货运数学建模论文分解.doc

托运货物获利的研究
摘要
本文运用线性规划，一元线性以及三次回归预测等方法，综合运用Excel,SPSS等数学软件，解决了托运货物最大获益，未来客户申请量的预测问题以及未来每天最大收益的问题。
对于问题一，首先根据客户申请量，考虑到车辆自身载重、体积的约束和问题提出的约束条件，建立线性规划模型，运用Excel软件求解，最终结果为公司全部批复客户各类物品的申请量， 并得到最大获利为44275元，同时给出了合理的车辆承载方式。
问题二，首先用Excel绘制出一个月客户申请量的折线图，观察其变化趋势，发现其波动性较大不便于求出其符合的函数关系，因此考虑到用此日之前所有申请量之和作为当天数据，绘图并通过观察发现可以分别用线性、二次和三次拟合，得到其拟合系数，并由此求出未来七天的申请量的预测值。
问题三中，要求估算这7天的收益。根据第二问中预测的7天的申请量，并运用第一问中建立的模型，求出7天的批复量，进一步求出公司的获益情况。
在文章最后对模型进行评价及其适用范围做出推广，在实际应用中具有较大的参考价值。

关键字：线性规划 回归预测法 Excel 规划求解 SPSS时间序列 ARIMA预测

一、问题重述。
某公司拥有3辆汽车，每辆载重量均为9000kg，可载体积为10.3，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类  B、禽苗类  C、服装类  D、其他类，四类货物可以实现任意混装。托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，公司根据平均每类每kg所占体积和相应托运单价，批复量可以为0～1000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。
问题1、如果某天客户申请量为：A 类 6200kg，B类 5500kg，C 类 4000kg，D 类3000kg，如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍 (注意：仅在问题1中作此要求)。问公司应如何批复，才能使得公司获利最大？
问题2、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据（见附件一），请预测其后7天内，每天各类货物申请量大约是多少？
问题3、一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少？
二、问题分析
2.1问题一的分析
问题一要求批复的方法能使公司获利最大，这是一个优化问题。因此可以根据题目所给数据及其约束条件，建立合理的线性规划模型。
2.2问题二的分析
问题二中为了使公司获取更大利益，要求利用现有一个月的数据，对将来7天每天的申请总量进行预测。根据题意，每天各类货物的申请总量是随机量，而且需要预测的数据是未来短期内的，可以根据时间与货物申请量之间的发展趋势通过数据分析，从而建立合适的预测模型。
2.3问题三的分析
问题三在问题二预测的基础上再对其进行最优化求解，在已知七天的预测值的情况下，重复运用问题一的方法，改变约束条件，便可求解到七天的最优解，使得收益最大。

三、模型假设
（1） 假设各物品混装后总体积等于混装前体积。
（2） 无论如何混装均可保证货物的完整性。
（3） 每天每辆车只运送一次且当日往返。
（4） 不存在油费及路费问题（即只要运量不变，无论用几辆车其成本不变）。
（5） 所有数据真实可信。

四、符号说明
序号
符号
符号说明
1
2
3
4
5
6
7
8

第i种货物每千克的体积
第i种货物每千克的托运单价
第t天的申请量
前t天的申请总量
A类产品前t天的申请总量
B类产品前t天的申请总量
C类产品前t天的申请总量
D类产品前t天的申请总量

五、模型的建立及求解
5.1问题一的模型及求解
考虑到第一问问题中的约束条件，C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍,车的最大载重量及其最大容积，建立线性规划模型如下：

表示第i种货物被j辆货车运输，表示第i种货物的申请量。
应用excel软件进行模型求解[1]，结果如下：

列1
A类
B类
C类
D类
总计
最优批复量（kg）
6200
5500
4000
3000
18700
第一辆的承载量(kg)
6000
0
0
3000
9000
第二辆的承载量(kg)
200
5500
786
0
6486
第三辆的承载量(kg)
0
0
3214
0
3214
第一辆的承载体积(m3)

10.2
第二辆的承载体积(m3)

10.298
第三辆的承载体积(m3)

9.642
公司获得最大利润（元）

44275

结果表明，要使公司获得最大利润，则把申请的货物全部批复，并且第一辆车装A类产品6000kg,B,C产品不装，D产品装3000kg;第二辆车A、B、C、D类产品分别装200kg,5500kg,786kg和0kg;第三辆车只装C产品3214kg。共获益44275元。进一步分析可得，在保持最大收益的同时,第一和第二辆车均接近满车, ,第三辆车是没有装满的,是有剩余空间的,所以四类产品比不一定要按照表格的安排来分配货物，正常情况下，如果一个公司同时将三辆车安排出去送货，为了减少风险，通常将货物同时均分给三辆车去运送。所以，公司应该根据实际情况将货物分配给三辆车。
5.2问题二的模型及求解
对于问题二，首先检查所给数据，确定无异常后，利用excel画出其变化的趋势图（如图一）。
图一
0
5000
10000
15000
20000
25000
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
A类
B类
C类
D类
总计
sin

根据图一，并不能看出其发展趋势存在特定的函数关系。因为每天各类货物的申请总量都是随机量，因此考虑将某一天之前的审批量都相加，作为这一天的数据，再利用excel绘制图像（如图二）。

根据曲线趋势判断，可以利用拟合直线或二次,三次方程法建立预测模型[2]。
（1）设一次线性模型为：

相关概念：
离差：
离差和：
离差平方和：

因为
，
且有

则

（2）三次多项式曲线预测模型为：

设统计的数据为，令

即

解此四元一次方程可求出系数。

假设各类产品各自的第天前申请的总量为,则其第t天的申请量 。
利用SPSS软件对各类货物曲线分别进行分析：
70000.00
60000.00
50000.00
40000.00
30000.00
20000.00
10000.00
0.00
30
25
20
15
10
5
0
日期
Linear
Observed
A类货物申请总量

由其散点图可以看出,有比较明显的线性关系,所以用SPSS对其进行线性回归得到上图,并且得到相关分析:

由Model Summary表格里的相关系数R=0.998,而调整决定系数R2=0.997,且回归估计的标准差S=1092.824可知模型的拟合效果很理想。
从输出的第二个表格:ANOVA方差分析表可以看出回归平方和=33439429.回归方程的显著性检验中,统计量F=9179.320,对应的置信水平为0.000,远低于置信水平0.05,所以可认为显著性水平极高[3]。
由第三个表格:Cofficients回归系数分析表,可以得出回归方程的常数项,回归系数。由此可知回归方程:

则预测七天的A类货物申请量(取整处理)为：
A类拟合
1
2
3
4
5
6
7
拟合结果
71087
73296
75504
77712
79921
82130
84339
预测值
2209
2209
2208
2208
2209
2209
2209
对每天总量取整后得到每天的预测值,因为回归系数不为整,所以最后经过总量取整的预测值并不总是等于其增长幅度。
B类货物申请总量
对B类拟合的结果如图所示,根据SPSS输出的表格可以分析得(详见附录),用三次(Cubic)拟合的效果最好,并得其拟合方程为：

并预测七天B类货物申请量为：
B类拟合
1
2
3
4
5
6
7
拟合结果
105520
109219
113004
116882
120858
124939
129132
预测值
3620
3699
3785
3878
3976
4081
4193

140000.00
120000.00
100000.00
80000.00
60000.00
40000.00
20000.00
0.00
30
25
20
15
10
5
0
日期
Cubic
Observed
C类货物申请总量

对C类产品的总量用SPSS分析后,可得如图所示三次回归,观察图形以及由SPSS输出的表格可得其拟合方程为：

并得预测七天C类货物申请量为：
C类拟合
1
2
3
4
5
6
7
拟合结果
135970
142843
150155
157932
166203
174993
184329
预测值
6462
6873
7312
7777
8271
8790
9336

100000.00
80000.00
60000.00
40000.00
20000.00
0.00
30
25
20
15
10
5
0
日期
Linear
Observed
D类货物的申请总量

对D类产品的总量用SPSS分析后,可得如图所示三次回归,观察图形以及由SPSS输出的表格可得其拟合方程为：

并且预测七天D类货物申请量为：
D类拟合
1
2
3
4
5
6
7
拟合结果
94053
97132
100211
103290
106369
109448
112526
预测值
3079
3079
3079
3079
3079
3079
3078

5.3问题三的模型及求解
根据第一问已经建立的模型,第三问的求解只是将第一问的约束条件更改了一部分,将每天的申请量与第一问的特殊条件修改即可。得到新的约束条件:

通过Excel线性规划求解可得七天内最大的收益如下表所示:
时间
车辆分配及批复情况

A类
B类
C类
D类
获得收益（元）　
第一天装载分配
批复量
2209
3620
6462
3079
44427.78
车1装载
2209
3620
860
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
2169
3079
第二天装载分配
批复量
2209
3699
6873
2451.6
45752.34
车1装载
2209
3699
823
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
2617
2451.6
第三天装载分配
批复量
2208
3785
7311
1016
46307.27
车1装载
2208
3785
445
1016
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
3433
0
第四天装载分配
批复量
1783
3878
7776
0
46748.6
车1装载
1783
3878
910
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
3433
0
第五天装载分配
批复量
434
3976
8270
0
46898.8
车1装载
434
3976
1404
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
3433
0
第六天装载分配
批复量
0
4082
8394
0
46957.5
车1装载
0
4082
1528
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
3433
0
第七天装载分配
批复量
0
4194
8342
0
46975.5
车1装载
0
4194
1476
0
车2装载
0
0
3433
0
车3装载
0
0
3433
0
由表格可知,从第四天起,随着一些产品申请量的增加,公司已经开始拒绝一些请求了。同时随着申请量的进一步增大,第六天到第七天获得的收益已经相同,这个时候,公司的运输水平决定了公司的收益。因此建议公司准备购买或租赁一批运输用车辆,增强公司的运营能力。观察表格,可以发现,四类产品的批复优先度不一样,经过计算其单位体积获得收益,可得到如下逻辑关系式:
>>>
因此，在受运输力的影响的情况下，优先满足B类产品的需求，优先拒绝D类产品的申请，再尽可能地满足C类及A类产品的需求，以获得最大的收益。

六、模型改进
在第二问中,采取的线性模型使得预测值每天都相等,而二次或三次模型可以更加精确地拟合，同时也避免了造成每天的申请量相等和数据不具有很强的波动性的问题。但本论文所建立的方程模型,都对预测值存在递增的趋势,与实际情况的反复落差可能会有出入。查阅资料可知,在相关问题的求解中,有一种方法是根据时间序列中的ARIMA模型或指数平滑等模型来建立。有SPSS软件可直接求得其结果，具体预测参看附录。其中ARIMA模型解决了销量随时间的随机性,具有一定的可参考性。

七、模型评价与推广
虽然本文中所建的线性模型在短时间内对每天具体的预测可能并不是十分精准,但是如果题目是要求对长时间的预测,例如求解一年的总的各类产品申请量,则精确度会大大提高。同时,对B,C二类产品的三次模型随不能长期预测,但对于短期预测特别适用,能够体现数据的变动。本文对A,B,C,D类产品的申请量根据其实际情况采取了不同的模型对其进行拟合,与现实生活中每类产品有自己不同的需求情况比较契合。
另外，此类模型可以进一步推广至股市,在短期类,股市是波动比较大的一组数据,但在一定时间内,例如经济平稳发展的时候,是具有一定的线性规律。也可推广至其他方面，如蔬菜价格的预测等。

八、参考文献
[1] 郑丽敏，Excel数据处理与分析，北京：人民邮电出版社，2011.262-274
[2] 百度文库，数学建模统计预测方法及预测模型，
[3] 丁正生，概率论与数理统计简明教程，北京：高等教育出版社，2005.139-156

九、附录
B类产品SPSS拟合输出表格:
线性分析:
Model Summary
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
.999
.998
.998
1326.825

二次分析:

三次分析:

C类分析结果:

D类分析结果:
线性分析:

二次分析:

三次分析:

根据表格给出的相关系数R,决定系数R2,回归估计的标准差S,以及置信水平综合考虑可得出A,B,C,D类更适合的模型。

Excel处理线性规划如图所示:

SPSS时间序列ARIMA得到的第二问数据:
时间
A类预测
B类预测
C类预测
D类预测
1
2283.44
3431.419
4897.843
3018.873
2
2535.57
3638.305
4912.224
3164.265
3
1251.333
3669.324
4031.103
3740.203
4
3169.934
3068.703
4431.913
3705.851
5
1173.914
2987.387
3948.487
4012.304
6
3301.282
3572.724
4675.018
3544.449
7
1283.03
3420.965
3955.879
3334.982
8
3392.729
3857.336
4174.335
3563.902
9
1447.517
2199.178
5428.153
3854.096
10
3062.755
4058.229
6399.815
4169.319
11
1438.326
3436.961
4740.625
3204.134
12
3084.603
3060.053
5024.127
3671.796
13
1631.651
3686.157
4186.388
2155.561
14
2921.577
3441.259
4388.051
2387.678
15
1681.621
3278.22
4576.148
2945.939
16
2892.664
3371.377
4204.267
3159.585
17
1716.037
3707.438
3843.157
3268.681
18
2892.453
3128.142
3703.534
3237.604
19
1568.831
3602.917
4776.181
3025.425
20
2916.124
3209.733
3642.559
3004.66
21
1732.332
3932.77
4886.379
2943.9
22
2834.017
3677.048
4027.944
3513.285
23
1690.972
3913.11
3776.38
3138.306
24
2843.924
3813.416
2950.204
2860.457
25
1757.974
3476.002
2914.775
3286.123
26
2881.52
3327.125
3355.147
3445.925
27
1743.091
3400.477
4260.082
2402.893
28
2825.51
3523.094
6334.446
1847.353
29
1675.012
3025.586
5631.54
2512.503
30
2857.645
3179.879
8101.764
2742.292
31
1848.98
3321.882
7879.169
2901.49
32
2714.62
3460.934
7103.98
2945.277
33
1855.515
3423.466
6530.352
2972.73
34
2708.134
3433.562
6105.875
2989.943
35
1861.952
3430.842
5791.769
3000.735
36
2701.746
3431.575
5559.335
3007.501
37
1868.292
3431.377
5387.337
3011.743