2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版).pdf

12017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）数学（理科）第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项项（1）【2017 年北京，理 1，5 分】若集合，则=（）21|Axx1|3Bx xx或AB（A）（B）（C）（D）1|2xx 3|2xx1|1xx3|1xx【答案】A【解析】，故选 A21ABxx （2）【2017 年北京，理 2，5 分】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是1iiaa（）（A）（B）（C）（D）,1,1 1,1,【答案】B【解析】，因为对应的点在第二象限，所以，解得：，故选 1ii11izaaa1010aa 1a B（3）【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（）s（A）2 （B）（C）（D）325385【答案】C【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，0k 031 11,21ks13 ，成立，第三次进入循环，否，输出2132,22ks2331523,332ks33，53s 故选 C（4）【2017 年北京，理 4，5 分】若，满足 则的最大值为（）xy32xxyyx，2xy（A）1 （B）3 （C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，2zxy123,3C目标函数取得最大值，故选 Dmax3239z（5）【2017 年北京，理 5，5 分】已知函数，则（）1()3()3xxf x()f x（A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】A2【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根 113333xxxxfxf x 3x13x据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A（6）【2017 年北京，理 6，5 分】设 m，n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（mn0m n）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，0mn01800cos1800m nm nm n 若，那么两向量的夹角为，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数，使得0m n 0090,180，所以是充分不必要条件，故选 Amn（7）【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）（B）（C）（D）23 22 32 2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故选 B2222222 3l（8）【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而M3613可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为则下列各数中与最接近的是（）8010MN（参考数据：）30.48lg（A）（B）（C）（D）3310531073109310【答案】D【解析】设，两边取对数，所以，36180310MxN36136180803lglglg3lg10361 lg38093.2810 x 93.2810 x 即最接近，故选 DMN9310第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题：共二、填空题：共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。（9）【2017 年北京，理 9，5 分】若双曲线的离心率为，则实数 221yxm3m【答案】2【解析】1321mm（10）【2017 年北京，理 10，5 分】若等差数列和等比数列满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则=na nb22ab【答案】1【解析】322131383,211(2)adqdqb （11）【2017 年北京，理 11，5 分】在极坐标系中，点 A 在圆上，点 P 的坐标为22 cos4 sin40，则的最小值为_1,0AP【答案】1【解析】，所以2222:2440(1)(2)1C xyxyxyAmin|211APACr （12）【2017 年北京，理 12，5 分】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于xOyOx3轴对称若，=y1sin3cos()【答案】79【解析】2227sinsin,coscoscos()coscossinsincossin2sin19 （13）【2017 年北京，理 13，5 分】能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_【答案】-1，-2，-3【解析】123,1(2)3 （14）【2017 年北京，理 14，5 分】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_【答案】；1Q2.p【解析】作图可得中点纵坐标比，中点纵坐标大，所以第一位选，分别作，关于11AB22A B33A B1Q1B2B3B原点的对称点，比较直线，斜率，可得最大，所以选1B2B3B11AB22A B33A B22A B2p 三、解答题：共三、解答题：共 6 题，共题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2017 年北京，理 15，13 分】在中，ABC60A37ca（1）求的值；sinC（2）若，求的面积7a ABC解：（1），由正弦定理得：37ca3333 3sinsin77214CA （2），为锐角，由得：，37caa60 CAC3 3sin14C13cos14Csinsin()sin()BACACsincoscossinACAC31313 32142144 37又，337377ca1sin2ABCSacB14 37327 6 3（16）【2017 年北京，理 16，14 分】如图，在四棱锥中，底面为PABCDABCD正方形，平面平面，点在线段上，平面，PAD ABCDMPB/PDMAC，6PAPD4AB（1）求证：为的中点；MPB（2）求二面角的大小；BPDA（3）求直线与平面所成角的正弦值MCBDP解：（1）取、交点为，连结面，面ACBDNMNPDMACPD PBD面面，PBDMACMNPDMN在中，为中点，为中点PBDNBDMPB（2）解法一：取中点为，中点为，连结，ADOBCEOPOEPAPD，POAD又面面，面面，面，PAD ABCDPADABCDADPO ABCD以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标，可知，ODxOEyOPz200D，200A ，240B ，4，易知面的法向量为，且，002P，PD010m，202PD ，设面的法向量为，242PB ，PBDnxyz，2202420 xzxyz1 12n，222211cos21112mn，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角大小为BPDA60解法二：过点作，交于点，连结，平面，AAHPDPDEBEBA PADPDBA平面，即为二面角的平面角，PD BAHPDBHAEBBPDA，可求得，AD POAE PD4 33AE 4tan34 3AEB60AEB（3）解法一：点，由（2）题面的一个法向量2122M，240C，2322MC，BDP，1 12n，设与平面所成角为，MCBDP2223212 6sincos91941122MCn ，（）解法二：记，取中点，连结，取中点，连，易证点是ACBDFABNMNFNMFFNGMGG中FN点，平面平面，平面，平面MGPOPAD ABCDPOADPO ABCDMG ABCD连结，GC13GC 1222MGPO3 62MC 6PD 4 2BD 22PB 由余弦定理知，3cos3PDB6sin3PDB1sin4 22PDBSPD DBPDB设点到平面的距离为，又，求得，CPDBh13P DBCPDBVSh13P DBCC PDBBCDVVSPO2h 记直线与平面所成角为，MCBDP22 6sin93 62hMC（17）【2017 年北京，理 17，13 分】为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，xy并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机 KS5U选出两人，记 GNFPHMBCDA5为选出的两人中指标 x 的值大于 17 的人数，求的分布列和数学期望；E（3）试判断这100 名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小（只需写出结yy论）解：（1）50 名服药者中指标的值小于 60 的人有 15 人，故随机抽取 1 人，此人指标的值小于 60 概率为yy1535010（2）的可能取值为：0，1，2，2224106CPC11222442163CCPC2224126CPC012P162316121()0121636 E（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。y（18）【2017 年北京，理 18，14 分】已知抛物线过点过点作直线 与抛物线交于2:2C ypx 1,1P10,2lC不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点MNMx（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点解：（1）由抛物线过点，代入原方程得，所以，原方程为22ypx(1,1)21=21p12p2yx由此得抛物线焦点为，准线方程为1,0414 x（2）解法一：轴，设，根据题意显然有，若要证为BMx 112211,ABM x yN xyA x yB x y10 xA中BM点，只需证即可，左右同除有，即只需证明成立2ABMyyy1x1112ABMyyyxxx2OAOBOMkkk其中，当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足1,OAOPOBONkkkkMN题意，所以直线斜率存在且不为零MN设直线，联立有，102MNykxk212ykxyx221104k xkx考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以22114124 kkk12k由韦达定理可知：，1221kxxk12214x xk212112212112112222OBOMONOMkxkxyyxxkkkkkxxxxx x将代入上式，有21212212222 121224kxxkkkkkx xk即，所以恒成立，为中点，得证22ONOMOBOMOAkkkkk2ABMyyyABM6解法二：当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率MNMN存在且不为零设为点，过的直线方程为，设，显10,2QMN102ykxk1122(,),(,)M x yN xy然，均不为零联立方程得，考虑，由题可知有两交点，所以判12,x x212yxykx221(1)04k xkx别式大于零，所以由韦达定理可知：，12k1221kxxk由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，,A B1x22:ONylyxxBON又在直线：上，所以，若要证明为中点，AOPyx121112(,),x yA x xB xxABM只需证，即证，即证，将代入上式，2ABMyyy121122x yyxx1221122x yx yx x11221212ykxykx即证，即，21121211()()222kxxkxxx x12121(22)()02kx xxx将代入得，化简有恒成立，所以恒成立，所以为中2211(22)042kkkk2ABMyyyABM点（19）【2017 年北京，理 19，13 分】已知函数xf xe cosxx（）（1）求曲线在点处的切线方程；yf x 0,0f（2）求函数在区间上的最大值和最小值 f x0,2解：（1），()e cosxf xxx(0)1,()e cose sin1e(cossin)1 xxxffxxxxx在处的切线方程为，0(0)e(cos0sin0)10 f()f x(0,(0)f(0)(0)(0)yffx即10y （2）令，()()e(cossin)1xg xfxxx()e(cossin)+e(sincos)2e sin xxxg xxxxxx时，在上单调递减，02x()2e sin0 xg xx()g x02时，即，在上单调递减02x()(0)(0)0g xgf()0fx()f x02时，有最大值；时，有最小值0 x()f x(0)1f2x()f x2e cos2222 f（20）【2017 年北京，理 20，13 分】设和是两个等差数列，记 na nb1122max,nnncba n ba nba n，其中表示这个数中最大的数(1,2,3,)n 12max,sx xx12,sx xxs（1）若，求的值，并证明是等差数列；nan21nbn123,c c c nc7（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得MmnmncMnm是等差数列12,mmmccc解：（1）易知，且，11a22a33a11b23b35b1110cba，21122max22max111 cbaba3112233max333max2342 cbababa下面我们证明，对且，都有当且时，*Nn2n11ncban*Nk2kn，11kkbanba n211 knkn221kn k1 2kn且，10 k20n11110kkkkbanba nba nban因此，对且，则*Nn2n111 ncbann11 nncc又，故对均成立，从而为等差数列211 cc11 nncc*Nn nc（2）设数列与的公差分别为，下面我们考虑的取值对，na nbadbdnc11ban22ban，nnban考虑其中任意项（且），iiba n*Ni1iniiba n1111babidaidn11()(1)()babaniddn下面我们分，三种情况进行讨论0ad0ad0ad1）若，则0ad 111iibba nba nid若，则，则对于给定的正整数而言，0bd 1110iibba nba nid n11ncban此时，故为等差数列11 nncca nc若，则0bd 0iinnbba nbanind 则对于给定正整数而言，此时，故为等差数n1nnnncbanban11nnbccda nc列此时取，则是等差数列，命题成立1m123ccc2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数0adabdndn故必存在，使得当时，*Nmnm0abdnd则当时，（，）nm 1110iiabba nba nidnd*Ni1in因此，当时，此时，故从第项开始为等差数列，命题成nm11ncban11nncca ncm立3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数0adabdndn故必存在，使得当时，*Nsns0abdnd则当时，（，），ns 0iinnabbanbanindnd*Ni1in因此，当时，此时，nsnnncbanncnnnbann nnban11 baabbddndadn令，0adA1abdadB1bbdC下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，ncCAnBnnMmnmncMn若，则取（表示不大于的最大整数），当时，0C1MBmA xxnm8，此时命题成立1nMBcAnBAmBABnAMBABMA若，则取，当时，0C1MCBmAnmnMCBcAnBCAmBCABCMCBBCMnA此时命题也成立因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，MmnmncMn综合以上三种情况，命题得证