高考湖北理科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】D
【解析】，则，其对应点位于第四象限，故选D．
（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为，集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】∵，，∴，故选C．
（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
（A）∨ （B）∨ （C）∧ （D）∨
【答案】A
【解析】因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙
没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨，故选A．
（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为可化为，将它向左平移个单位得
，其图像关于轴对称，故选B．
（5）【2013年湖北，理5，5分】已知，则双曲线：与：的
（ ）
（A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）焦距相等 （D）离心率相等
【答案】D
【解析】对于双曲线，有，． 对于双曲线，
有，．
即这两双曲线的离心率相等，故选D．
（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，，则在方向上的射影为，
故选A．
（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
（的单位：，的单位：m/s）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】令=0，解得或（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为，故选C．
（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】显然，所以B不正确． 又，，
，，从而，故选C．
（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小
的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值
（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为，则它的涂漆面数为的均值，故选B．
（10）【2013年湖北，理10，5分】已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ）
（A）， （B），
（C）， （D），
【答案】D
【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点． 过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为．切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为，切线方程为． 再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足：，解得． 则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以，故选D．
二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11-14题）
（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现
其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中的
值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间内的户数
为 ．
【答案】（1）0.0044 （2）70
【解析】（1）．
（2）用电量落在区间内的户数为．
（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 ．
【答案】5
【解析】已知初始值，∵，则执行程序，得；因为，则执行程序，得；，则第三次执行程序，得；∵，则第四次执行程序，得；∵，执行输出，．
（13）【2013年湖北，理13，5分】设，且满足：，，
则 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式得当且仅当时等号成立，此时，
．∵，，∴，，．∴．
（14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，，第个三角形数为． 记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式：三角形数 ，正方形数 ，五边形数 ，六边形数 ，…………可以推测的表达式，由此计算________．
【答案】1000
【解析】由题中数据可猜想：含项的系数为首项是，公差是的等差数列，含项的系数为首项是，公
差是的等差数列，因此．
故．
（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）
（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆上一点在直径上
的射影为，点在半径上的射影为．若，则的值为_______．
【答案】8
【解析】根据题设，易知，，∴，
即，在中，，在中， ，即，∴．
（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 （为参数，）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）与． 若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】椭圆的方程可以化为，圆的方程可化为，直线的方程可化为，因为直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则，，，所以椭圆的离心率．
三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（17）【2013年湖北，理17，11分】在△中，角，，对应的边分别是，，． 已知．
（1）求角A的大小；
（2）若△的面积，，求的值．
解：（1）由，得，即，解得或
（舍因为，所以．
（2）由得．又，知．由余弦定理故．
又由正弦定理得．
（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
解：（1）设等比数列的公比为q，则由已知可得，解得，或．
故，或．
（2）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，
从而．若，则，
故是首项为，公比为的等比数列，从而，故．
综上，对任何正整数，总有．故不存在正整数，使得成立．
（19）【2013年湖北，理19，12分】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，
直线平面，，分别是，的中点．
（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以
证明；
（2）设（1）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足． 记直线
与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的
大小为，求证：．
解：（1）直线∥平面，证明如下：
连接，因为，分别是，的中点，所以∥． 又平面，
且平面，所以∥平面．而平面，且平面平面
，所以∥． 因为平面，平面，所以直线∥平面．
（2）解法一：（综合法）
如图，连接，由（1）可知交线即为直线，且∥．因为是的直径，
所以，于是．已知平面，而平面，所以．
而，所以平面．连接，，因为平面，所以．
故就是二面角的平面角，即．由，作∥，且．
连接，，因为是的中点，，所以，从而四边形是平行四边形，
∥．连接，因为平面，所以是在平面内的射影，
故就是直线与平面所成的角，即．又平面，有，
知为锐角，故为异面直线与所成的角，即，于是在△，
△，△中，分别可得，，，
从而，即．
解法二：（向量法）
如图，由，作∥，且．连接，，，，，
由（1）可知交线即为直线．以点为原点，向量所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有
，．
于是，，，
所以，从而．
又取平面的一个法向量为，可得，
设平面的一个法向量为，所以由，可得．取．
于是，从而．
故，即．
（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为．
（1）求的值；（参考数据：若～，有
，）；
（2）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．、
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公
司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆． 若每天要以不小于的
概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车
各多少辆?
解：（1）由于随机变量服从正态分布，故有，，．
由正态分布的对称性，得
．
（2）设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为．
依题意， 还需满足：．
由（1）知，，故等价于．
于是问题等价于求满足约束条件，且使目标函数
达到最小的．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐
标分别为．由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线
在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备型车5辆、型车12辆．
（21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和．
（1）当直线与轴重合时，若，求的值；
（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．
解：依题意可设椭圆和的方程分别为：，：．其中，
（1）解法一：
如图，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，
，所以． 在C1和C2的方程中分别令，
可得，，，于是．
若，则，化简得． 由，可解得．
故当直线与轴重合时，若，则．
解法二：
如图，若直线与轴重合，则，；
，．所以．
若，则，化简得． 由，可解得．
故当直线与轴重合时，若，则．
（2）解法一：
如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得． 根据对称性，不妨设直线：
，点，到直线的距离分别为，，则
因为，，所以．
又，，所以，即．
由对称性可知，所以，，
于是．① 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，．
根据对称性可知，，于是．②
从而由①和②式可得．③令，则由，可得，于是由③可解
得．因为，所以． 于是③式关于有解，当且仅当，
等价于． 由，可解得，即，由，解得，
所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得．
解法二：
如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得． 根据对称性，不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，则，，
所以．又，，所以．
因为，所以．
由点，分别在C1，C2上，可得，，
两式相减可得，依题意，所以．
所以由上式解得．因为，所以由，可解得．
从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，
使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得
（22）【2013年湖北，理22，14分】设是正整数，为正有理数．
（1）求函数的最小值；
（2）证明：；
（3）设，记为不小于的最小整数，例如，，．
令，求的值．（参考数据：，，，
）
解：（1）因为，令，解得．
当时，，所以在内是减函数；
当时，，所以在内是增函数．故函数在处取得最小值．
（2）由（1），当时，有，，且等号当且仅当时成立，
故当且时，．①在①中，令（且），．
上式两边同乘，得，即②
当时，在①中令（这时且），类似可得③
且当时，③也成立．综合②，③得． ④
（3）在④中，令，分别取值81，82，83，…，125，得，
，，………
．将以上各式相加，并整理得．
代入数据计算，可得，．由的定义，得．

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