资源描述
题型专项(七) 三角形的简单证明与计算
类型1 与全等三角形有关的证明与计算
1.(2014·南充)如图,AD,BC相交于O,OA=OC,∠OBD=∠ODB.求证:AB=CD.
证明:∵∠OBD=∠ODB,∴OB=OD.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(SAS).
∴AB=CD.
2.(2016·昆明)如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:AE=CE.
证明:∵FC∥AB,
∴∠EAD=∠ECF,
∠ADE=∠CFE.
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AE=CE.
3.(2016·乐山)如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.求证:CE=DF.
证明:∵ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°
又∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴BE=CF.
∴△CEB≌△DFC.
∴CE=DF.
4.(2016·河北)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
解:(1)证明:∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
又AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF.
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE,AC∥DF.
5.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.
(1)求证:△ABF≌△ACE;
(2)求证:PB=PC.
证明:(1)在△ABF和△ACE中,
∴△ABF≌△ACE(SAS).
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABF≌△ACE,
∴∠ABF=∠ACE.
∴∠PBC=∠PCB.
∴PB=PC.
6.(2014·内江)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
(2)求∠APN的度数.
解:(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=BC,∠ABM=∠C.
∵在△ABM和△BCN中,
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)∵△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠BAM+∠ABP=∠APN,
∴∠APN=∠CBN+∠ABP=∠ABC==108°.
类型2 与相似三角形有关的证明与计算
7.(2016·德阳中江课改监控检测)如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4.求线段CD的长.
解:∵∠ABD=∠C,∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.
∴=.
∵AB=6,AD=4,
∴AC===9.
则CD=AC-AD=9-4=5.
8.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.
解:(1)证明:∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∵=.
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD,
∴∠A=∠BCD.
在△ACD中,∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
9.(2016·乐山模拟)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是边BC上的任意一点(P与B,C不重合),作PE⊥AP,交CD于点E.
(1)判断△ABP与△PCE是否相似,并说明理由;
(2)连接BD,若PE∥BD,试求出此时BP的长.
解:(1)△ABP与△PCE相似,理由:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABP=∠C=90°.
∴∠BAP+∠BPA=90°.
∵PE⊥AP,
∴∠CPE+∠BPA=90°.
∴∠BAP=∠CPE.
∴Rt△ABP∽Rt△PCE.
(2)由(1)得△ABP∽△PCE.
∴=,即=.
∵PE∥BD,
∴=,即=.
∴=.
∵AB=CD=2,BC=AD=3,
∴BP==.
10.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=∠C=60°,P为BC边上一点(不与B,C重合),过点P作∠APE=∠B,PE交CD于E.
(1)求证:△APB∽△PEC;
(2)若CE=3,求BP的长.
解:(1)证明:∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP.
∵∠APE=∠B,
∴∠EPC=∠BAP.
∵∠B=∠C,
∴△APB∽△PEC.
(2)过点A作AF∥CD交BC于点F.
则四边形ADCF为平行四边形,△ABF为等边三角形.
∴CF=AD=3,AB=BF=7-3=4.
∵△APB∽△PEC,
∴=.
设BP=x,则PC=7-x,又EC=3,AB=4,
∴=.
解得x1=3,x2=4.
经检验,x1=3,x2=4是所列方程的根,
∴BP的长为3或4.
11.(2016·眉山)如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.
(1)求证:=;
(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由;
(3)设PE=x,△PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系式.
解:(1)证明:∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形,
∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°.
∴△BCE∽△DCP.
∴=.
(2)AC∥BD.
理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°,
∴∠PCE=∠BCD.
又∵=,
∴△PCE∽△DCB.
∴∠CBD=∠CEP=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CBD.
∴AC∥BD.
(3)过点P作PM⊥BD交BD延长线于点M.
∵AC=4,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,
∴BE=CE=4.
∵△PCE∽△DCB,
∴=,即=.
解得BD=x.
∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°,
BP=BE+PE=4+x,
∴PM=.
∴S=BD·PM=·x·=x2+2x.
展开阅读全文