证券投资组合最优化模型.docx

毕 业 论 文题 目： 证券投资组合最优化模型 学 院： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（金融方向） 姓 名： 申圣 学 号： 131412135 指导老师： 赵许培 完成时间： 2016.5.10 摘 要随着改革开放的进一步加深，中国人民的生活水平进一步的提高，1984年中国发行第一只股票以来中国人民才开始逐步有了投资意识。中国股市用了不到30年的时间走完了西方国家的200年的历史，中国股市虽然发展如此迅速但是伴随着种种问题的出现。投资者理性分析投资市场的少，很多人盲目投资，单单依靠所谓内幕小道的消息等方法已经不能满足对投资的需要，人们渐渐意识到了组合化的投资是未来投资的方向。所以在和数学有关的金融学当中，建立数学模型是研究最优组合投资方法当中的一个很好的策略，数学模型应运而生。数学模型可以通俗的说成是数学在其他领域当中的应用，所以说证券投资最优化的模型就是在进行股票基金债券进行商业投资过程中所建立的一个使投资收益最大化的数学模型，本文首先简单介绍马柯威茨（markowitz）模型，并且研究了此模型的不足之处，引入偏好系数建立了自己的投资组合最优化数学模型。运用自己所学的最优化方法上面的外点罚函数法对此模型进行求解。最后进行实证性分析，得出组合最优化数学模型具有解决实际问题的可行性。关键词：马柯维茨模型；组合最优化数学模型；共轭梯度；外点惩罚函数；Abstract With the further deepening of reform and opening up, Chinese peoples living standards further improved, in 1984 China issued the first stock since the Chinese people began to gradually have the consciousness of the investment. Chinas stock market has taken less than 30 years covered 200 years of history in the west, Chinas stock market although such rapid development with the advent of the problems. Investors less rational analysis of the investment market, a lot of people blind investment, only rely on methods such as the so-called insider gossip news already cannot satisfy the need for investment, people gradually realized the combination of the investment will be the future direction. So in finance related to mathematics, mathematical model is to study the optimal portfolio investment methods of a good strategy, mathematical model arises at the historic moment.Mathematical model can be popular as the application of mathematics in other areas, so that securities investment optimization model is in stock fund, bond business investment in the process of the established a mathematical model to maximize return on investment, this paper introduces the Ma Kewei, markowitz model, and the deficiency of this model is studied, and the introduction of preference coefficient of his portfolio optimization mathematical model is established. Used his knowledge of the optimization method of above point penalty function method for solving of this model. Through the empirical analysis, the final combination optimization mathematical model with the feasibility of solving practical problems.Key words:Markowitz model;Combinatorial optimization mathematical model; Conjugate gradient method;Penalty function method;目 录引 言11 马柯威茨模型简介31.1 数学描述马柯威茨模型31.2 组合最优化数学模型42 求解组合最优化模型62.1 惩罚函数简介62.2 运用外点罚函数求解62.3 共轭梯度法简介及步骤72.4 参考共轭梯度求解模型113 实证分析14致 谢18参考文献19附 录20引 言 现如今中国的经济高速发展，全国各族人民的生活水平大大提高，特别是中国加入WTO世界经济贸易组织后，无论是金融还是经济都在向全球化发展，中国的经济水平人均GDP翻了好几番，一个个五年计划的完成，越来越多的中国人生活水平奔上了小康，家里都有了自己的积蓄，人们有了闲余资金就会去投资，其中投资股票等证券是占投资比例的大多数，投资的目的是为了获得比在银行无风险投资状态下的更高的收益，我们都知道，投资的都是有风险的，在高收益的同时也伴随着高风险，如何降低投资的风险并提高我们的收益是每一位投资者都在追求的目标，在1952年，非常著名的美国经济学家马柯威茨首次提出了投资组合选择，第一次将在投资过程中的风险和收益这两项进行数学化，并用数量化表示和描述出来，也就是运用统计的方法和数学方法与金融经济相结合起来，投资组合选择的提出也象征着当今证券组合这种理论的开端。 我们都知道市场是多方向多选择的，都有很多的变量和不确定因素，任何一种数学模型的建立都要简化影响市场的因素，当然马柯威茨也不例外。马柯威茨做了如下假设： 1、投资者都很贪婪并且不喜欢风险，想当然的认为付出都会有回报即若是承受了大的风险就一定要有大的收益。 2、投资证券市场的消息对每一位投资者都是是公平透明的，每个人对待每种证券的认知也是相同的。这种认知包括对证券的具体自我分析和对未来要面对风险的评估和对证券收益的预期。 3、每种股票证券都有各自的收益率，有收益率就能得出收益率方差，多种证券收益率之间有相关性，用收益率之间的协方差可以表示这种相关关系。 4、市场上只有一个和银行相关联的没有风险的借贷关系的利率，还假设了不存在交易手续费和股息红利的发放，没有内幕消息，消息都是在市场上唾手可得自由传播的。可以卖空。 从上结合我国的国情我们可以得知这些假设很大程度的不符合我国证券市场。所以马柯威次模型在我国证券市场上去运用有很大的局限性，很多的国内外经济学家、专家、学者等为了使马柯威次模型能更好的与我国的证券市场上的特点相结合起来，为此做了很多很有价值的研究与分析。在2010年中国的股指期货推出之前，中国证券是不允许买跌做空的，针对这个问题，郭俊艳老师等人发表了“在不允许卖空的证券组合投资风险偏好最优化模型”。证券上市场上的交易都是有成本费用的，当然这个成本和费用是不能被忽略的，吴国云、李红艳、李磊等相继提出了：“带交易费用的最优化投资组合选择的极大极小方法”；“含交易费用的动态优化投资组合”；“含交易费用和机会约束的投资组合模型”。中国的股票证券市场是政府干预的政策性市场，中国人民炒股都很容易相信“小道消息”先知先觉的人可以获得不少的收益，有先知先觉者必有后知后觉者，投资者不仅获得消息的时间先后不同而且获得的消息也是不同的，世上没有完全相同的两片树叶当然也没有完全相同的两个投资者，所以投资组合和个人的偏好有很大的关系，有专家学者提出不妨就引入偏好系数，这样就可以把马柯威次模型更进一步的与中国证券市场的特点结合起来。牛顿说过要想看的更远一点就要站在巨人的肩膀上，本文在各位经济专家学者教授等前辈提出发表的各种有关证券组合文献的基础上，再结合中国的国情进一步总结并完善得出组合最优化数学模型。1 马柯威茨模型简介 投资是指人们用个人或他人拥有的财物进行商业化的投入，根据投资的风险大小不确定性划分预期会得到高于等于或低于投入资金量的一种行为，证券投资是指个人、企业或者基金机构买卖债券、股票等有价证券，或者买卖他们转化衍生出来的东西，从而获得各种收益。而投资组合也就是指投资个人或机构为了降低风险保证收益进行的一种多品种有价证券的买卖投资。其实就是根据风险常识“鸡蛋不能放在同一个篮子中”而进行的一种综合化投资，也就是分散风险。由于组合投资风险分散，收益与风险相结合匹配便于管理为大多数投资者所选择。而如何管理自己投资的组合证券正是马柯威茨模型的数学管理理论。1.1 数学描述马柯威茨模型 根据简介内容的管理理论，现在假设有一位投资者老K，他有一笔闲置资金，在一个固定的时间段内，开始时购买了一种证券，在这段时间结束时他卖掉这一种证券，然后把投资盈利资金进行个人家庭等的消费支出或者再进行下一轮的投资。他所希望的就是每一轮的投资都能有收入获利，获得的收入足够个人消费和家庭支出，本金再进行下一轮的投资，为了能够维持生计，每一轮的收入尽可能是确定的。马柯威次运用期望收益率来作为收益的表述，而对于收益的不确定性可以作为风险用收益率方差来表示。这样就有了两个目标，收益和风险。所以他建立了均值方差模型来解决分析这两个目标，如何使收益最大化又使风险可控制并降低呢，就是让老K去投资多种证券，多种投资分散风险。假设老K同时投资了个有价证券，每一种证券的投资比例也就是投资权重分别是，第种证券的权重是。则向量是投资权重的向量，所以各个证券的权重之和： 引入一个维单位向量，则 ，所以有 言归正传，老K投资的每一种证券，它的收益率都是不确定的，所以可以用表示第种证券它的收益率，则这种证券收益率的向量为。表示第种证券收益率的期望，则这种证券期望收益率的向量为 ,为了方便阅读书写令 ，所以收益率的向量就可以写成 。所有的这种证券期望收益率的和为,则， 引入协方差矩阵,表示的协方差矩阵，所以可以写成：，那么方差： =马柯威茨认为方差就是投资收益水平的不确定性因素可以用来描述风险，前文所说的两个目标即为期望收益率之和和方差，所以可以建立如下模型： max min = (模型一) 2010年以后我国股指期货开通，现在也可以融资融券，结合中国国情，现阶段投资证券是可以买跌做空的，但是为了简化计算，假设不能做空所以有约束条件。模型一即为修改后的马柯威茨数学模型。1.2 组合最优化数学模型 马柯威茨数学模型和中国的国情不相匹配，有很多出入点，中国是发展中国家，与发达国家相比证券市场的监管不严格，很多政策媒体信息公开程度不高，投资者获得信息的方法有限，证券市场证券交易存在内幕不透明等特点，针对马柯威茨数学模型，综合以上特点郭俊艳前辈引入了偏好系数，我在各位前辈的基础上再次引入最低收益率，最低收益率其实就是银行无风险利率，如果一个投资者要追求所谓的高收益低风险，那他一定也是要在保证最低收益的基础上才能达到的，所以最低收益也可以以作为组合投资的一个目标，这使得组合最优化数学模型更加符合现实投资市场。所以可设分别为投资者的个人偏好系数。则有并且的和=1，修改后的马柯威茨模型为如下： 引入后： max + min = （模型二） 在模型二的基础上引入偏好系数： min = （模型三） 模型三即为组合最优化模型的数学描述。 2 求解组合最优化模型 观察模型三在引入偏好系数之后，原模型二已经从多目标规划变成单目标规划，并且是非线性的有约束的规划，所以在求解的过程中可以使用惩罚函数法。2.1 惩罚函数简介 对于一般的约束最优化问题： min 可以根据约束的特点构造某种“惩罚”项，然后把它加到目标函数中去，可以使得约束问题求解转化为一系列无约束问题。在求解无约束问题当中，对那些企图违反约束的迭代点给以很大的目标数值，迫使这一系列无约束问题的极小点或者不断地向可行域靠近，或者保持在可行域内移动，直到收敛于原约束问题的极小点。惩罚函数有三种方法，结合模型三的特点使用外部惩罚函数法，外部惩罚函数法又叫外点法，它对违反约束的点在目标函数中加入相应的惩罚项，而对于可行点不予惩罚，这种方法的可行点在可行域外部移动。外点法的步骤： 1.给定初始点，初始惩罚因子，放大系数1,允许误差0，k=1; 2.以为初始点，求解无约束问题min ,设其极小点 为； 3.若0.模型三当中的目标函数与构造的辅助函数他们的取值问题都是在内且相等。在可行域外部，辅助函数的值远远大于模型三中的目标函数值，并且当惩罚因子趋于无穷大的时候，构造的辅助函数的极小解很接近于模型三的解。为了简化问题书写阅读，令=2， ，则模型三改写成了： min =+ （题一） 题一可行域=，由协方差矩阵是一个对称的矩阵，且是半正定的，0，1，观察和=2得知是和一样的性质。是凸函数，对模型三进行修改去掉约束问题改为无约束问题，定义函数P(X)+ min+min则P(X)为外点惩罚函数所以转化后的无约束的函数为： min =+ (题二)题二的作用是当，=0，=0，=； 当,对于偏离可行域的点所以很容易显现出来，这也就是惩罚的作用，因此迭代点只能向可行域方向不断靠近。求解无约束问题的题二就能得到有约束问题的题一的近似解，而且当时，得到的解越近似。根据最优化方法题二显然是增广的目标函数。根据题二的目标函数的性质得知，它是一个关于的二次函数，且连续可微的，查阅相关资料得知多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的海塞矩阵在凸集的内部是正定的，所以关于是凸函数。在求解此无约束最优化方法的问题上，采用共轭梯度法选择搜索方向比较简单快速。2.3 共轭梯度法简介及步骤共轭梯度法是针对二次函数如下 的无约束极小问题，考虑出一种搜索方向的合理选取方法，然后形式地推广到一般的可微函数首先注意到，对于变量分离函数 则从任意一点出发，分别沿每个坐标轴方向进行一维搜索，进行一遍（共进行n次线搜索）以后，一定能得到的最优解。而对于形为的二次函数，其中为实对称正定矩阵，只要我们是当选取的一组基，使得满足条件 则易见在新的基下，就成为变量分离的形式。从任何一个初始点出发，分别沿每个方向做线搜索，经过一轮后，肯定就能得到最优解.我们把满足条件的维方向称为是-共轭的。基于上面考虑，现在的问题是如何构造出两两-共轭的方向？共轭梯度法就是在每个迭代点处，以负梯度-和前一个搜索方向的适当组合，构造和前面个搜索方向均两两-共轭的搜索方向，故以此命名.下面进行具体推导关于，其中为实对称正定针，为实常向量，为实数，有 ，于是对，有 ， 从任意初始点和出发，得到且非零向量两两-共轭，于是令 其中.因此对， 除式外还还能证明都成立.事实上对，由式总有=， =+ 由 ，由式 ， 当时再令 ， 其中由 确定，得 . 下面证明不仅满足式，还对所有，也有 事实上由和式，有 由式有 由已知两两-共轭，故后一项为零.再由式 由，即有式成立.归纳上述，求解 的共轭梯度法的步骤为1.任选初始点，令；2.若，则停；否则， ， ；3.，回2在中途不停机的情况下，由上证明可知，这样得到的是两两-共轭的，因此一定就是所求的最优解.对于一般二阶可微函数，因在每一点的局部，可以近似的视为二次函数 因此设想利用共轭梯度法也能得到好的效果.但如果以上面的形式套用，则式子中的就应该以处的Hesse矩阵，则计算量大.因此在将共轭梯度法推广于一般的函数的极小化问题之前，先修改公式，使之不含，改写办法之一是 由式 由式 由，式 所以，对于 min的共轭梯度法的步骤为1.任选，；2.若，则停；否则 ，argmin, ； 3.，回2 为了保证算法具有某种收敛性，注意到共轭梯度法的第一步和最速下降法是相同的，而最速下降法具有收敛性，于是通常的采用如下的起点周期性变化的共轭梯度法：当从初始点出发依次用共轭梯度法产生了迭代点后，以作为新的，周期性重复以上步骤。2.4 参考共轭梯度求解模型观察题一和题三，已知=+，是变量分离函数，分别提取和中的的一次项和二次项，让同次项进行合并得到新的： =所有常量的和即为，结合2.3共轭梯度法的介绍，则同理有在点处的梯度即为 为了计算简便引入，令= 当带入给的初始点时，如果=0，计算终止，不然令 以为搜索方向，搜索出，算出在点处的梯度模，即，如果0，继续以和为基础，建立下一个搜索方向，然后再沿着这个方向搜索，平常情况下，如果知道和，则可以得到即： 为步长，并且满足： 可以求出则的表达式，让 求关于的极小点，让 根据二次梯度的表达式有： 因此， 求出在点的梯度，如果，就终止计算，如果则用和建立下一个搜索方向，并使和关于共轭，即： ，令 对上式子进行化简，等式两边的左端都乘以，由于，所以 ，化简得到的表达式： 再次从出发沿着方向进行搜索。综上所述总结出求解模型的以下几个步骤：1. 给出投资者偏好系数，给出银行同期无风险收益率，根据股票收益率计算出收益率向量，协方差矩阵,给出初始罚因子1,精确度的值。对中的分别求偏导由公式得到矩阵向量标量。2. 给一个初始点,令。3. 计算，如果，终止计算，得到最优解，如果。4. 构造搜索方向，令 ，当时，当时，用计算出。5. 令，其中的步长用方法求出。6. 如果，则停止计算，得到，否则返回第2步。 3 实证分析 简单随意选取四只股票，也就是=4，在附录中有2015年全年12个月的20只股票的月收益率，随机选取中国联通、龙净环保、同仁堂、贵州茅台 这四只股票，由收益率求出这四只股票的协方差矩阵,假设老K是一位稳建的投资者，偏好系数分别为0.3；0.2；0.5，最低收益率就是无风险利率，以中国银行2015年一年定期存款利率为标准，选取=3，因此即为：，投资权重，则题一可以写成题三： min (题三) 0.2 ,1,2,3,4 根据相关系数公式得出 由题二得知，对题三进行转化，转化为无约束问题 min , （题四）给出=103，初始值，题四可以写成为 min 分别对求导：把代入上式观察结果得知不是最优解，所以求下一个迭代点，让所以会有，当 时，所以，所以有，然后把带入到分别对求导后的式子中分别得到 且由于对含有的式子求导时，中的的这一项对进行了少许改变，改变如下： 分别对求偏导结果如下：对原修改后的为所以所以不是题三的最优解。继续构造迭代点，令，则，当时，按照上文2.4中和的公式计算因子和步长，则有所以因此，按照此种方法继续反复迭代四次后，得到题三的解： 尽管计算过程比较复杂，但是本问题的解决说明了组合投资数学模型对于现实市场具有可行性，在考虑最低收益的基础上，为投资者进行组合投资管理时提供了很好的管理方法，对现实证券投资市场是很有实际意义的。 致 谢从本论文的选题、模型的建立、以及求解的方法的选用都是在赵许培老师的悉心知导下完成的，在此对他表示衷心的感谢和崇高的敬意。本论文的完成花费了不少的时间与精力，尤其是在进行实证分析求解组合最优模型时进行最优解的迭代过程中，是非常耗用时间的，在这要感谢我的同学给予的帮助，教我如何使用matlab软件，节省了很多的时间。我认为本论文还有一些另外可以创新改进的地方，在x的约束条件中可以考率买跌卖空，在迭代方法的选取中可以使用其他方法进行最优解的搜索。最后感谢陪伴了我四年之久的室友，无论是生活还是学习以及论文的完成，在我面对困难时都对我给与心灵上的鼓励与支持。感谢我的家人对我经济上的支持使我顺利完成我的学业，谢谢您们！参考文献1刘超.现代证券投资组合理论在我国应用的局限与思考J经济经纬，2006（1）2Markowitz.H.Porfolio selection J.Journal of dinancial,1952,7(3):77-913田素华，吴士军.中国证券市场风险特征的实证研究J经济科学，2003,3（1）4郭俊艳，不允许卖空的证券组合投资风险偏好最优化模型J，系统工程，19995李艳红，含交易费用的动态优化投资组合J。北方大学学报，2006（9）6中国证券业协会。证券市场基础知识M.北京：中国财政经济出版社，20097黄斐.Markowitz投资组合模型的优化研究J.金融领域，2008（10）8杨明辉，张智光，任百林，谢煜.Markowitz组合证券投资决策模型的修正J.南京：林业大学学报，2005（1）9施光燕，钱伟懿，庞丽萍，最优化方法M.北京：高等教育出版社，2007（8）10雷功炎，数学模型讲义-2版，北京：北京大学出版社，2009（6）11贾俊平，何晓群，金勇进，统计学-6版，中国人民大学出版社，2014（12）12Y.Dai,Q.Ni.Testing different conjugate gradient mehods for large scale unconstr- ained optimizationJ.Journal of computational mathematics ,2003,213(5):11-320.13R.Fletcher，C.Reeves.Function minimization by conjugate gradientsJ.ComputerJournal,1964,7(3);150-156.附 录1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月西部证 券-22.2227.0521.0240.68-1.03-9.24-13.92-31.78-1.931.3566.5-8.09中国联 通8.7825.13-3.2174.39-9.87-14.61-14.725.79-8.29.93-5.87-0.64平安银 行-12.060.4312.586.03-8.26-5.09-14.99-10.44-5.248.293.352.13金地集 团-15.33-0.8817.3817.250-4.53-6.09-9.8412.87-4.1715.353.77龙净环 保-7.3910.167.416.3435.52-22.13-16.8411.873.0826.896-4.3保利地 产-2.97-2.6112.0128.69-18.52-3.49-18.06-7.95-4.438.269.199.95平煤股 份