高考湖北理科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D【解析】，则，其对应点位于第四象限，故选D（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故选C（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为，故选A（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因为可化为，将它向左平移个单位得，其图像关于轴对称，故选B（5）【2013年湖北，理5，5分】已知，则双曲线：与：的（ ）（A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）焦距相等 （D）离心率相等【答案】D【解析】对于双曲线，有， 对于双曲线，有，即这两双曲线的离心率相等，故选D（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点、，则向量在方向上的投影为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，则在方向上的射影为，故选A（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：m/s）行驶至停止 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】令=0，解得或（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为，故选C（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C【解析】显然，所以B不正确 又，从而，故选C（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B 【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有1256=750，涂了油漆的面数有256=150每一个小正方体的一个面涂漆的频率为，则它的涂漆面数为的均值，故选B（10）【2013年湖北，理10，5分】已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）（A）， （B），（C）， （D），【答案】D【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点 过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为，切线方程为 再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足：，解得 则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以，故选D二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中的值为_；（2）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）（2）用电量落在区间内的户数为（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 【答案】5【解析】已知初始值，则执行程序，得；因为，则执行程序，得；，则第三次执行程序，得；，则第四次执行程序，得；，执行输出，（13）【2013年湖北，理13，5分】设，且满足：，则 【答案】【解析】由柯西不等式得当且仅当时等号成立，此时，（14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为 记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式：三角形数 ，正方形数 ，五边形数 ，六边形数 ，可以推测的表达式，由此计算_【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含项的系数为首项是，公差是的等差数列，含项的系数为首项是，公差是的等差数列，因此故（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆上一点在直径上的射影为，点在半径上的射影为若，则的值为_【答案】8【解析】根据题设，易知， 即，在中，在中， ，即，（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 （为参数，）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）与 若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 【答案】【解析】椭圆的方程可以化为，圆的方程可化为，直线的方程可化为，因为直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则，所以椭圆的离心率三、解答题：共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2013年湖北，理17，11分】在中，角，对应的边分别是， 已知（1）求角A的大小；（2）若的面积，求的值解：（1）由，得，即，解得或（舍因为，所以（2）由得又，知由余弦定理故 又由正弦定理得 （18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由解：（1）设等比数列的公比为q，则由已知可得，解得，或 故，或（2）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而，故 综上，对任何正整数，总有故不存在正整数，使得成立（19）【2013年湖北，理19，12分】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足 记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：解：（1）直线平面，证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以 又平面，且平面，所以平面而平面，且平面平面，所以 因为平面，平面，所以直线平面 （2）解法一：（综合法）如图，连接，由（1）可知交线即为直线，且因为是的直径，所以，于是已知平面，而平面，所以而，所以平面连接，因为平面，所以故就是二面角的平面角，即由，作，且 连接，因为是的中点，所以，从而四边形是平行四边形，连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即，于是在，中，分别可得，从而，即 解法二：（向量法）如图，由，作，且连接，由（1）可知交线即为直线以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有， 于是，所以，从而 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由，可得取于是，从而故，即（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为（1）求的值；（参考数据：若，有，）；（2）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆 若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆?解：（1）由于随机变量服从正态分布，故有， 由正态分布的对称性，得（2）设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为 依题意， 还需满足： 由（1）知，故等价于 于是问题等价于求满足约束条件，且使目标函数达到最小的作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线在y轴上截距最小，即z取得最小值故应配备型车5辆、型车12辆（21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D记，和的面积分别为和（1）当直线与轴重合时，若，求的值；（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由解：依题意可设椭圆和的方程分别为：，：其中，（1）解法一：如图，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以 在C1和C2的方程中分别令，可得，于是若，则，化简得 由，可解得故当直线与轴重合时，若，则解法二：如图，若直线与轴重合，则，；，所以 若，则，化简得 由，可解得故当直线与轴重合时，若，则（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以 又，所以，即 由对称性可知，所以，于是 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，根据对称性可知，于是从而由和式可得令，则由，可得，于是由可解得因为，所以 于是式关于有解，当且仅当，等价于 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则，所以又，所以因为，所以由点，分别在C1，C2上，可得，两式相减可得，依题意，所以 所以由上式解得因为，所以由，可解得从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得（22）【2013年湖北，理22，14分】设是正整数，为正有理数（1）求函数的最小值；（2）证明：；（3）设，记为不小于的最小整数，例如，令，求的值（参考数据：，）解：（1）因为，令，解得当时，所以在内是减函数；当时，所以在内是增函数故函数在处取得最小值（2）由（1），当时，有，且等号当且仅当时成立，故当且时，在中，令（且），上式两边同乘，得，即当时，在中令（这时且），类似可得且当时，也成立综合，得 （3）在中，令，分别取值81，82，83，125，得，将以上各式相加，并整理得代入数据计算，可得，由的定义，得9