高考全国Ⅰ理科数学试题及答案word解析版.docx

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年全国，理1，5分】已知集合，则=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（2）【2014年全国，理2，5分】（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D（3）【2014年全国，理3，5分】设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）是奇函数 （D）是奇函数【答案】C【解析】是奇函数，是偶函数，为偶函数，为偶函数再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，故选C（4）【2014年全国，理4，5分】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）（A） （B）3 （C） （D）【答案】A【解析】由：，得，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离，故选A（5）【2014年全国，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由题知，且，所以，解得，故选D（6）【2014年全国，理6，5分】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如图：过作于，则，,在中，故选B（7）【2014年全国，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】输入；时：；时：；时：；时：输出，故选D（8）【2014年全国，理8，5分】设，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，即，故选B（9）【2014年全国，理9，5分】不等式组的解集记为有下面四个命题：，：,：，：其中真命题是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】C【解析】作出可行域如图：设，即，当直线过时，命题、真命题，故选C（10）【2014年全国，理10，5分】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（ ） （A） （B） （C）3 （D）2【答案】C【解析】过作于，又， 由抛物线定义知，故选C（11）【2014年全国，理11，5分】已知函数，若存在唯一的零点，且， 则的取值范围为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】解法一：由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意当时，要使有唯一的零点且，只需，即，故选B解法二：由已知，有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在轴右侧记，由，要使有唯一的正零根，只需，故选B（12）【2014年全国，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A） （B） （C）6 （D）4【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，故选C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年全国，理13，5分】的展开式中的系数为 （用数字填写答案）【答案】【解析】展开式的通项为，的展开式中的项为，故系数为（14）【2014年全国，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 【答案】【解析】由乙说：我没去过城市，则乙可能去过城市或城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市，则乙只能是去过，中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为（15）【2014年全国，理15，5分】已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为 【答案】【解析】，为线段中点，故为的直径，与的夹 角为（16）【2014年全国，理16，5分】已知分别为的三个内角的对边，且，则面积的最大值为 【答案】【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：，故， 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2014年全国，理17，12分】已知数列的前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由解：（1）由题设，两式相减，由于，所以 6分（2）由题设，可得，由（1）知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知：数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列，令则，（），因此，存在存在，使得为等差数列 12分（18）【2014年全国，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分 布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求附：若，则，=0.9544解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为： 6分（2）（）由（1）知，从而 9分 （）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知，所以 12分（19）【2014年全国，理19，12分】如图三棱柱中，侧面为菱形，（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值解：（1）连结，交于，连结因为侧面为菱形，所以， 且为与的中点又，所以平面，故又，故 6分（2）因为且为的中点，所以，又因为，所以，故，从而，两两互相垂直以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系因为，所以为等边三角形又，则， ，设是平面的法向量，则，即 所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，则，所以二面角的余弦值为 12分（20）【2014年全国，理20，12分】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程解：（1）设，由条件知，得，又，所以，故的方程 6分（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，将代入，得，当，即时，从而，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为： 或 .12分（21）【2014年全国，理21，12分】设函数，曲线在点处的切线为（1）求；（2）证明：解：（1）函数的定义域为，由题意可得，故 6分（2）由（1）知，从而等价于，设函数，则，所以当时，当时，故在单调减，在单调递增，从而在的最小值为( 8分设函数，则，所以当时，当时，故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值为 综上：当时，即 .12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）【2014年全国，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且 （1）证明：；（2）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形解：（1）由题设得，四点共圆，所以，又，所以 5分（2）设的中点为，连结，则由知，故在直线上，又不是的直径，为的中点，故，即，所以，故，又，故，由（1）知，所以为等边三角形 10分（23）【2014年全国，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线，直线（为参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为30的直线，交于点，求的最大值与最小值解：（1）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为 5分（2）曲线上任意一点到的距离为，则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为 10分（24）【2014年全国，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若，且 （1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由解：（1）由，得，且当时等号成立故，且当时等号成立，所以的最小值为 5分（2）由（1）知，由于，从而不存在，使得 10分7