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第十五章 复数
概念
虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数
本章知识结构图

复数
复数与复平面内点（向量）的对应关系、模的几何意义
几何意义

加、减、乘、除、乘方
运算

考纲解读
1. 理解复数的基本概念.
2. 理解复数相等的充要条件.
3. 了解复数的代数表示方法及其几何意义.
4. 会进行复数代数形式的四则运算.
5. 了解复数代数的加、减运算的几何意义.
命题趋势探究
复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，考题难度为低档.
知识点讲解
一、 基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二、基本性质
1.复数运算
（1）
（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
题型归纳与思路提示
题型190 复数概念及其代数运算
思路提示
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.
例15.1（2012年全国新课标理3）下面关于复数的四个命题：
的共轭复数为 的虚部为
其中的真命题为（ ）
. . . .
解析 因为 ，所以，，的共轭复数为，的虚部为，z的共轭复数为，z的虚部为1.
其中的真命题为,故选.
变式1（2012年陕西理3）设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
.充分而不必要条件 .必要而不充分条件
.充分必要条件 .既不充分也不必要条件
变式2 是纯虚数，则（ ）
. .
. .
变式3 复数为的共轭复数，则（ ）

例15.2（2012安徽理1）复数满足，则为
-2-2i -2+2i 2-2i 2+2i
解析 令，则
，
所以解得，所以.故选.
变式1 已知复数，则（ ）

变式2 复数（ ）

例15.3（2012江苏3）设，（i为虚数单位），则的值为 ．
解析 据题，所以 从而 .故填8.
变式1（2012重庆11）若，其中为虚数单位，则 .
变式2 若是虚数单位，且，则（ ）

例15.4（2012湖北1）方程的一个根是
A． B． C． D．
解析 解法一：设，则，
整理，得：，
所以有，解得，即
解法二：用求根公式求解：，故选A.
变式1 （2012年上海理15）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
题型190 复数的几何意义
思路提示
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.
例15.5（2012上海春季）若复数z满足为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为_____________________.
解析 设则有，即，所以z在复平面内所对应的图形为以为圆心，为半径的圆，其面积为，故填.
变式1 已知，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例15.6（2012华约联盟试题）若，且的实部为0，求复数在复平面内对应点的轨迹.
解析 令，则
所以其实部为0，所以，这就是所求轨迹的方程，它是一条平行于虚轴的直线.
变式1 设z是复数，.
（1） 求及的实部的取值范围；
（2） 若，分析u是否为纯虚数，并说明理由；
（3） 求的最小值.

最有效训练题58（限时20分钟）
1.复数（ ）
A．1 B． C． D．
2.若复数z满足为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3.设是“复数是纯虚数”的（ ）
.充分而不必要条件 .必要而不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
4. 复数z满足则（ ）
A． B． C． D．
5.复数z满足，则复数在复平面上对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.已知复数z，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
7.设，且为正实数，则的值为____________.
8. ,则____________.
9. 已知复数z 为虚数单位，则____________.
10.设，且，求对应点的轨迹方程是____________.