高中数学课时作业14解析及答案.docx

课后作业(十四 )

一、选择题

1．设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2
2．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
4．如图7－5－12正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A—BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
5．如图7－5－13所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是(　　)

图7－5－13
A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC

图7－5－14
6．如图7－5－14，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为(　　)

二、填空题
7．在四面体A—BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

图7－4－11
8．如图7－4－11所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．

图7－4－12

9．如图7－4－12所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为________．
(1)AC⊥BD；
(2)AC∥截面PQMN；
(3)AC＝BD；
(4)异面直线PM与BD所成的角为45°.
三、解答题

图7－4－13
10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF＝BC.求证：FO∥平面CDE.

11．如图7－5－18，在四棱锥S—ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．
(1)求证：CD⊥平面SAD；
(2)求证：PQ∥平面SCD；
(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论．

图7－5－19
12．如图7－5－19，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF.
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

解析及答案

一、选择题

1．【解析】　m∥l1，且n∥l2⇒α∥β，但α∥βD/⇒m∥l1且n∥l2，
∴“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．
【答案】　D
2．

【解析】　如图，由＝得AC∥EF.
又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.
【答案】　A
3．【解析】　对于①，由线面平行的性质及线面垂直的定义可知正确；
对于②，由α∥β，β∥γ知α∥γ，由m⊥α知m⊥γ，故②正确；
对于③，m与n可能平行，相交或异面，故③错；
对于④，α与β可能相交，故④错．
【答案】　A
4．

【解析】　连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，从而A、B、C正确．因为点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF与△BEF的面积不相等，故选D.
【答案】　D
5．【解析】　在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，
∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，
又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.
【答案】　D
6．

【解析】　取AD的中点E，连接PE，PC，CE.
由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，
从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，
由PD＝DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，
∴DG⊥PC，DF∩DG＝D，∴PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，
因此线段DG上的点满足MP＝MC，故选A.
【答案】　A
二、填空题
7．

【解析】　如图，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
所以MN∥面ABD，MN∥面ABC.
【答案】　面ABD与面ABC
8．【解析】　设BC1∩B1C＝O，连接OD，

∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.
【答案】　1
9．【解析】　∵PQMN是正方形，∴MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥平面PQMN，
同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故(1)(2)正确．
又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝45°，故(4)正确．
【答案】　(3)
三、解答题
10．【证明】　取CD中点M，连接OM，EM，
在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝BC，
又EF∥BC且EF＝BC，则EF∥OM且EF＝OM.
所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.
又因为FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，
所以FO∥平面CDE.
11．

【解】　(1)证明　因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.
(2)证明　取SC的中点R，连接QR，DR.
由题意知：PD∥BC且PD＝BC.
在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，
所以QR∥BC且QR＝BC.
所以QR∥PD且QR＝PD，
则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQ∥DR.
又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，
所以PQ∥平面SCD.
(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.
连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，
因为PD∥CM，且PD＝CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.
又因为N为SC的中点，
所以NO∥SP.易知SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD.
又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.
12．【解】　(1)证明　①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，
所以C1B1∥平面A1D1DA.
又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，
所以A1D1∥EF.
②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.
又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.
在Rt△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得
sin∠BC1H＝＝.
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.