高考理科数学试题及答案.doc

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2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示上、下底面
周长，表示斜高或母线长.
球体的体积公式：，其中R表示球的半径.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．设集合等于 （ ）
A． B．
C． D．
2．设，则 （ ）
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
3．“”是“”的 （ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β
5．极坐标方程表示的曲线是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
6．若且的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）
A． B． C． D．
8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
9．若数列的通项公式是，则
等于 （ ）
A． B． C． D．
10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令

其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．函数中，
是偶函数.

12．以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是
13．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，
剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么
圆柱被截后剩下部分的体积是 .
14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形
和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正
方形的周长应为 .
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若，求的最大值、最小值.
.

16．（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.

17．（本小题满分15分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.

18．（本小题满分15分）
如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

19．（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）

（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？

20．（本小题满分14分）
设是定义在区间上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）证明：对任意的
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

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2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11． 12． 13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为

所以的最小正周期
（Ⅱ）解：因为所以
当时，取得最大值；当时，取得最小值－1. 所以在上的最大值为1，最小值为－
16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列公差为，则 又
所以（Ⅱ）解：令则由得
① ②
当时，①式减去②式，得
所以
当时, 综上可得当时,
当时，
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.
（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
在Rt△B1BE中，
∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为
解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，
即三棱锥C1—ABB1的体积为
18．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为焦点坐标为
离心率
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得
整理得根据韦达定理，得
所以 ①
将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，
由①，②得所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，
得解得，

由D、Q、G共线，同理可得

变形得
即
所以
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 由解得
记于是

当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，
若（如图1），则点M在线段AO上，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.

若(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，
且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，
P到三镇的最远距离最小为.
答：当时，点P的位置在△ABC的外心
；当时，点P的位置在原点O.
20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有
即
（Ⅱ）证法一：对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
证法二：由（Ⅰ）可得，当 所以，当因此，对任意的
当时，当时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得 又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.本试卷来源于《七彩教育网》
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