2021高考数学(文理通用)一轮课时作业47-直线与圆锥曲线的位置关系.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十七)直线与圆锥曲线的位置关系(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()A.-2B.-12C.-4D.-116【解析】选D.由y=2x2得x2=12y,其焦点坐标为F0,18,取直线y=18,则其与y=2x2交于A-14,18,B14,18,所以x1x2=-1414=-116.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探究其值即可.2.(2021绍兴模拟)无论m为任何数,直线l:y=x+m与双曲线C:x22-y2b2=1(b0)恒有公共点,则双曲线C的离心率e的取值范围是()A.(1,+)B.(2,+)C.(3,+)D.(2,+)【解析】选B.直线l:y=x+m的斜率等于1,过点(0,m),双曲线C:x22-y2b2=1(b0)的两条渐近线的斜率分别为b2,由题意得b21,即b22,故双曲线C的离心率e=2+b2222=2,故选B.【加固训练】双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作ll2且l交双曲线C于R,交l1于M,若FR=FM,且12,23,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,2B.(2,3)C.(3,5)D.(5,+)【解析】选B.由题意得令l1:y=-bax,l2:y=bax,l:y=ba(x-c),由l交双曲线C于R,令y=ba(x-c),x2a2-y2b2=1,解此方程组得Ra2+c22c,baa2-c22c,故有FR=a2-c22c,baa2-c22c,由l交l1于M,令y=ba(x-c),y=-bax,解此方程组得Mc2,-bc2a,故有FM=-c2,-bc2a,由FR=FM,得a2-c22c,baa2-c22c=-c2,-bc2a,所以a2-c22c=-c2,整理得a2=(1-)c2,即e2=11-,又12,23,所以e2(2,3),即e(2,3).3.已知椭圆x225+y216=1的焦点是F1,F2,假如椭圆上一点P满足PF1PF2,则下面结论正确的是()A.P点有两个B.P点有四个C.P点不愿定存在D.P点确定不存在【解析】选D.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=30)恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆x25+y2m=1上或其内部即可.从而m1,又由于椭圆x25+y2m=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).【误区警示】本题易误选D,根本缘由是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1m5,而忽视其焦点可能在y轴上.5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.32D.42【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=-x2+3,y=x+bx2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中点M-12,-12+b.又M-12,-12+b在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=1+12(-1)2-4(-2)=32.6.直线l:y=x+3与曲线y29-x|x|4=1交点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.当x0时,曲线为y29-x24=1;当x0时,曲线为y29+x24=1,直线l:y=x+3过(0,3),与双曲线y29-x24=1(x0)有2个交点,明显l与半椭圆y29+x24=1(x0,b0)与椭圆x2m2+y2b2=1(mb0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形确定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,所以e1=a2+b2a2,e2=m2-b2m2,故e1e2=(a2+b2)(m2-b2)a2m2=1(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.8.(2022杭州模拟)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,+)【解析】选D.如图所示,过点F2(c,0)且与渐近线y=bax平行的直线为y=ba(x-c).与另一条渐近线y=-bax联立y=ba(x-c),y=-bax,解得x=c2,y=-bc2a,即点Mc2,-bc2a,所以|OM|=c22+-bc2a2=c21+ba2.由于点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以|OM|c,所以c21+ba2c,解得1+ba22,所以双曲线离心率e=ca=1+ba22,故双曲线离心率的取值范围是(2,+).【加固训练】已知双曲线左、右焦点分别为F1,F2,点P为其右支上一点,F1PF2=60,且SF1PF2=23,若|PF1|,14|F1F2|2,|PF2|成等差数列,则该双曲线的离心率为()A.3B.23C.2D.2【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n(mn),双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,SPF1F2=12mn32=23,mn=8.又m+n=124c2=2c2(m+n)2=4c4.由余弦定理cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=m2+n2-4c22mn=12m2+n2=8+4c2(m+n)2=4c2+24.两式联立解得c2=3c=3,所以mn=8,m+n=6,mnm=4,n=22a=2,a=1,e=ca=3.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2022湖州模拟)设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且x12=4y1,x22=4y2,两式相减整理得,y1-y2x1-x2=x1+x24=12,所以直线AB的方程为x-2y+7=0.将x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2=10.答案:1010.已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:y=x+1;y=3x+2;y=-x+3;y=-2x.其中是“A型直线”的序号是.【解析】由条件知考虑给出直线与双曲线x2-y23=1右支的交点状况,作图易知直线与双曲线右支有交点,故填.答案:11.(2022无锡模拟)若直线mx+ny=4与O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数是.【解析】由题意知:4m2+n22,即m2+n2b0)的离心率e=53,a2与b2的等差中项为132.(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.【解析】(1)由题意得a2+b2=13,a2-b2a2=59,解得:a2=9,b2=4.即椭圆E的方程为x29+y24=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22,所以t=y22-y122(x2-x1)+x1+x22由于A,B在椭圆上,所以y12=4-49x12,y22=4-49x22.将上式代入,得t=5(x1+x2)18.又由于-3x13,-3x23,且x1x2,所以-6x1+x26,则-53t53,即实数t的取值范围是-53,53.【一题多解】(1)同原题.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.()若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,即t=0.()若y1y2,则线段AB的垂直平分线方程为y-y1+y22=-x2-x1y2-y1x-x1+x22.由于P(t,0)在直线上,所以t=y22-y122(x2-x1)+x1+x22,由于A,B在椭圆上,所以y12=4-49x12,y22=4-49x22.将上式代入,得t=5(x1+x2)18.又由于-3x13,-3x23,且x1x2,所以-6x1+x26,则-53tb0),且可知左焦点为F(-2,0),从而有c=2,2a=|AF|+|AF|=3+5=8,解得c=2,a=4.又a2=b2+c2,所以b2=12.故椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=32x+t(t0).由y=32x+t,x216+y212=1得3x2+3tx+t2-12=0.由于直线l与椭圆C有公共点,所以=(3t)2-43(t2-12)0.解得-43t43.另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得|t|94+1=4,从而t=213.由于213-43,43,所以符合题意的直线l不存在.【一题多解】本题(1)问还可以用如下方法解答:依题意,可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则有4a2+9b2=1,a2-b2=4.解得b2=12或b2=-3(舍去).从而a2=16.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.关闭Word文档返回原板块