1、第一讲 实数一.知识梳理：1.实数的基本概念(1)正数和负数定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。 (2)有理数分类：正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。即：(3)无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数，归纳起来有四类：a.开方开不尽的数，如等； b.有特定结构的数，如0.1010010001等；c.有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等； d.某些三角函数值，如sin60o等注：小数是分数。(4)实数：有理数和无理数统称为实数，即： 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小
2、数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）注意：实数与数轴的点是一一对应的。3.相反数：代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。几何定义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0a、b互为相反数，反之亦成立.注意：零的相反数是零一般地，如果a、b互为相反数，则a+b=0. 反之亦成立。4.绝对值定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： a
3、=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a0。任何数的绝对值总是非负数，即|a|0。5.倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数。如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。注意：0没有倒数。6.数的比较大小法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。7.科学记数法定义：把一个绝对值大于10的数表示成a10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a10-n）时，n是从小数
4、点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。8.近似数一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位精确到0.1；精确到百分位精确到0.01；9.有效数字从左边第一个不为0的数开始，到精确的数位为止，中间所有的数字都叫做有效数字。二.课后练习1.若收入100元记作+100元，那么支出60元记作 _元。2.3的相反数是 ，-5的倒数是 ，-3的绝对值是 。3.计算：-(-2)= ，|-5|= 。4.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则= 。5.小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在已经画好的数轴上。如图所示，请根据图中标出的数，写出被墨水盖住的整数：
5、 。6.若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b= 。7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000 km，则这个数用科学记数法表示应为 。8.2.396 (精确到百分位) 2.396 _ (精确到十分位)9.在记录气温时，若零上5度记作+5，那么零下5度记作( )A、5 B、-5 C、0 D、-1010.数轴上表示-3的点到原点的距离是( )A、3 B、-3 C、 D、11.在0，-2，1，这四个数中，最小的数是( )A、0 B、-2 C、1 D、12.如果a的倒数是-1，那么a2014等于( )A、-1 B、1 C、2014 D、-201413. 3的
6、相反数是()A. 3 B. 3 C. D. 14.3的绝对值是()A. 3 B. 3 C. D. 15.7的倒数是()A. 7 B. C. 7 D. 16.sin60的相反数是()A. B. C. D. 17.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是() A. ab0 C. ab|b|18.若a与1互为相反数，则|a1|等于()A. 1 B. 0 C. 1 D. 219.在1，2，0， 这四个数中，最大的数是()A. 2 B. 0 C. D. 120.地球上的陆地面积约为149000000平方公里，那么用科学记数法表示149000000应为( )A、1.49106 B、1.4
7、9107 C、1.49108 D、1.4910921. 甲型H1N1流感病毒变异后的直径为0.00000013米，这个数用科学记数法表示应该是( )A、1.310-6 B、1.310-7 C、1.310-8 D、1.310-922.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨将数67500用科学记数法可表示为()A. 0.675105 B. 6.75104C. 67.5103 D. 67510223.近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。霾的主要成分是PM2.5，是指直径小于或等于0.0000025m的颗粒物。那么数0.0000025用科学记数法可表示为( )A、2510-5 B、
8、2510-6 C、2.510-5 D、2.510-624.钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为440万m2，数据440万用科学记数法表示为()A. 4.4106B. 44105C. 4106 D. 0.4410725.把2.3649精确到0.01是（ ）A.2.3 B. 2.37 C.2.36 D.2.3526.0.002035的有效数字有（ ）A.5个 B. 5的 C.4个 D.3个28.数21.300精确到（ ）A.0.1 B. 0.01 C.0.001 D.无法确定29.把数3576.635精确到百位是（ ）A.3576 B. 3576.64 C.3577 D.360030.下列
9、实数中，是无理数的为()A. 3.14 B. C. D. 第二讲 实数的运算一.知识梳理：1. 实数的加法（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。（2）加法运算律：交换律 a+b=b+a； 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。2. 实数的减法减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。3. 实数的乘法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。（2）乘法运算律：交换律a
10、b=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。4. 实数的除法除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。5. 乘方（1）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。如：叫做a的乘方，记作an。读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。乘方的结果叫做幂。（2）性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。6. 0指数幂和负正指数幂（1）0指数幂：一个不为0的数的0次幂都等于1，即：（2）负正指数幂：一个不为0的
11、数的负整指次幂等于这个数的倒数的正整指次幂。即：7. 实数的混合运算混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。二.精讲点拨：例1.计算：例2.计算：(2)0()14cos30|1-|.三.课后作业：1.某天早晨的气温是-7，中午上升了11，那么中午的气温是 。2.日喀则某天的最高气温是10，最低气温是-8，那么这天日喀则的最高气温比最低气温高( ) A、-18 B、-2 C、2 D、183.计算：()2|1|2sin60(1)0.4.计算：()0(1)2015tan60.5.计算：(2)3(2014)0|ta
12、n260.6.计算：()12cos45(2016)0.7. 计算：(1)0tan60|2|.第三讲 平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。 a叫做被开方数。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。定义2：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。记作，读作“根号a”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质2：算术平方根的双重非负性：0 ； 定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方
13、。2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。性质2：，三次根号内的负号可以移到根号外面。定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较 （1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（2）实数大小比较的几种常用方法作差法：设a、b是实数， .作商法：设a、b是两正实数，平方法：设a、b是两负实数，则近似值法：记住这些数值：二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。2.-8的立方
14、根是 ；立方根是它本身的数是_3.的算术平方根是_，的立方根是 5.比较大小：-3.14 ； 。6. 已知，则xyz的立方根是_7.的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。8.若代数式有意义，则x的取值范围是_9.已知x、y为实数，且y4，则xy_10.的算术平方根是( )A.4 B.4 C.2 D.211.在数，中，无理数有( )个。A.3 B.4 C.5 D.612.如图，数轴上点P表示的数可能是( ) A. B.- C.-3.2 D.-13.估计的值( )A、在3到4之间 B、在4到5之间 C、在5到6之间 D、在6到7之间14.64的立方根是()A. 4 B. 4 C. 8 D. 815.
15、(3)2的平方根是()A. 3 B. 3 C. 3 D. 916.化简：()A. 3 B. 3 C. 2 D. 217.下列说法不正确的是( )A.0的相反数、绝对值都是0 B.立方等于它本身的数有3个C.平方等于它本身的数有2个 D.倒数等于它本身的数有1个18. 在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x1 C. x1 D. x1第四讲 二次根式1.二次根式的定义形如(a0)的式子叫做二次根式。2.二次根式的基本性质 (a0)； 3.二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：(a0， b0)； (a0， b0)。(2)二次根式的除法： (a0， b0)； (a0， b0)。4.最简二次根
16、式最简二次根式满足的条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；根号内不含分母；分母中不含根号。5.同类二次根式： 几根二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式6.二次根式的加减法二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。7.分母有理化把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。二.课后作业1.二次根式在实数范围内有意义的条件是 。2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 。3.计算：= ；= ；4.计算：= 。= 。5.已知a1，b1，则代数式ab的值为_6.列计算错误的是()A. B. C. 2 D. 2
17、7.下面计算正确的是( )A.3=3 B. C.2= D.=28.a，则a在两个相邻整数之间，这两个整数是()A. 4和5 B. 3和4 C. 2和3 D. 1和29.下列二次根式中，最简二次根式是( )A. B. C、 D、10.下列二次根式中与是最简二次根式的是()A. B. C. D. 13.计算：14. 计算：21tan60(1)0|2|.15.计算： 16.求代数式x2+4xy+y2的值，其中，。第五讲 幂的运算一.知识梳理（一）代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：代数式中不含有“=、”等符号。2
18、.代数式的书写格式：（二）整式：单项式和多项式统称为整式。单项式：只含有乘法运算的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。（三）.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。（四）合并同类项法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
19、（五）幂的运算同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(am)n=amn。积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即：(ab)n=anbn。同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：aman=am-n。二.课后作业1.计算：(-2a2b3c)3= 。2.若单项式与是同类项，则= 。3.计算：(-a3)2a3= 。4.用定义一种新运算：对于任意实数a、b，都有ab=b2+1，则53= 。5.某人设计了一个计算程序，当输入任意实数对(a，b)时，会得到一个新的实数：a2+b+1。如
20、输入(3，-2)时，会得到32+(-2)+1=8。现输入(-3,4)，得到的数是 。6.科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，。仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 。7. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 第1个 第2个 第3个第n个图案中白色地面砖有 块。8.观察下列一组图形的规律：猜一猜第2014个图形应该是( )A. B. C. D.9. 下列计算正确的是( )A.x2+x2=x4 B.x3x3=x9 C.x3x5=x8 D.(x2)4=
21、x610.下列计算正确的是( )A.a2a3=a6 B.y3y3=y C.3m+3n=3mn D.(x3)2=x611.下列运算正确的是( )A.a3a2=a B.(a3)4=a7 C.2a3+5a3=7a6 D.、a4a3=a12.下列运算正确的是( )A.x3+x3=x6 B.x2x4=x8 C.x12x2=x6 D.x2x4=x613.计算(a3)2的结果是()A. a5 B. a6 C. a8 D. a914.下列运算中，结果正确的是()A. x3x3x6 B. 3x22x25x4C. (x2)3x5 D. (xy)2x2y215.一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，a3+b5
22、，a4-b7，其中第10个式子是( )A.a10+b19 B.a10-b19 C.a10-b17 D.a10-b2116.下列运算正确的是()A.aa2a2 B.(ab)3ab3 C.(a2)3a6 D.a10a2a517.下列运算正确的是()A. x2x2x4 B. (ab)2a2b2C. (a2)3a6 D. 3a22a36a6第六讲 整式的运算一.知识梳理1.去括号法则：括号前面是正号，去掉括号后括号内的各项不变号；括号前面是负号，去掉括号后括号内的各项要变号。2.整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。3.整式的乘除运算单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘
23、，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式的乘法：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc。多项式与多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。即：两
24、个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。完全平方式我们把形如a22ab+b2的式子叫做完全平方式单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。3.因式分解定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解的常用方法：提公因式法：pa+pb+p
25、c=p(a+b+c)；公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2。二.课后作业1.分解因式：x2-9= ；x2+6x+9= ；2.分解因式：2x3+8x2+8x= ；a3b-ab3= 。3.分解因式：ax2ay2_；a3a_4.分解因式：x3y2x2yxy_2x28_5.对于实数a，b，规定一种运算： aba(ab)1，则(2) 5的结果为_6.若xy3，xy1，则x2y2_7.已知a2a10，则a3a2a2015_8.计算：(5a4)(8ab2)_9.计算(12x4y7+20x2y5)(-4x2y4
26、)的结果是( )A.3x2y3+5y B.-3x2y3 C.-3x2y3-5y D.-3x2y3-5xy10.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值是( ) A.12 B.24 C.12 D.2411.多项式2a24ab2b2分解因式的结果正确的是()A. 2(a22abb2) B. 2a(a2b)2b2C. 2(ab)2 D. (2a2b)212.已知整式x2x6，则2x25x6的值为()A. 9 B. 12 C. 18 D. 2413.先化简，再求值，其中。14.若方程组的解是，求(ab)2(ab)(ab)的值15.若x3，求的值第七讲 分式一.知识梳理1.分式的定义一般地，
27、如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。即：分母中有字母的代数式叫做分式。2.分式有意义的条件：分式的分母不为03.分式有意义的条件：在分式的分母不为0的条件下，分子为0.4.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；。3.分式的乘除乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。整数负指数幂：（a0）。4.分式的加减同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；即：；异分母分式的加法：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减即：。注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。二.精讲点拨例1. 化简：；例2. 先化简，再求值：其中：x是满足-3x0C. b24ac0 D. b24ac07.若一元二次方程(a1)x2axa210的一个根为0，则a_8. 若实数a、b满足|b1|0，且一元二次方程kx2axb0有实数根，则k的取值范围是_9.设m、n是一元二次方程x22x30的两根，则的值为_10.已知关于x的一元二次方程mx2mxm10有两个相等的实数根(1)求m的值；(2)求此时方程的解
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