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一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、经典例题三、经典例题第一章随机事件第一章随机事件第第1页页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点随机事件概念随机事件概念古典概型概率计算方法古典概型概率计算方法概率加法公式概率加法公式条件概率和乘法公式应用条件概率和乘法公式应用全概率公式和贝叶斯公式应用全概率公式和贝叶斯公式应用2.难点难点古典概型概率计算全概率公式应用古典概型概率计算全概率公式应用第第2页页二、主要内容二、主要内容随机随机现象现象随机随机试验试验事件事件独立性独立性随随 机机 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件对对立立事事件件概概 率率古典古典概型概型几何几何概率概率乘法乘法定理定理事件关系和运算事件关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不可能事件不可能事件第第3页页 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现现象现象称称为为随机现象随机现象.随机现象随机现象 第第4页页能够在相同条件下重复地进行能够在相同条件下重复地进行;每次试验可能结果不止一个每次试验可能结果不止一个,而且能事而且能事先明确试验全部可能结果先明确试验全部可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.在概率论中在概率论中，把含有以下三个特征试验称为把含有以下三个特征试验称为随随机试验机试验.随机试验随机试验第第5页页 样本空间元素样本空间元素,即试验即试验E 每一个结果每一个结果,称为称为样样本点本点.随机试验随机试验E全部可能结果组成集合称为全部可能结果组成集合称为样样本空间本空间,记为记为 S.随机试验随机试验 E 样本空间样本空间 S 子集称为子集称为 E 随机随机事件事件,简称简称事件事件.随机事件随机事件 第第6页页不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现结果随机试验中不可能出现结果.必定事件对立面是不可能事件必定事件对立面是不可能事件,不可能事件不可能事件对立面是必定事件对立面是必定事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.基本事件基本事件 由一个样本点组成单点集由一个样本点组成单点集.必定事件必定事件 随机试验中必定会出现结果随机试验中必定会出现结果.主要随机事件主要随机事件第第7页页事件关系和运算事件关系和运算(1)包含关系包含关系若事件若事件 A 出现，必定造成事件出现，必定造成事件 B 出现，出现，则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A，记作，记作图示图示 B 包含包含 A.SBA第第8页页(2)A等于等于B(3)事件事件A与与B并并(和事件和事件)图示事件图示事件 A与与 B 并并.SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B,而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A,则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等,记作记作 A=B.第第9页页(4)事件事件A与与B交交(积事件积事件)图示事件图示事件 A 与与 B B 积积.SABAB第第10页页(5)事件事件A与与B互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 出现必定造成事件出现必定造成事件 B 不出现不出现,B 出出现也必定造成现也必定造成 A 不出现不出现,则称事件则称事件 A 与与 B互不相容互不相容,即即图示图示 A 与与 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥）.SAB第第11页页(6)事件事件A与与B差差由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成事件称为不出现所组成事件称为事件事件A与与B差差.记作记作 A-B.图示图示 A 与与 B 差差.SABSAB第第12页页设设A表示表示“事件事件A出现出现”,则则“事件事件A不出现不出现”称为事件称为事件A对立事件或逆事件对立事件或逆事件.记作记作图示图示 A 与与 B 对立对立.SB若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有A(7)事件事件A对立事件对立事件第第13页页说明说明对立事件与互斥事件区分对立事件与互斥事件区分SSABAB A，B 对立对立 A，B 互斥互斥互斥互斥对立对立第第14页页事件运算性质事件运算性质第第15页页(1)频率定义频率定义 频率频率第第16页页设设 A 是随机试验是随机试验 E 任一事件任一事件,则则(2)频率性质频率性质 第第17页页概率定义概率定义概率可列可加性概率可列可加性第第18页页概率有限可加性概率有限可加性概率性质概率性质第第19页页n 个事件和情况个事件和情况第第20页页定义定义等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)第第21页页设试验设试验 E 样本空间由样本空间由n 个样本点组成个样本点组成,A为为E 任意一个事件任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点,则事件则事件 A 出现概率记为出现概率记为:古典概型中事件概率计算公式古典概型中事件概率计算公式称此为概率古典定义称此为概率古典定义.第第22页页几何概型几何概型当随机试验样本空间是某个区域当随机试验样本空间是某个区域,而且任意而且任意一点落在度量一点落在度量(长度长度,面积面积,体积体积)相同子区域是相同子区域是等可能等可能,则事件则事件A概率可定义为概率可定义为第第23页页条件概率条件概率同理可得同理可得为在事件为在事件 B 发生条件下事件发生条件下事件 A 发生条件概率发生条件概率.(1)条件概率定义条件概率定义第第24页页(2)条件概率性质条件概率性质第第25页页乘法定理乘法定理第第26页页样本空间划分样本空间划分全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式第第27页页全概率公式全概率公式第第28页页说明说明 全概率公式主要用处于于它能够将全概率公式主要用处于于它能够将一个复杂事件概率计算问题分解为若干个简单一个复杂事件概率计算问题分解为若干个简单事件概率计算问题事件概率计算问题,最终应用概率可加性求出最终应用概率可加性求出最终止果最终止果.第第29页页贝叶斯公式贝叶斯公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.第第30页页 事件事件 A 与与 B 相互独立是指事件相互独立是指事件 A 概率与事件概率与事件 B 是否出现无关是否出现无关.说明说明 事件相互独立性事件相互独立性(1)两事件相互独立两事件相互独立第第31页页(2)三事件两两相互独立三事件两两相互独立第第32页页注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立(3)三事件相互独立三事件相互独立第第33页页n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立第第34页页主要定理及结论主要定理及结论第第35页页两个结论两个结论第第36页页三、经典例题三、经典例题P63P63：4,5,8,4,5,8,P67P67：2121第第37页页一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、经典例题三、经典例题第一章随机变量及其分布第一章随机变量及其分布第第38页页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布分布律分布、二项分布和泊松分布分布律正态分布、均匀分布和指数分布分布函数、正态分布、均匀分布和指数分布分布函数、密度函数及相关区间概率计算密度函数及相关区间概率计算2.难点难点连续型随机变量概率密度函数求法连续型随机变量概率密度函数求法第第39页页二、主要内容二、主要内容随随 机机 变变 量量离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量分分 布布 函函 数数分分 布布 律律密密 度度 函函 数数均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布随机变量随机变量函数函数 分分 布布定定义义第第40页页 随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通函数有着本但它与普通函数有着本质差异质差异,普通函数是定义在实数轴上普通函数是定义在实数轴上,而随机变量是而随机变量是定义在样本空间上定义在样本空间上(样本空间元素不一定是实数样本空间元素不一定是实数).(1)随机变量与普通函数不一样随机变量与普通函数不一样随机变量随机变量第第41页页 随机变量伴随试验结果不一样而取不一样值随机变量伴随试验结果不一样而取不一样值,因为试验各个结果出现含有一定概率因为试验各个结果出现含有一定概率,所以随机变所以随机变量取值也有一定概率规律量取值也有一定概率规律.(2)随机变量取值含有一定概率规律随机变量取值含有一定概率规律(3)随机变量与随机事件关系随机变量与随机事件关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广概念随机事件包容在随机变量这个范围更广概念之内之内.或者说或者说:随机事件是从静态观点来研究随机随机事件是从静态观点来研究随机现象现象,而随机变量则是从动态观点来研究随机现象而随机变量则是从动态观点来研究随机现象.第第42页页随机变量分类随机变量分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它随机变量所取可能值是有限多个或无限可随机变量所取可能值是有限多个或无限可列个列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量所取可能值能够连续地充满某个随机变量所取可能值能够连续地充满某个区间区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.第第43页页离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律(1)定义定义第第44页页(2)说明说明第第45页页设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它分布它分布律为律为则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布.两点分布两点分布 第第46页页称这么分布为称这么分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布二项分布二项分布第第47页页泊松分布泊松分布 第第48页页(2)说明说明随机变量分布函数随机变量分布函数(1)定义定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值概率情况值概率情况.第第49页页即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(3)性质性质第第50页页离散型随机变量分布函数离散型随机变量分布函数(4)主要公式主要公式第第51页页连续型随机变量概率密度连续型随机变量概率密度(1)定义定义第第52页页(2)性质性质第第53页页若若X是连续型随机变量是连续型随机变量，X=a 是不是不可能事件可能事件,则有则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 连连续续型型离离散散型型(3)注意注意第第54页页均匀分布均匀分布(1)定义定义第第55页页(2)分布函数分布函数第第56页页分布函数分布函数指数分布指数分布第第57页页正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)(1)定义定义第第58页页(2)分布函数分布函数第第59页页标准正态分布概率密度表示为标准正态分布概率密度表示为标准正态分布分布函数表示为标准正态分布分布函数表示为(3)标准正态分布标准正态分布第第60页页标准正态分布图形标准正态分布图形第第61页页(4)主要公式主要公式第第62页页随机变量函数分布随机变量函数分布(1)离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布第第63页页(2)连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布第第64页页定理定理第第65页页三、经典例题三、经典例题P62P62：15,2015,20P64P64：13,18,1913,18,19P70P70：4545第第66页页一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、经典例题三、经典例题第二章多维随机变量及其分布第二章多维随机变量及其分布第第67页页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点二维随机变量分布二维随机变量分布相关概率计算和随机变量独立性相关概率计算和随机变量独立性2.难点难点条件概率分布条件概率分布随机变量函数分布随机变量函数分布第第68页页定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分 布布条条 件件 分分 布布两两 个个 随随 机机 变变 量量 函函 数数 分分 布布随随 机机 变变 量量 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广二、主要内容二、主要内容第第69页页二维随机变量二维随机变量第第70页页(1)定义定义 二维随机变量分布函数二维随机变量分布函数第第71页页且有且有(2)性质性质 第第72页页第第73页页(3)n 维随机变量概念维随机变量概念第第74页页二维随机变量二维随机变量(X,Y)分布律也可表示为分布律也可表示为:二维离散型随机变量分布律二维离散型随机变量分布律第第75页页离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)分布函数为分布函数为第第76页页二维连续型随机变量概率密度二维连续型随机变量概率密度(1)定义定义 第第77页页(2)性质性质 第第78页页表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之间空间区域全部体平面之间空间区域全部体积等于积等于1.(3)说明说明 第第79页页(4)两个惯用分布两个惯用分布设设 D 是平面上有界区域是平面上有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量(X,Y)含有概率密度含有概率密度则称则称(X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.第第80页页若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)含有概率密度含有概率密度二维正态分布两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布两个边缘分布都是一维正态分布.第第81页页边缘分布函数边缘分布函数 为随机变量为随机变量(X,Y)关于关于 Y 边缘分布函数边缘分布函数.第第82页页离散型随机变量边缘分布离散型随机变量边缘分布 第第83页页随机变量关于随机变量关于X 和和 Y 边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为联合分布联合分布边缘分布边缘分布第第84页页连续型随机变量边缘分布连续型随机变量边缘分布同理得同理得 Y 边缘概率密度边缘概率密度第第85页页(1)离散型随机变量条件分布离散型随机变量条件分布随机变量条件分布随机变量条件分布第第86页页同理可定义同理可定义第第87页页(2)连续型随机变量条件分布连续型随机变量条件分布第第88页页联合分布、边缘分布、条件分布关系联合分布、边缘分布、条件分布关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布第第89页页随机变量相互独立性随机变量相互独立性第第90页页说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)联合分布律为联合分布律为第第91页页二维随机变量推广二维随机变量推广第第92页页其它依次类推其它依次类推.第第93页页第第94页页(5)随机变量相互独立定义推广随机变量相互独立定义推广第第95页页第第96页页随机变量函数分布随机变量函数分布 (1)离散型随机变量函数分布离散型随机变量函数分布第第97页页当当 X,Y 独立时独立时,(2)连续型随机变量函数分布连续型随机变量函数分布第第98页页当当 X,Y 独立时独立时,第第99页页则有则有第第100页页推广推广第第101页页三、经典例题三、经典例题例例1第第102页页解解第第103页页第第104页页第第105页页第第106页页第第107页页(1)(1)(X,Y)联合概率密度为联合概率密度为第第108页页第第109页页(2)由题意得由题意得xy-11当当|x|1时，时，f(x,y)=0，所以，所以 f(x)=0当当|x|1时时,不是均匀分布不是均匀分布第第110页页分布可加性分布可加性若同一类分布独立随机变量和分布仍是这若同一类分布独立随机变量和分布仍是这类分布，则称这类分布含有类分布，则称这类分布含有可加性可加性.第第111页页二项分布可加性二项分布可加性若若 X b(n1,p)，Y b(n2,p)，注意：若注意：若 Xi b(1,p)，且独立，则，且独立，则 Z=X1+X2+Xn b(n,p).且独立，且独立，则则 Z=X+Y b(n1+n2,p).第第112页页泊松分布可加性泊松分布可加性若若 X P(1)，Y P(2)，注意：注意：X Y 不服从泊松分布不服从泊松分布.且独立，且独立，则则 Z=X+Y P(1+2).第第113页页正态分布可加性正态分布可加性若若 X N()，Y N()，注意：注意：X Y 不服从不服从 N().且独立，且独立，则则 Z=X Y N().X Y N().独立正态变量线性组合仍为正态变量独立正态变量线性组合仍为正态变量.(见下见下)第第114页页独立正态变量线性组合仍为正态变量独立正态变量线性组合仍为正态变量Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且且 Xi 间相互独立间相互独立,实数实数 a1,a2,.,an 不全为零不全为零,则则第第115页页P107P107：6 6P109P109：5,65,6P114P114：2929第第116页页一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容 三、经典例题三、经典例题 第三章随机变量数字特征第三章随机变量数字特征第第117页页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点数学期望性质和计算数学期望性质和计算2.难点难点数字特征计算数字特征计算方差性质和计算方差性质和计算相关系数性质和计算相关系数性质和计算第第118页页二、主要内容二、主要内容数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量数学期望二维随机变量数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数数随机变量函数数学期望学期望定定 义义协方差性协方差性质质相关系数相关系数定理定理第第119页页离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望第第120页页连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望第第121页页随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望离散型随机变量函数数学期望为离散型随机变量函数数学期望为则有则有则有则有第第122页页数学期望性质数学期望性质1.设设C是常数是常数,则有则有2.设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有3.设设X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有4.设设X,Y 是相互独立随机变量是相互独立随机变量,则有则有第第123页页二维随机变量数学期望二维随机变量数学期望同理可得同理可得第第124页页则则则则第第125页页方差定义方差定义第第126页页方差计算方差计算离散型随机变量方差离散型随机变量方差 连续型随机变量方差连续型随机变量方差第第127页页方差性质方差性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有第第128页页协方差与相关系数定义协方差与相关系数定义第第129页页协方差性质协方差性质第第130页页相关系数定理相关系数定理第第131页页三、经典例题三、经典例题 P174：1,5,10,24P170P170：2,9,11,12,14,21,222,9,11,12,14,21,22P179：19,30,31第第132页页第三章第三章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理二、主要内容二、主要内容三、经典例题三、经典例题一、重点与难点一、重点与难点第第133页页一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其利用中心极限定理及其利用.2.难点难点证实随机变量服从大数定律证实随机变量服从大数定律.第第134页页大数定律大数定律二、主要内容二、主要内容中心极限定理中心极限定理定定理理一一定理二定理二定理三定理三定理一定理一定理二定理二第第135页页伯努利大数定理伯努利大数定理第第136页页契比雪夫定理特殊情况契比雪夫定理特殊情况第第137页页辛钦定理辛钦定理第第138页页独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理第第139页页第第140页页德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第第141页页三、经典例题三、经典例题 P182:41,45P182:41,45第第142页页