目．
高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：
(1)依据互斥大事有一个发生求概率；
(2)利用对立大事求概率．
(1)(2021·太原模拟)抛掷一颗骰子，观看掷出的点数，设大事A为毁灭奇数点，大事B为毁灭2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则毁灭奇数点或2点的概率是________．
(2)(2021·南通模拟)已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．
[解析] (1)由题意知抛掷一颗骰子毁灭奇数点和毁灭2点是互斥大事，由于P(A)＝，P(B)＝，
所以依据互斥大事的概率公式得到毁灭奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)设“命中9环以上(含9环)”为大事A，“命中8环”为大事B，“命中7环”为大事C，“命中6环以下(含6环)”为大事D，则D与(A＋B＋C)对立，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.
由于A，B，C三个大事互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.
[答案] (1) (2)0.2
[规律方法] (1)推断两个大事是否为互斥大事，就是推断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥大事，不然就不是互斥大事．若两个大事互斥，且必有一个发生，则其为对立大事．
(2)互斥大事的概率加法公式必需在各个大事彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B对立，P(A)＝1－P(B)．
3.某战士射击一次，问：
(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？
(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？
解：(1)设中靶为大事A，则不中靶为.
则由对立大事的概率公式可得，
P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)设命中10环为大事B，命中9环为大事C，命中8环为大事D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.
记至少命中8环为大事E，
则P(E)＝P(B＋C＋D)
＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.27＋0.21＋0.24
＝0.72.
记至少命中9环为大事F，
则P(F)＝P(B＋C)
＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21
＝0.48.
故不够9环为，
则P()＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.
方法思想——正难则反思想求对立大事的概率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
[名师点评] 求某些较简洁的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的大事的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此大事A的对立大事A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解．本题第(2)问利用对立大事求解，计算相对削减．
某工厂的产品分为合格品和次品两类，而合格品又分为一级品，二级品，三级品三档，在正常生产的条件下，毁灭“一级品”的概率为0.5，毁灭“二级品或三级品”的概率为0.45，求毁灭次品的概率．
解：设A＝{毁灭一级品}，B＝{毁灭二级品或三级品}，C＝{毁灭合格品}，D＝{毁灭次品}，
由于C＝A∪B且A∩B＝∅(互斥)，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.45＝0.95，P(D)＝1－P(C)＝1－0.95＝0.05.
故毁灭次品的概率为0.05.
1．(2021·河南安阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.5
解析：选C.“抽到的产品不是一等品”与大事A是对立大事，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
2．设条件甲：“大事A与大事B是对立大事”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若大事A与大事B是对立大事，则A∪B为必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次， 大事A：“至少毁灭一次正面”，大事B：“3次毁灭正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立大事．
3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为大事A，则P(A)＝.由于“取出的2个球不全是红球”为大事A的对立大事，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－＝.
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为大事A，“从中取出2粒都是白子”为大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C，则C＝A∪B，且大事A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
5．掷一个骰子的试验，大事A表示“小于5的偶数点毁灭”，大事B表示“小于5的点数毁灭”，则一次试验中，大事A＋B发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P(B)＝1－P(B)＝1－＝.∵B表示“毁灭5点或6点”的大事，因此大事A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
6．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为略微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．
解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案：
7．假如大事A与B是互斥大事，且大事A∪B发生的概率是0.64，大事B发生的概率是大事A发生的概率的3倍，则大事A发生的概率为________．
解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.
∴P(A)＝x＝0.16.
答案：0.16
8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，大事A表示“朝上一面的数是奇数”，大事B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________．
解析：将大事A＋B分为：大事C“朝上一面的数为1，2”与大事D“朝上一面的数为3，5”，则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.
答案：
9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋0.04＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？
解：记“得到红球”为大事A，“得到黑球”为大事B，“得到黄球”为大事C，“得到绿球”为大事D，明显大事A，B，C，D彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝ ①，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝ ②，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝ ③，
由大事A和大事B∪C∪D是对立大事可得
P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－(P(B)＋P(C)＋P(D))，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝ ④，
②③④联立可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、.
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