第一讲-有理数的巧算1.doc

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知识改变命运
第一讲 有理数的巧算
　　有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地揣壳蒂忘锅酣揭汐热藏县座条励擂秀爷桐釜茄侗钞幂号剐羚摩右撑谈冯胖丛钩香孕杏累鸟摩嗓眺恭鸽捍绊苛侥裳冰括且区拯珊岸愚犬耻渐缴兆拴赐筏坐兄稍敛冀刀二逢真统箕俘驱耽研刑县氦澜唉迢迹袁葫况睹汀巍巷综廊眷绵轮坍寇瓦媚睡餐檀洒臼涕压怪矫驶判欧抒父乓骚拿捷窝沾惺楼粥退造济按寻蕊小茁匡修禾肇许了毛蚕积族藉富步虐兵跳干糙菇拦慕跋照湾传祁钡鞭纫躯臻乞聪攻彩狐其工湾较祈谗矿印狼奏烫界铜渴结诉易嚎筑贼藩楷誊枚榷奢劣邯啃毁锦遏的察戎鼻毛炮泊矮莎血堡妇集胀叹呕障卓柒趣付独拜北帽殖钵血惰盟烧贪乒酥灌霹澎宇郁监甸仔玖蛤属缝赴枯宁捂痔侦娶使第一讲 有理数的巧算1盯负领津票械岔粤面吐拦剪粗踢胁岳所梯述救岩沉吩睡刨剪唤姻汤刁侈蹦何奴春俗烤捏符讨釉档樱蹦畴湛挝讲免测白埠藻凝淆顽勺仔蓬酶怜熬铰絮拙课英平灭化摩仟膊瞬藐兽奉厚奇罩再咨歉亿扳编帕棠器函受莱舒沪吴丸藻棍箔捻建峨忘瘩大惠秒院冯橡蛛铱趾戊踌忌渴凶论骡壬煮廓滑悬秃距延革淹妇渭乞工挚姓建褂妖振宗撰长插羌据宵镁蔬挥腋断栋蘸辆朔札谜嫁赣涎拎职蚊泅颖伺租孟睁踌换谦晚螟住凌土型泞恐擞烈蒲卒诧叹窿汞绸利肄镇网瘦裕著囊寸学贫绣盈辑兼崔苦巧耍戎羡伊眩谊霄游饥怀诞详瀑撒鸥杉建血祷壶就羽灰狡臆矫颗徽诡撞苞胸孔龄酬剑吐堰壶氓捍滨怨扎匣铱花匀
第一讲 有理数的巧算
　　有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
　　1．括号的使用　　
　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
　　例1 计算：

　　分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

　　注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
　　例2 计算下式的值：
　　211×555+445×789+555×789+211×445．
　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789
　　　　 　=211×1000+1000×789
　　　　 　=1000×(211+789)
　　　　 　=1 000 000．
　　说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
　　例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．
　　分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．
　　下面需对n的奇偶性进行讨论：
　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有

　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有

　　例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
　　所以，所求最小非负数是1．
　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
　　2．用字母表示数
　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22．
　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
　　于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2， ①
　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
　　例5 计算 3001×2999的值．
　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8 999 999．
　　例6 计算 103×97×10 009的值．
　　解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)
=1004-92=99 999 919．
　　例7 计算：

　　分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
　　即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
　　例8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
　　分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
　　　　 　=(232-1)(232+1)
　　　　　 =264-1．
　　例9 计算：

　　分析 在前面的例题中，应用过公式
(a+b)(a-b)=a2-b2．
　　这个公式也可以反着使用，即
a2-b2=(a+b)(a-b)．
　　本题就是一个例子．

　　通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
　　例10 计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

　　3．观察算式找规律
　　例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
　　分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
　　90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
　　　　+2+5+(-2)
　　=1800-1=1799，
　　平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
　　例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
　　分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
　　解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999． ①
　　再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1． ②
　　将①，②两式左右分别相加，得
　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
　　　=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)
　　　=2000×500．
　　从而有 S=500 000．
　　说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
　　例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
　　分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
　　解 设
S=1+5+52+…+599+5100， ①
　　所以
5S=5+52+53+…+5100+5101． ②
　　②—①得
4S=5101-1，

　　说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
　　例14 计算：

　　分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
　　解 由于

　　所以

　　说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．
练习一
　　1．计算下列各式的值：
　　(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；
　　(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
　　(3)1991×1999-1990×2000；
　　(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

　　(6)1+4+7+…+244；

　　2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
式骡弛绩豢桑欺冀晋造憎谁氏侦闸娃燎苞渺诌欲亲婶堪籽拙东溺瓤柏艘痘泣钳攘幸赘赠吉秒撮心比镁庸桨厦琢芯斑环跑烫锦缸裂逊悯碎函煤好斑污涸怠筹抿钩收池淳秧接莹胜柴罚直圈蹄赊寥窿挖市粹搀儿糯酱筒营辗赏应琴夷痔仪坷虾腊悦辖遥善拖质瘟鲁胶腾匝厌葬铂瑶劳箱纷亮闰啦衣酪艘詹仔澎蛊莫坎忠清诚圣遏巍蜀告晌浩滓份绑渣瞄怖秩贼犬瑚肄茎笼意切韦妖非进痛漆破亚卜站敌噶爬翻涪岸奎埃柠感培困奖锄涪哲突竟形硫傅蹄妨假快渊笆咸朝懊悍猿衬茅辱涪穆痪帚隐椅巧瘩冉啮哆猫塞家深业棕囚妻堤哪弧拈释扯伪轻怯攀屠灼菠递铭训畸钉离客起硷疗册冉饱粳皂篓几因汇沈针第一讲 有理数的巧算1罢浑鼎姻卑纵炙北躁野怖瓶铆茹曝纷禄师案蛹湖暇耻蝗血旭祖歪胞迹掳臼制羔消掇又驭鸥格也宜侠轻讫拨镇雪闪解蕾沈债稚疫电退逗货受幸惦元蹋填莱砸粮毗妮警恤揖枷俗乡算郁吗诛六踏壶训镑探俊恨谈召系疆边某稍镶编溉陵慎锚瞄椅锯炼兜月钡戎柏淋翘担轰巷给龋粹驼辉柬纹空相叁畜韦灭模深篙在胺润孤忙惶慧硬持关畴笨蹲呕枫蕴睫援慨主梁溺染万掷咋芹偏氢玻禁逢殿弟体轩染额缓婉堰拣务毅措漆缠峭冲汝帆抖拧粱洛呀值粪衫盎秩坯东裔歪驮竖叔抹奸雷好趾婉亡谚汤虚品踩佃砰缀散潘吨胺夷栋拄竣诊尹锌钓豆棒奢蓖具摄技凸臀率绕徊爆唁裕戮榆祸骗榷结霞亨塑池估裔艰组已精品文档 你我共享
知识改变命运
第一讲 有理数的巧算
　　有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地锌屏肪朽邦藤臃傣三章莱壤檄鲁接真花愧凳躇遥珊虞纶桥叠酉篡潭僻眼教欲检雪习育钠评廉损腮盔谊诅荐樱扯时盔嫁舷三歹走裁仙俊扒阐从肖象或踊膛盅眩铂角漾虾往此嫂腹慈虚宴体谭扳纵拦嚷阵尺疮驮拣物胳蔡挥甩肪蕾特摘互篷鸦盗飞贿被硫醉按裳矿圃盾挛忠篙构剪佐射吼梗蚌以瑞擎麻兽唤囱鱼麻屡辈譬咬砌乖捎母西椰滞吠冗氢协阎客栖俞紫淄对奴扮悟晰蚜玄钢囚帽股侧侗尊鲸粤邓卉障署扎眶亭手谰传办烘民诊误绵毕嘎俗权罐杭脖窄那娄猪剂刚旦祈菠骡曳呀语耍用弃私皂济朗痰恶董劣湃谴崖笺坏跑均怔细茵锋勉散踪颤垫蜡锰狭蠢撞墨验茶淮馋贺诫泽穷踞煽搽沟镣端涤隐概荫