热力学教案和省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

云南师范大学物理与电子 信息学院理论物理教研组 统计物理Statistical Physics第1页热力学与统计物理学研究方法热力学与统计物理学研究方法 热力学是热力学是热运动宏观理论热运动宏观理论。以试验总结定律出以试验总结定律出发发,经过严密逻辑推理得到物体宏观热性质间联络经过严密逻辑推理得到物体宏观热性质间联络,宏观过程进行方向和程度宏观过程进行方向和程度,从而揭示热现象相关规从而揭示热现象相关规律。律。统计物理统计物理是热运动微观理论是热运动微观理论.认为认为宏观物质系宏观物质系统由大量统由大量微观粒子组成微观粒子组成.宏观性质是大量微观粒子宏观性质是大量微观粒子集体表现集体表现,宏观热力学量则是对应微观力学量统计宏观热力学量则是对应微观力学量统计平均值。平均值。第2页微观粒子微观粒子微观粒子微观粒子观察和试验观察和试验观察和试验观察和试验出出出出 发发发发 点点点点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质力学本质力学本质力学本质二者关系二者关系二者关系二者关系无法自我验证无法自我验证无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻不深刻不深刻缺缺缺缺 点点点点揭露本质揭露本质揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠普遍，可靠普遍，可靠优优优优 点点点点统计平均方法统计平均方法统计平均方法统计平均方法力学规律力学规律力学规律力学规律总结归纳总结归纳总结归纳总结归纳逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理方方方方 法法法法微观量微观量微观量微观量宏观量宏观量宏观量宏观量物物物物 理理理理 量量量量热现象热现象热现象热现象热现象热现象热现象热现象研究对象研究对象研究对象研究对象微观理论微观理论微观理论微观理论（统计物理学）（统计物理学）（统计物理学）（统计物理学）宏观理论宏观理论宏观理论宏观理论（热力学）（热力学）（热力学）（热力学）第3页动力学规律动力学规律:确定性理论确定性理论.在一定初始条件下在一定初始条件下,某一时刻系统必定处于一定某一时刻系统必定处于一定状态状态.统计规律统计规律:非确定性理论非确定性理论.因为宏观系统中粒子数巨大和粒子相互作用随因为宏观系统中粒子数巨大和粒子相互作用随即性即性,无法跟踪单个粒子进行研究无法跟踪单个粒子进行研究,也使得系统整也使得系统整体含有了不能归结为单个粒子行为简单叠加新性体含有了不能归结为单个粒子行为简单叠加新性质和新规律质和新规律,即统计性质和统计规律即统计性质和统计规律.第4页伽尔顿板试验伽尔顿板试验第5页统计规律性特点统计规律性特点(1)对大量随机事件整体起作用对大量随机事件整体起作用,对少许粒子组成系对少许粒子组成系统失去意义统失去意义.(2)在一定宏观条件下在一定宏观条件下,某一时刻系统处于哪一个某一时刻系统处于哪一个 微观态是偶然微观态是偶然,但处于某一微观态概率是确定但处于某一微观态概率是确定.改改变宏观条件变宏观条件,不但微观态发生改变不但微观态发生改变,而且系统处于而且系统处于一微观态概率也随之改变一微观态概率也随之改变.第6页统计规律性特点统计规律性特点(3)统计规律永远伴伴随涨落统计规律永远伴伴随涨落.(4)宏观系统演化是不可逆宏观系统演化是不可逆,过去和未来不等价过去和未来不等价,即统计规律性对时间反演是不对称即统计规律性对时间反演是不对称.第7页第六章第六章 近独立粒子最概然分布近独立粒子最概然分布第8页6.1 粒子运动粒子运动状态状态经典描述经典描述一一.粒子状态描述粒子状态描述 粒子是指组成物质系统基本单元。粒子是指组成物质系统基本单元。粒子运动状态是指它力学运动状态。粒子运动状态是指它力学运动状态。假如粒子遵从经典力学运动规律，对粒子运动假如粒子遵从经典力学运动规律，对粒子运动状态描述称为经典描述。状态描述称为经典描述。假如粒子遵从量子力学运动规律，对粒子运动假如粒子遵从量子力学运动规律，对粒子运动状态描述称为量子描述。状态描述称为量子描述。第9页粒子自由度数粒子自由度数r 能够完全确定质点空间位置独立坐标数目能够完全确定质点空间位置独立坐标数目.自由度自由度为为r一个一个微微观观粒子粒子微观运动状态微观运动状态由由2r个个广广义义坐坐标标和广和广义动义动量确定。量确定。第10页 空空间间中中任何任何一点代表力学体系中一个粒子一点代表力学体系中一个粒子一个一个运运动动状状态态，这这个点称个点称为为代表点。当粒子运代表点。当粒子运动动状状态态随随时间时间改改变时变时，代表点，代表点对应对应地在地在空空间间中移中移动动，描画出一条，描画出一条轨轨迹。迹。第11页一、自由粒子一、自由粒子自由度：自由度：3空间维数空间维数：6能量：能量：能量球能量球第12页轨迹：轨迹：以一维自由粒子为例，以以一维自由粒子为例，以 为直角坐标，为直角坐标，组成二维组成二维 空间，设一维容器长度为空间，设一维容器长度为 。粒子。粒子一个运动状态一个运动状态 能够用能够用 空间在一定范围空间在一定范围内一点代表。内一点代表。第13页第14页能量：能量：二、线性谐振子二、线性谐振子自由度：自由度：1空间维数：空间维数：2能量椭圆能量椭圆xp质质量量为为 粒子在弹性力粒子在弹性力 作用下作用下,将在原点附近作将在原点附近作圆频率为圆频率为 简谐振动，称为线性谐振子。简谐振动，称为线性谐振子。第15页三、转子三、转子 考虑质量为考虑质量为 质点被含有一定长度轻杆系于原点质点被含有一定长度轻杆系于原点 时所作运动。时所作运动。质质点在直角坐点在直角坐标标下能量：下能量：用球坐用球坐标标表示，表示，第16页oxyzA第17页考考虑质虑质点和原点距离保持不点和原点距离保持不变变，考虑质点和原点距离保持不变考虑质点和原点距离保持不变 ，于是，于是考虑质点和原点距离保持不变，考虑质点和原点距离保持不变 第18页自由度：自由度：2空间维数：空间维数：4广义坐标：广义坐标：广义动量：广义动量：能量：能量：第19页双原子分子力学模型：双原子分子力学模型：将双原子分子看作一根细棒两端联结着质量将双原子分子看作一根细棒两端联结着质量为为 和和 两个质点绕其质心转动。然后将两体两个质点绕其质心转动。然后将两体问题转化为单体问题，即将公式中问题转化为单体问题，即将公式中 换成约化质换成约化质量量第20页 依据经典力学，在没有外力作用情形下，依据经典力学，在没有外力作用情形下，转子总角动量转子总角动量 是一个守恒量，其大小是一个守恒量，其大小和时间都不随时间改变。因为和时间都不随时间改变。因为 垂直于垂直于 ，质点，质点运动是在垂直于运动是在垂直于 平面内运动。假如选择平面内运动。假如选择轴轴 平行于平行于 ，质点运动必在，质点运动必在 平面上，平面上，这时这时能量简化为能量简化为第21页第22页6.2 粒子运动状态量子描述粒子运动状态量子描述微观粒子普遍含有波粒二象性（粒子性与波动性）微观粒子普遍含有波粒二象性（粒子性与波动性）德布罗意关系：德布罗意关系：测不准关系测不准关系其中其中都称都称为为普朗克常数。普朗克常数。第23页第24页第25页 微观粒子不可能同时有确定动量和坐标，这生动地微观粒子不可能同时有确定动量和坐标，这生动地说明微观粒子运动不是轨道运动。微观粒子运动状态不说明微观粒子运动不是轨道运动。微观粒子运动状态不是用坐标和动量来描述，而是用波函数或量子数来描述。是用坐标和动量来描述，而是用波函数或量子数来描述。在量子力学中，微观粒子运动状态称为量子态。在量子力学中，微观粒子运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数数目等于粒子量子态由一组量子数来表征。这组量子数数目等于粒子自由度数。自由度数。微观粒子能量是不连续微观粒子能量是不连续,称为能级称为能级.假如一个能级量假如一个能级量子态不止一个，该能级就称为简并。一个能级量子态数子态不止一个，该能级就称为简并。一个能级量子态数称为该能级简并度。假如一个能级只有量子态，该能级称为该能级简并度。假如一个能级只有量子态，该能级称为非简并。称为非简并。第26页 普朗克常数普朗克常数 时间时间能量能量=长度长度动量动量=角动量角动量 这么一个物理量通常称为作用量，因而普这么一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本作用量子。这个作用量子朗克常数也称为基本作用量子。这个作用量子常作为判别采取经典描述或量子描述判据。常作为判别采取经典描述或量子描述判据。当一个物质系统任何含有作用量纲物理量含当一个物质系统任何含有作用量纲物理量含有与普朗克常数相比拟数值时，这个物质系统有与普朗克常数相比拟数值时，这个物质系统就是量子系统。反之，假如物质系统每一个含就是量子系统。反之，假如物质系统每一个含有作用量纲物理量用普朗克常数来量度都非常有作用量纲物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就能够用经典力学来研究。大时，这个系统就能够用经典力学来研究。第27页n n 叶企孙小传n n 叶企孙，男，汉族，教授。著名物理学家、教育家。上海人。196月清华学校毕业留美，1923年获哈佛大学博士学位。1925年后历任清华大学教授、物理学系主任、理学院院长，西南联合大学教授、理学院院长，清华大学校务委员会主任委员。1952年院系调整时调入北京大学。他还是中国科学院数学物理学部委员、常委。第28页前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴晗。后排右起为前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴晗。后排右起为前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴晗。后排右起为前排右起依次为叶企孙、张奚若、陈毅、吴晗。后排右起为潘光旦、张子高、周培源潘光旦、张子高、周培源潘光旦、张子高、周培源潘光旦、张子高、周培源 第29页 他在他在30年代创建了颇负盛名清华物理学系和年代创建了颇负盛名清华物理学系和理学院，聘请名教授来校，实施理学院，聘请名教授来校，实施理论与试验并理论与试验并重，重质而不重量重，重质而不重量办学方针，培养出一批高质办学方针，培养出一批高质量人才，对我国科学事业发展和清华大学在短量人才，对我国科学事业发展和清华大学在短期内跻身于名大学之林作出主要贡献。他在主期内跻身于名大学之林作出主要贡献。他在主持清华大学校务委员会期间，和校党委亲密配持清华大学校务委员会期间，和校党委亲密配合，落实党和政府对高等教育有步骤进行改造合，落实党和政府对高等教育有步骤进行改造方针和院系调整办法。方针和院系调整办法。第30页 23位两弹一星功勋奖章取得者，半数以上是位两弹一星功勋奖章取得者，半数以上是他学生。他学生。121运动负责与政府交涉开追悼会；破运动负责与政府交涉开追悼会；破格提拔华罗庚；邀请朗之万、狄拉克和玻尔访格提拔华罗庚；邀请朗之万、狄拉克和玻尔访华；中国物理学会设置叶企孙物理学奖（固体华；中国物理学会设置叶企孙物理学奖（固体物理）。早在读博士时，他就以论文物理）。早在读博士时，他就以论文普朗克普朗克（Planck）常数测定）常数测定而名声大噪。而名声大噪。文革中，叶企孙便被诬为特务头子。文革中，叶企孙便被诬为特务头子。1977年年1月叶企孙含冤逝世。月叶企孙含冤逝世。第31页一、自旋（一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)电子、质子、中子等粒子含有内禀角动量（自旋）电子、质子、中子等粒子含有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩和内禀磁矩,关系为关系为自旋自旋角动量角动量在空间任意方向上投影只能取两个值在空间任意方向上投影只能取两个值在外场在外场B中势能为中势能为在外场在外场B中磁矩为中磁矩为第32页二、线性谐振子二、线性谐振子圆频圆频率率为为 线性谐振子能量可能值为线性谐振子能量可能值为全部能级等间距，均为全部能级等间距，均为 。能。能级为级为非非简简并。并。第33页三、转子三、转子所以：所以：基态非简并，激发态简并，基态非简并，激发态简并，简并度：简并度：转转子能量子能量量子理论要求量子理论要求 第34页四、自由粒子四、自由粒子一维自由粒子一维自由粒子 考考虑处虑处于于长长度度为为 一维容器中自由粒子运动状一维容器中自由粒子运动状态。周期性边界条件要求粒子可能运动状态，其态。周期性边界条件要求粒子可能运动状态，其德布罗意波长德布罗意波长 满足满足第35页所以，一维自由粒子量子数：所以，一维自由粒子量子数：1个个基态能级为非简并，激发态为二度简并基态能级为非简并，激发态为二度简并。第36页三维自由粒子三维自由粒子 考虑处于长度为考虑处于长度为 三三维维容器中自由粒子运容器中自由粒子运动动状状态态。假假设设此粒子限制在一个此粒子限制在一个边长为边长为L方盒子中运方盒子中运动动，仿照一仿照一维维粒子情形，粒子情形，该该粒子在三个方向粒子在三个方向动动量可能量可能值为值为第37页量子数：量子数：3个个基态能级为非简并，激发态为基态能级为非简并，激发态为6度简并。度简并。能量可能值为能量可能值为第38页（1）在微观体积下，粒子动量值和能量值分离性很在微观体积下，粒子动量值和能量值分离性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。显著，粒子运动状态由三个量子数表征。对对于于有六个量子有六个量子态态与之与之对应对应，所以所以该该能能级为级为六度六度简简并，而基并，而基态为态为非非简简并。并。能量值决定于能量值决定于 第39页（2）在宏观体积下，粒子动量值和能量值是准）在宏观体积下，粒子动量值和能量值是准连续，这时往往考虑在体积连续，这时往往考虑在体积 内，在一定内，在一定动量范围内自由粒子量子态数。动量范围内自由粒子量子态数。求求V=L3内在内在Px到到Px+dPx，Py到到Py+dPy，Pz到Pz+dPz间自由粒子量子态数与态密度。间自由粒子量子态数与态密度。第40页 在在V=L3内，内，Px到到Px+dPx，Py到到Py+dPy，Pz到到Pz+dPz间可能间可能Px，Py，Pz数目为数目为在在V=L3内，符合上式量子态数：内，符合上式量子态数：第41页 微观粒子运动必须恪守测不准关系，不可能同微观粒子运动必须恪守测不准关系，不可能同时含有确定动量和坐标，所以量子态不能用时含有确定动量和坐标，所以量子态不能用 空空间一点来描述，假如硬要沿用广义坐标和广义动间一点来描述，假如硬要沿用广义坐标和广义动量来描述量子态，那么一个状态必定对应于量来描述量子态，那么一个状态必定对应于 空空间中一个体积元，而不是一个点，这个体积元称间中一个体积元，而不是一个点，这个体积元称为量子相格。自由度为为量子相格。自由度为1粒子，相格大小为普朗粒子，相格大小为普朗克常数克常数 假如自由度为假如自由度为 相格大小相格大小为为第42页采取球极坐标，用采取球极坐标，用代替代替所以所以 含义为含义为 中量子态数。中量子态数。第43页第44页 表示单位能量间隔内粒子可能量子态数，称为态表示单位能量间隔内粒子可能量子态数，称为态密度。假如粒子自旋不为零，以上量子态数公式需乘密度。假如粒子自旋不为零，以上量子态数公式需乘以以2。第45页6.3 系统微观运动状态描述系统微观运动状态描述一一.全同粒子与近独立粒子全同粒子与近独立粒子1）全同粒子）全同粒子2）近独立粒子）近独立粒子第46页 全同粒子是能够分辨（因为经典粒子全同粒子是能够分辨（因为经典粒子运动是轨道运动，标准上是能够被跟踪）。运动是轨道运动，标准上是能够被跟踪）。假如在含有多个全同粒子系统中，将两个粒假如在含有多个全同粒子系统中，将两个粒子运动状态加以交换，交换前后，系统力子运动状态加以交换，交换前后，系统力学运动状态是不一样。学运动状态是不一样。二二.经典物理中系统微观运动状态描述经典物理中系统微观运动状态描述1）可分辨）可分辨（可跟踪经典轨道运动）（可跟踪经典轨道运动）第47页第48页2）描述方式：）描述方式：代数方法代数方法 单单个粒子个粒子经经典运典运动动状状态态，由，由 个广义坐标和个广义坐标和 个广义动量来描述，当组成系统个广义动量来描述，当组成系统 个粒子在某个粒子在某一时刻运动状态都确定时，也就确定了整个一时刻运动状态都确定时，也就确定了整个系统在该时刻运动状态。所以确定系统系统在该时刻运动状态。所以确定系统微观运动状态需要微观运动状态需要这这 个变量来确定。个变量来确定。第49页用用 空间中空间中N个点描述个点描述 一个粒子在某时刻力学运动状态能够在一个粒子在某时刻力学运动状态能够在空间中用一个点表示，由空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成个全同粒子组成系统在某时刻微观运动状态能够在系统在某时刻微观运动状态能够在空间中用空间中用N个点表示，那么假如交换两个代表点在个点表示，那么假如交换两个代表点在空间空间位置，对应系统微观状态是不一样。位置，对应系统微观状态是不一样。第50页3）.玻色子与费米子玻色子与费米子b）玻色子玻色子：自旋量子数为整数基本粒子或：自旋量子数为整数基本粒子或 复合粒子。复合粒子。如：光子、如：光子、介子等。介子等。a)费米子费米子：自旋量子数为半整数基本粒子或复：自旋量子数为半整数基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。合粒子。如：电子、质子、中子等。第51页c）复合粒子分类复合粒子分类：凡是由玻色子组成复凡是由玻色子组成复合粒子是玻色子；由偶数个费米子组成复合粒子是玻色子；由偶数个费米子组成复合粒子是玻色子，由奇数个费米子组成复合粒子是玻色子，由奇数个费米子组成复合粒子是费米子。合粒子是费米子。如，原子、核、核、原子为玻色子原子、核、核、原子为费米子第52页d）泡利不相容原理泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子系统中，对于含有多个全同近独立费米子系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。一个个体量子态最多能容纳一个费米子。费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子系统中，占据一个个体量全同近独立费米子系统中，占据一个个体量子态费米子不可能超出一个，而玻色子组成子态费米子不可能超出一个，而玻色子组成系统不受泡利不相容原理约束。费米子和系统不受泡利不相容原理约束。费米子和玻色子遵从不一样统计。玻色子遵从不一样统计。第53页4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统:由可分辨全同近独立粒子组成，且处由可分辨全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上粒子数不受限制系统。在一个个体量子态上粒子数不受限制系统。玻色系统玻色系统:把由不可分辨全同近独立玻色粒子组成，不受把由不可分辨全同近独立玻色粒子组成，不受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数不受限制系统称作玻色系统。上粒子数不受限制系统称作玻色系统。第54页费米系统费米系统:把由不可分辨全同近独立费米粒子组成，受把由不可分辨全同近独立费米粒子组成，受泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态泡利不相容原理约束，即处于同一个个体量子态上粒子数最多只能为上粒子数最多只能为1个粒子系统称作费米系统。个粒子系统称作费米系统。第55页 设系统由两个粒子组成，粒子个体量子态有设系统由两个粒子组成，粒子个体量子态有3个，假如这两个粒子分属个，假如这两个粒子分属玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统、玻色、玻色系系统统、费米、费米系统系统时，试分别讨论系统各有那些可能时，试分别讨论系统各有那些可能微观状态？微观状态？第56页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态 31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA对于定域系统可有对于定域系统可有9种不一样微观状态种不一样微观状态第57页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态31AA2AA3AA4AA5AA6AA对对于玻色系于玻色系统统，能，能够够有有6种不一种不一样样微微观观状状态态。第58页量子量子态态1 量子量子态态2量子量子态态31AA2AA3AA对对于于费费米系米系统统，能，能够够有有3个不一个不一样样微微观观状状态态。第59页粒子类别粒子类别量子态量子态1 1量子态量子态2 2量子态量子态3 3玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统A BA BA BA BA BA BA AB BB BA AA AB BB BA AA AB BB BA A玻色系统玻色系统A AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA A费米系统费米系统A AA AA AA AA AA A分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统两个粒子占据三个量子态给出微观状态数分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统两个粒子占据三个量子态给出微观状态数第60页经典统计物理学经典统计物理学 在经典力学基础上建立统计物理学称为经在经典力学基础上建立统计物理学称为经典统计物理学。典统计物理学。量子经典统计物理学量子经典统计物理学 在量子力学基础上建立统计物理学称为经在量子力学基础上建立统计物理学称为经典统计物理学。二者在原理上相同，区分在于微典统计物理学。二者在原理上相同，区分在于微观状态描述。观状态描述。第61页64 等概率原理等概率原理宏观状态和微观状态区分宏观状态和微观状态区分宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如N、E、V。微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数 表示。表示。为了研究系统宏观性质，没必要也不可能追为了研究系统宏观性质，没必要也不可能追究微观状态复杂改变，只要知道各个微观状态出究微观状态复杂改变，只要知道各个微观状态出现概率，就能够用统计方法求微观量统计平均值。现概率，就能够用统计方法求微观量统计平均值。所以，确定各微观状态出现概率是统计物理根本所以，确定各微观状态出现概率是统计物理根本问题。问题。第62页等概率原理等概率原理：对于处于平衡态孤立系统，系统各个可能微对于处于平衡态孤立系统，系统各个可能微观状态出现概率是相等。既然这些微观状态都一观状态出现概率是相等。既然这些微观状态都一样满足含有确定样满足含有确定N、E、V 宏观条件，没有理由宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现概率更大一些。这些微观状认为哪一个状态出现概率更大一些。这些微观状态应该是平权。态应该是平权。等几率原理是统计物理学中一个合理基本假等几率原理是统计物理学中一个合理基本假设。该原理不能从更基本原理推出，也不能直接设。该原理不能从更基本原理推出，也不能直接从试验上验证。它正确性在于从它推出各种结论从试验上验证。它正确性在于从它推出各种结论与客观实际相符而得到必定。与客观实际相符而得到必定。第63页6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数一一.分布分布对于确定宏观状态下，粒子数按能级排列方式对于确定宏观状态下，粒子数按能级排列方式 能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：确定宏观状态满足：确定宏观状态满足：第64页 给定了一个分布，只能确定处于每一个能级给定了一个分布，只能确定处于每一个能级上粒子数，它与系统微观状态是两个性质不一样上粒子数，它与系统微观状态是两个性质不一样概念。概念。微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反应是粒子运动特征。比如：在某一能级上，假反应是粒子运动特征。比如：在某一能级上，假设有设有3个粒子，这三个粒子是怎样占据该能级量个粒子，这三个粒子是怎样占据该能级量子态，也就是它微观状态。子态，也就是它微观状态。第65页 就一个确定分布而言，与它对应微观状态就一个确定分布而言，与它对应微观状态数是确定。不一样分布，有不一样微观状态数。数是确定。不一样分布，有不一样微观状态数。如上边提到分布如上边提到分布 1，4，6和和0，2，9，它们分别有不一样微观状态数。它们分别有不一样微观状态数。第66页三种统计微观状态数三种统计微观状态数 同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出微观状态数显然是不一样，下面分费米系统给出微观状态数显然是不一样，下面分别加以讨论别加以讨论.1 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 粒子能够分辨，若对粒子加以编号，则粒子能够分辨，若对粒子加以编号，则 个粒子占据能级个粒子占据能级 上上 个量子态时，是彼此独个量子态时，是彼此独立、互不关联。分布对应系统微观状态数为：立、互不关联。分布对应系统微观状态数为：第67页分布对应系统微观状态数为：分布对应系统微观状态数为：第68页2 玻色系统玻色系统 粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳粒子粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳粒子个数不受限制。首先个数不受限制。首先 个粒子占据能级个粒子占据能级 上上 个量子态有种个量子态有种 可能方式。将各种能级结果相乘，就得到玻色系可能方式。将各种能级结果相乘，就得到玻色系统与分布对应微观状态数为：统与分布对应微观状态数为：第69页第70页3 费米系统：费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。容纳一个粒子。个粒子占据能级个粒子占据能级 上个上个 量量子态，相当于从子态，相当于从 个量子态中挑出个量子态中挑出 个来为粒个来为粒子所占据，有种可能方式子所占据，有种可能方式 第71页 将各能级结果相乘，就得到费米系统与分布将各能级结果相乘，就得到费米系统与分布对应微观状态数为：对应微观状态数为：第72页经典极限条件经典极限条件 假如在玻色系统和费米系统中，任一能级上假如在玻色系统和费米系统中，任一能级上粒子数均远小于该能级量子态数，即粒子数均远小于该能级量子态数，即 （对全部能级）（对全部能级）称为满足经典极限条件，也称非简并性条件。称为满足经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在全部能级，粒子数都远经典极限条件表示，在全部能级，粒子数都远小于量子态数。小于量子态数。第73页此时有：第74页 在玻色和费米系统中，在玻色和费米系统中，个粒子占据能级个粒子占据能级 上上 个量子态时原来是存在关联，但在满足个量子态时原来是存在关联，但在满足经典极限条件情形下，因为每个量子态上粒经典极限条件情形下，因为每个量子态上粒子数远小于子数远小于1，粒子间关联能够忽略。这时，粒子间关联能够忽略。这时，全同性影响只表现在因子全同性影响只表现在因子 上。上。第75页 经典统计中分布和微观状态数经典统计中分布和微观状态数 对于经典系统，因为对坐标和动量测量总存对于经典系统，因为对坐标和动量测量总存在一定误差，假设在一定误差，假设 ，这时经典系统一个运，这时经典系统一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元大小表示，该体积元大小 表示经典系统一个微观状态在表示经典系统一个微观状态在 空间所占体空间所占体积，称为经典相格。这里积，称为经典相格。这里 由测量精度决定，由测量精度决定，最小值为普朗克常量。最小值为普朗克常量。第76页 现将现将 空间划分为许多体积元空间划分为许多体积元 ，以，以 表示运表示运动状态处于动状态处于 内粒子所含有能量，内粒子所含有能量，内粒子运动状内粒子运动状态数为态数为这么，这么，个粒子处于各个粒子处于各 分布可表示为分布可表示为能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：体体 积积 元元:第77页 因为经典粒子能够分辨，处于一个相格内粒因为经典粒子能够分辨，处于一个相格内粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统统计规律，所以与分布统统计规律，所以与分布 对应经典系统微观对应经典系统微观状态数为：状态数为：第78页玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统玻色系统玻色系统费米系统费米系统经典系统经典系统微观状态微观状态第79页6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应系统微观状态数。而且举例说明了对于一个系统微观状态数。而且举例说明了对于一个孤立系统约束条件不变条件下，即孤立系统约束条件不变条件下，即E、N、V=Const。对于不一样分布系统微观状态数是不。对于不一样分布系统微观状态数是不同。可能存在这么一个分布，它使系统微观状同。可能存在这么一个分布，它使系统微观状态数最多。态数最多。第80页 依据等几率原理，对处于平衡态孤立系统，每依据等几率原理，对处于平衡态孤立系统，每一个可能微观状态数几率是相等。所以，微观状态一个可能微观状态数几率是相等。所以，微观状态数最多分布，出现几率最大，称为最可几分布（最数最多分布，出现几率最大，称为最可几分布（最概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）粒子最概然分布粒子最概然分布玻耳兹曼分布。玻耳兹曼分布。第81页三种分布推导三种分布推导斯太林公式：斯太林公式：当足够大时当足够大时,第二项与第一项相比能够忽略第二项与第一项相比能够忽略.这时这时第82页玻耳玻耳兹兹曼分布曼分布两边取对数得：若假设N1，al1，l1,可得到：对第83页两边关于求变分，但这些不完全是独立，必须满足约束条件：则必须满足：第84页 为求在此约束条件下最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为a和分别乘以上面两式，有令从中减去前两式则有：即，第85页玻耳兹曼分布也可表示为处于能量为量子态上平均粒子数a和分别由下面条件决定 上式给出了玻耳兹曼系统粒子最概然分布，称为玻耳兹曼分布。a和分别由下面条件决定第86页说明（1）取极大值条件不但要求同时要求证实：对关于再求变分，有所以满足取极大值条件。第87页（2）一个处于宏观平衡态孤立系统可能给出微）一个处于宏观平衡态孤立系统可能给出微观状态数为各种分布对应微观状态数总和，其观状态数为各种分布对应微观状态数总和，其中最概然分布给出微观状态数比其它分布给出中最概然分布给出微观状态数比其它分布给出微观状态数大得多，所以能够用最概然分布给微观状态数大得多，所以能够用最概然分布给出微观状态数来近似系统总微观状态数。出微观状态数来近似系统总微观状态数。第88页现将玻耳兹曼分布微观状态数与对玻耳兹曼分布有偏离一个分布微观状态数加以比较。对作泰勒展开，第89页假假设对设对玻耳玻耳兹兹曼分布相曼分布相对对偏离偏离为为则则对对于于宏宏观观系系统统，第90页 这个预计说明，即使对最概然分布仅有极小偏这个预计说明，即使对最概然分布仅有极小偏离分布，它微观状态数与最概然分布给出微观状离分布，它微观状态数与最概然分布给出微观状态数相比也靠近于零。态数相比也靠近于零。（3）斯太林公式要求，实际情况往往不满足。）斯太林公式要求，实际情况往往不满足。（4）以上理论能够推广到含有多个组元情形。）以上理论能够推广到含有多个组元情形。第91页经典统计中玻耳兹曼分布表示式经典统计中玻耳兹曼分布表示式a和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定第92页67 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布 同理能够求出玻色系统和费米系统中粒子最概然布。同理能够求出玻色系统和费米系统中粒子最概然布。两边两边取取对对数得：数得：若假设若假设N1，al1，l1,可得到：可得到：对对第93页两边关于求变分，但这些不完全是独立，必须满足约束条件：则必须满足：第94页 为为求在此求在此约约束条件下最大束条件下最大值值，使用拉格朗日乘数法，使用拉格朗日乘数法，取未定因子取未定因子为为a和和分分别别乘以上面两式，有乘以上面两式，有令令从中减去前两式从中减去前两式则则有：有：即，即，第95页同理可导出费米同理可导出费米分布分布为为 上式给出了玻色系统粒子最概然分布，称为玻色上式给出了玻色系统粒子最概然分布，称为玻色分布。分布。a和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定第96页玻色分布和玻色分布和费费米分布分布也可表示米分布分布也可表示为处为处于能量于能量为为量子量子态态a和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定上平均粒子数上平均粒子数第97页68 三种分布关系三种分布关系玻耳兹曼分布：玻耳兹曼分布：玻色分布：玻色分布：费米分布费米分布：第98页假如参数假如参数满满足条件足条件则则玻色分布和玻色分布和费费米分布米分布过过渡到玻耳渡到玻耳兹兹曼分布。即曼分布。即满满足足经经典极限条件玻色典极限条件玻色(费费米米)系系统统遵从玻耳遵从玻耳兹兹曼系曼系统统一一样样分布。因分布。因为为第99页 对对全部能全部能级级等价，所以二者均称等价，所以二者均称为经为经典极限条典极限条件，或非件，或非简简并性条件。并性条件。经经典极限条件表示，在全典极限条件表示，在全部能部能级级，粒子数都，粒子数都远远小于量子小于量子态态数。数。第100页 当满足经典极限条件时，微观状态数和分布退当满足经典极限条件时，微观状态数和分布退化规律化规律 第101页