高考解析几何与立体几何复习的几点思考.doc

高考解析几何与立体几何复习的几点思考北师大昆明附中 宋祖发 第一部分 解析几何 解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“ 坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干知识的交汇点。一、解析几何命题的特点 题型相对稳定，一般考查三个小题，一 个大题，文理科差异主要体现在小题上。三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较容易。 二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）1 直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；2 与圆的位置有关的问题，一是研究方程组，二是充分利用平面几何知识，后者是常用方法；3 求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；4 直线与圆椎曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）5 以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。（大综合）三、需要突破的几个难点：（一）直线与圆的位置关系问题（二）求曲线的方程，讨论其几何性质解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门属性为学科，主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程，进而根据方程研究曲线性质。 评析： 应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。 评析：向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题需要应用向量的数量积进行等价转化，这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”，难度较小，但是，如果不能将“向量语言”准确转化为“坐标语言”，或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细节决定成败”。（三）直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题，它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。（四）适当交汇，注重联系圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒体，常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透，题型新颖别致、自然流畅。这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。因此在复习时要突出构建知识网络，从圆锥曲线整体的高度考虑问题，在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。解:（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为评析：第一问实际上是证明点P在椭圆的内部；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量 求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值 解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0) y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9 且当x21= ,即x=1时,上式取等号 故|的最小值为3 评析：与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大，解题时需要根据具体问题，灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识，正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属容易或中等题，解答题计算量减少，思维量增大。重点仍然是直线与圆锥曲线位置关系，热点主要体现在以下几个方面：直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题，是否存在型的探索问题等。从“在知识网络交汇点设计试题”这一命题思想出发，还应该注重与平面向量、函数、导数、不等式、数列等相结合的解析几何问题。第二部分 立体几何一、考纲解读 1掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。 2掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，理解异面直线的距离。 3掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。掌握三垂线定理及逆定理。 4掌握两个平面平行的判断定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 5了解多面体、凸多媒体的概念，了解正多面体的概念。 6了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 7了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 8了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。二、近三年立体几何试题情况年份2006年2007年2008年卷型类别题号题号题号全国卷理科7，13，197，16，1911，16，18文科9，14，197，15，1911，16，18全国卷理科7，15，197，15，1910，12，16，19文科7，14，207，15，208，12，16，19 三、2008年立体几何考查的知识 全国1卷11题三棱柱中求线面所成角理科16题文科16题三棱锥中求异面直线所成角三棱锥中求点到平面的距离理科18题、文科18题四棱锥中(1)证明线线垂直；(2)求二面角。但理科、文科在第2问上给出的条件不同 全国2卷（云南）文科 8题：理科10题：求正四棱锥的体积；正四棱锥中求异面直线所成角。12题球的有关性质和计算16题平行六面体的概念和性质，考查合情推理和类比思想，考查充要条件等知识.理科19题、文科20题正四棱柱：(1)证明线面垂直；(2)求二面角。四、2008年全国2卷（云南）立体几何试题分析1. 文8：正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ）A3 B6 C9 D18 1. 理10：已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）ABCD2. 理12文12：已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B C D2图2图2图2图13. 理16文16：平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 (写出你认为正确的两个充要条件)本题是一道开放题，根据平行六面体的定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，因此考生可以很容易地写出一个充要条件：底面是平行四边形另外还可以写出其他一些充要条件，如：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点.4. 19文20如图，正四棱柱中，点在上且ABCDEA1B1C1D1FHG（）证明：平面；ABCDEA1B1C1D1FABCDEA1B1C1D1（）求二面角的大小图3图4图2图1五、备考策略（一）课本上的概念和公理、定理、推论是解决问题的基础 对公理、定理、推论，要理解其语言文字的含义，会画出符合条件的图形，会用数学符号表达，能给出定理、推论有关的证明并知道其用途-“口里说着语言（叙述），心里想着空间图形（直观），手里写着数学符号（抽象）”图3例1.(07湖北)平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是（）1234例2.(07浙江) 若是两条异面直线外的任意一点，则（） . 过点有且仅有一条直线与都平行 . 过点有且仅有一条直线与都垂直 . 过点有且仅有一条直线与都相交 . 过点有且仅有一条直线与都异面例3.(07江苏) 已知两条直线，两个平面给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（）、（二）课本上的例题、习题、复习题所使用的方法是解决问题的基本方法 课本上的习题、例题的解决，采用的是常规方法，就是我们常说的通性通法，同时也给我们解决问题的规范，应引起足够的重视，复习时不能把课本束之高阁。例4. 三个平面两两相交,求证:这三条交线交于一点或互相平行分析:两条直线有三种位置关系(平行、相交、异面），三条直线之间应有种关系，全部列出来在排除25种是相当繁杂，为此，可先考虑两条直线的位置的关系即降维思考。例5. 两条平行线与同一平面所成角相等分析：直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线在平面外；直线在平面外又分平行与相交；相交又分斜交和垂直，故细分应有4种情况。两条直线与一个平面的位置关系应有种，列出来再排出亦是繁杂，可先考虑一条直线与平面的位置关性。（三）作辅助线或辅助平面常常要用到线段的中点 纵观历年高考题，立体几何试题的设置大多与中点有关，其主要原因是中点联系了平行与垂直的关系。常用到平面几何中定理：定理1：三角形中位线性质定理2：等腰三角形底边上的中线、高线、垂直平分线重合。 在解答立体几何问题时，灵活应用上述定理，可起到事半功倍的作用。例6若线段所在直线是异面直线，分别是的中点。求证：（四）掌握空间求距离、求角的基本方法1求空间距离，以求点到直线的距离为主，主要有直接法、体积法、向量法等2求异面直线所成的角，主要是平移法，解三角形（正、余弦定理）；求直线与平面所成的角，关键是作出垂线，找到射影，再解三角形；求二面角的大小，关键找到二面角的平面角或面的法向量（五）如何突破立体几何大题-向量法1、建系；2、求点的坐标；3、求法向量常用向量解决的问题：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，其中，则点B到平面的距离为.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.1. （2007全国理科19题文科19题）SCDAB四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，（）证明：；（）（文科）求直线SD与平面SBC所成角的大小（理科）求直线SD与平面SAB所成角的大小向量法：需先找出角（用到射影长定理）后，方能进行建系！ 2. （2007全国理科19题文20题）AEBCFSD如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小