北师大版七年级数学下册《变量之间的关系》知识点汇总教学教材.doc

北师大版七年级数学下册《变量之间的关系》知识点汇总
北师大版七年级数学下册《变量之间的关系》知识点汇总
一、变量、自变量、因变量、常量
变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
二、函数的三种表示方法：
（一）列表法（用表格）
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
（二）解析法（关系式）
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（ 也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
（三）图像法（用图象）
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。
表示的步骤是：
① 列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。
② 描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。
③ 连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
3、理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
三、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降 状的线，其代表速度减小。
四、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
五、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表格法：多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法：准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势