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四川省2017中考数学专题突破复习题型专项七三角形的简单证明与计算.doc

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资源描述
题型专项(七) 三角形的简单证明与计算 类型1 与全等三角形有关的证明与计算 1.(2014·南充)如图,AD,BC相交于O,OA=OC,∠OBD=∠ODB.求证:AB=CD. 证明:∵∠OBD=∠ODB,∴OB=OD. 在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO(SAS). ∴AB=CD. 2.(2016·昆明)如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:AE=CE. 证明:∵FC∥AB, ∴∠EAD=∠ECF, ∠ADE=∠CFE. 在△ADE和△CFE中, ∴△ADE≌△CFE(AAS). ∴AE=CE. 3.(2016·乐山)如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.求证:CE=DF. 证明:∵ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90° 又∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴BE=CF. ∴△CEB≌△DFC. ∴CE=DF. 4.(2016·河北)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由. 解:(1)证明:∵BF=EC, ∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF. 又AB=DE,AC=DF, ∴△ABC≌△DEF. (2)AB∥DE,AC∥DF. 理由:∵△ABC≌△DEF, ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE. ∴AB∥DE,AC∥DF. 5.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P. (1)求证:△ABF≌△ACE; (2)求证:PB=PC. 证明:(1)在△ABF和△ACE中, ∴△ABF≌△ACE(SAS). (2)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵△ABF≌△ACE, ∴∠ABF=∠ACE. ∴∠PBC=∠PCB. ∴PB=PC. 6.(2014·内江)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P. (1)求证:△ABM≌△BCN; (2)求∠APN的度数. 解:(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴AB=BC,∠ABM=∠C. ∵在△ABM和△BCN中, ∴△ABM≌△BCN(SAS). (2)∵△ABM≌△BCN, ∴∠BAM=∠CBN. ∵∠BAM+∠ABP=∠APN, ∴∠APN=∠CBN+∠ABP=∠ABC==108°. 类型2 与相似三角形有关的证明与计算 7.(2016·德阳中江课改监控检测)如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4.求线段CD的长. 解:∵∠ABD=∠C,∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACB. ∴=. ∵AB=6,AD=4, ∴AC===9. 则CD=AC-AD=9-4=5. 8.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=. (1)求证:△ACD∽△CBD; (2)求∠ACB的大小. 解:(1)证明:∵CD是边AB上的高, ∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵=. ∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD, ∴∠A=∠BCD. 在△ACD中,∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°. ∴∠BCD+∠ACD=90°, 即∠ACB=90°. 9.(2016·乐山模拟)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是边BC上的任意一点(P与B,C不重合),作PE⊥AP,交CD于点E. (1)判断△ABP与△PCE是否相似,并说明理由; (2)连接BD,若PE∥BD,试求出此时BP的长. 解:(1)△ABP与△PCE相似,理由: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABP=∠C=90°. ∴∠BAP+∠BPA=90°. ∵PE⊥AP, ∴∠CPE+∠BPA=90°. ∴∠BAP=∠CPE. ∴Rt△ABP∽Rt△PCE. (2)由(1)得△ABP∽△PCE. ∴=,即=. ∵PE∥BD, ∴=,即=. ∴=. ∵AB=CD=2,BC=AD=3, ∴BP==. 10.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=∠C=60°,P为BC边上一点(不与B,C重合),过点P作∠APE=∠B,PE交CD于E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若CE=3,求BP的长. 解:(1)证明:∵∠APC=∠B+∠BAP, ∴∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP. ∵∠APE=∠B, ∴∠EPC=∠BAP. ∵∠B=∠C, ∴△APB∽△PEC. (2)过点A作AF∥CD交BC于点F. 则四边形ADCF为平行四边形,△ABF为等边三角形. ∴CF=AD=3,AB=BF=7-3=4. ∵△APB∽△PEC, ∴=. 设BP=x,则PC=7-x,又EC=3,AB=4, ∴=. 解得x1=3,x2=4. 经检验,x1=3,x2=4是所列方程的根, ∴BP的长为3或4. 11.(2016·眉山)如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F. (1)求证:=; (2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由; (3)设PE=x,△PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系式. 解:(1)证明:∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形, ∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°. ∴△BCE∽△DCP. ∴=. (2)AC∥BD. 理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°, ∴∠PCE=∠BCD. 又∵=, ∴△PCE∽△DCB. ∴∠CBD=∠CEP=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠CBD. ∴AC∥BD. (3)过点P作PM⊥BD交BD延长线于点M. ∵AC=4,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形, ∴BE=CE=4. ∵△PCE∽△DCB, ∴=,即=. 解得BD=x. ∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°, BP=BE+PE=4+x, ∴PM=. ∴S=BD·PM=·x·=x2+2x.
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