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时间：45分钟 分值：75分
一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
1．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将直线l1，l2的参数方程分别化为直角坐标方程为：l1：kx＋2y－k－4＝0，l2：2x＋y－1＝0.
若l1∥l2，则k＝4；
若l1⊥l2，则2k＋2＝0，即k＝－1.
答案 4 －1
2．(2021·江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析 曲线C的一般方程为y＝x2，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入得ρ2cos2θ－ρsinθ＝0，即ρcos2θ－sinθ＝0.
答案 ρcos2θ－sinθ＝0
3．(2021·北京卷)在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．
解析 极坐标系中点对应直角坐标系中坐标(，1)，极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系直线方程为y＝2，所以距离为1.
答案 1
4．(2021·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．
解析 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，
由解得
故交点坐标为(2,5)．
答案 (2,5)
5．(2021·广东卷)已知曲线C：(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析 曲线C的一般方程为x2＋y2＝2，由圆的几何性质知，切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y＝2化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsin＝.
答案 ρsin＝
6．(2021·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析 极坐标方程和极坐标在直角坐标中，方程为x2－4x＋y2＝0，点P为(2,2)，所以|CP|＝＝2.
答案 2
7．(2021·重庆卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 ρcosθ＝4化为一般方程x＝4，化为一般方程y2＝x3，联立解得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.
答案 16
8．(2021·广东揭阳一模)已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．
解析 将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为圆心在坐标原点，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3.
答案 3
9．(2021·湖北卷)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
解析 椭圆的一般方程为＋＝1，l的直角坐标系方程为x＋y＝m.圆的直角坐标系方程为x2＋y2＝b2，椭圆焦点(c,0)在直线上，则c＝|m|，直线与圆相切，则＝b，即c＝b，e＝＝＝.
答案
二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分) (2021·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试推断直线l与圆C的位置关系．
解 (1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1.
由于圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
11．(本小题10分)(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得a＝－1，b＝2.
12．(本小题10分)(2021·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1,2)，方向向量为n＝(－1，)的直线，圆方程ρ＝2cos.
(1)求直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．
解 (1)∵n＝(－1，)，∴直线的倾斜角α＝.
∴直线的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
(2)∵ρ＝2＝cosθ＋sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.
∴x2＋y2－x＋y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2)t＋6＋2＝0.
∴|t1t2|＝6＋2，即|PM|·|PN|＝6＋2.
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