一类具有恐惧效应的时滞广义HollingⅢ型捕食者-食饵模型的动力学分析.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 2 1基金项目:国家自然科学基金(1 1 9 6 1 0 7 4)第一作者:王檄豪(1 9 9 8),男,硕士研究生,研究方向为生物数学.通信作者:韦煜明(1 9 7 4),男,博士,教授,研究方向为生物数学.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 2 8 8-1 0一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者-食饵模型的动力学分析王檄豪,韦煜明(广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 5 4 1 0 0 6)摘要:研究了一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学行为.首先,通过计算模型平衡点的J a c o b i a n矩阵研究了平衡点的稳定性,并分析了时滞对正平衡点的稳定性影响;其次,在确定性模型中通过引入白噪声将系统转变为随机模型,并通过构造L y a p u n o v函数研究了随机模型正解的性质;再次,在一些假设条件下,利用伊藤公式建立了模型在平均意义下的持续生存和灭绝的充分性条件;最后,通过数值模拟验证了恐惧效应、时滞和随机因素对捕食者和食饵种群密度的影响.关键词:广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型;恐惧效应;平衡点;时滞;持久性;灭绝性中图分类号:O 1 7 5 文献标志码:AD y n a m i c a n a l y s i s o f a d e l a y e d p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h f e a r e f f e c t a n d g e n e r a l i z e d H o l l i n g t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s eWANG X i h a o,WE I Y u m i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,G u a n g x i N o r m a l U n i v e r s i t y,G u i l i n 5 4 1 0 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:T h e d y n a m i c a l b e h a v i o r o f a g e n e r a l i z e d d e l a y e d H o l l i n g t y p e p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h f e a r e f f e c t s w a s i n v e s t i g a t e d.F i r s t l y,t h e s t a b i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m w a s s t u d i e d b y c a l c u l a t i n g t h e J a c o b i a n m a t r i x o f t h e e q u i l i b r i a o f t h e m o d e l,a n d t h e e f f e c t o f d e l a y o n t h e s t a b i l i t y o f t h e p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t w a s a n a l y z e d.S e c o n d l y,t h e s y s t e m w a s t r a n s f o r m e d i n t o a s t o c h a s t i c m o d e l b y i n t r o d u c i n g w h i t e n o i s e i n t o t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l,a n d t h e n a t u r e o f t h e s t o c h a s t i c p o s i t i v e s o l u t i o n w a s s t u d i e d b y c o n s t r u c t i n g t h e L y a p u n o v f u n c t i o n.T h i r d l y,u n d e r s o m e a s s u m p t i o n s,t h e I t f o r m u l a w a s u s e d t o e s t a b l i s h t h e m o d e l s u f f i c i e n c y c o n d i t i o n s f o r e x t i n c t i o n a n d p e r s i s t e n c e i n t h e m e a n.F i n a l l y,t h e e f f e c t s o f f e a r e f f e c t s,d e l a y a n d s t o c h a s t i c f a c t o r s o n p r e d a t o r a n d p r e y p o p u l a t i o n d e n s i t i e s w e r e v e r i f i e d b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s.K e y w o r d s:g e n e r a l i z e d H o l l i n g t y p e p r e d a t o r-p r e y m o d e l;f e a r e f f e c t;e q u i l i b r i u m p o i n t;d e l a y;p e r s i s t-e n c e;e x t i n c t i o n0 引言由于恐惧效应会改变食饵种群的行为方式、生理特征以及种群密度等1,因此近年来一些学者对其进行了研究.例如:2 0 1 6年,W a n g等2研究了恐惧效应对确定性捕食者 食饵模型的影响;同年,李梁 第4期王檄豪,等:一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学分析晨等3提出了一类具有时滞H o l l i n g型功能反应的捕食者 食饵模型,并研究了该模型共存平衡点的全局稳定性及其H o p f分支的存在性;2 0 1 6年,秦爽4研究了一类具有广义H o l l i n g型功能性反应的确定性模型的动力学行为;2 0 2 2年,S h a o5研究了一类在确定环境和随机环境中带有恐惧效应和时滞的捕食者 食饵模型,并探讨了确定性模型中平衡点的存在性和稳定性以及随机模型中全局正解的存在性;2 0 2 2年,刘英姿等6研究了一类具有恐惧效应的L e s l i e-G o w e r型功能反应的捕食者 食饵模型,并讨论了恐惧效应对食饵和捕食者种群密度的影响.基于上述研究,本文基于文献5 中的捕食者 食饵模型,采用广义H o l l i n g型功能反应函数建立了如下确定性模型:dx(t)dt=r x(t)1+f y(t-)-d1x(t)-b x2(t)-c1x2(t)y(t)1+x(t)+x2(t),dy(t)dt=c2x2(t)y(t)1+x(t)+x2(t)-d2y(t)-h y2(t).(1)由于确定性模型难以体现环境的波动性,因此本文还研究了与确定性模型(1)相对应的随机性模型.由于随机因素会影响种群的自然死亡率,因此本文通过扰动捕食者种群的自然死亡率(-d1-d1+1dB1(t)dt)和食饵种群的自然死亡率(-d2-d2+2dB2(t)dt)7来构建随机模型:dx(t)dt=r x(t)1+f y(t-)-d1x(t)-b x2(t)-c1x2(t)y(t)1+x(t)+x2(t)+1x(t)dB1(t),dy(t)dt=c2x2(t)y(t)1+x(t)+x2(t)-d2y(t)-h y2(t)+2y(t)dB2(t).(2)其中:x(t)和y(t)分别表示食饵和捕食者在t时刻的种群密度;r表示食饵种群的内禀增长率;表示时滞;d1和d2分别表示食饵和捕食者的死亡率;b和h分别表示食饵和捕食者种群在种内的竞争系数;f表示食饵的恐惧水平;c2表示转化率;c1x21+x+x2表示广义H o l l i n g型功能反应;Bi(t)(i=1,2)是定义在完备概率空间(,F,P)上的相互独立的标准布朗运动;i(t)(i=1,2)表示白噪声的强度.另外,式中所有的参数值均为非负.该模型的初值为x(0)0,y(0)0.本文将探讨模型(1)的平衡点的存在性、稳定性和模型(2)的全局正解的存在性、有界性,以及两个物种在随机模型中的存活和消亡条件.在下文的讨论中,本文假设食饵的出生率总是大于它的死亡率,即rd1.1 确定性模型下面分别讨论模型(1)平衡点的存在性和局部稳定性,以及其在共存平衡点处发生H o p f分支的条件.1.1 模型(1)平衡点的存在性根据模型(1)可得如下方程组:r x1+f y-d1x-b x2-c1x2y1+x+x2=0,(3)c2x2y1+x+x2-d2y-h y2=0.(4)求解式(3)和式(4)得模型(1)共有3类平衡点:第1类为种群灭绝平衡点E0(0,0);第2类为无捕食者平衡点E1r-d1b,0 ;第3类为共存平衡点E(x,y),其中x和y是式(3)和式(4)的一组正解.由式(3)和式(4)还可知,模型(1)始终存在种群灭绝平衡点E0(0,0)和无捕食者平衡点E1r-d1b,0 .另外,由式(4)可知y=1hc2x21+x+x2-d2 ,因此将y值代入式(3)可得如下方程:982延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 a0 x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7=0.(5)其中:x是式(5)的一个正解,a0=b h2(h-f d2)+f c2,a1=(h-f d2)(d1h3+3b h 2)+f c2h(d1+2 b)-r h23,a2=(f-d2)(3d1h 2+3b h2+3b h 2+c1(c2-d2)+f c2(2d1h+2+2+c2(c2-d2)-3r h22,a3=(h-f d2)(3d1h2+3d1h 2+b h 3+6b h+c1c2-2c1d2)+f c2(2+2+2b h-c1d2)-3r h2(2+),a4=(h-f d2)(6d1h+d1h 3+3b h 2+3b h+c1c2-2c1d2-c1d22)+f c2(2+b h-c1d2)-r h2(2+6),a5=(h-f d2)(3d1h 2+3d1h+3b h-2c1d2)+f c2d1h-3r h2(2+),a6=(h-f d2)(3d1h+b h-c1d2)-3r h2,a7=h-f d2+r h2.若c2x21+x+x2-d20,即(c2-d2)x2-d2 x-d20,则有y0.由此可知只需令c2-d20,即可保证xd2+(d2)2+4(c2-d2)d22(c2-d2).由于七次方程一定存在实根,故可令a00,a7c2(r-d1)2b2+b(r-d1)+(r-d1)2,则E1r-d1b,0 是稳定结点;若d2c2(r-d1)2b2+b(r-d1)+(r-d1)2,则E1r-d1b,0 是鞍点;(c)若a1 10和2=-d20),因此E0是鞍点.(a)得证.其次证明(b).因E1的J a c o b i a n矩阵为d1-r00c2(r-d1)2b2+b(r-d1)+(r-d1)2-d2 (该矩阵的两个特征值分别为1=d1-rc2(r-d1)2b2+b(r-d1)+(r-d1)2时,E1是稳定结点;当d2c2(r-d1)2b2+b(r-d1)+(r-d1)2时,E1是鞍点.(b)得证.最后证明(c).E的J a c o b i a n矩阵为-x b+c1y(1-x2)(1+x+x2)2 -c1x21+x+x2c2xy(2+x)(1+x+x2)2-hy,其对应的特092 第4期王檄豪,等:一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学分析征方程为2-(a1 1+a2 2)+a1 1a2 2-a1 2a2 1=0,其中:a1 1=-x b+c1y(1-x2)(1+x+x2)2 ,a1 2=-c1x21+x+x20,a2 2=-hy0.(7)由式(7)可知,若a1 10,且a1 1a2 2-a1 2a2 10.由此再根据R o u t h-H u r w i t z判据可知,E(x,y)是局部渐进稳定的9.(c)得证.情形2 带有时滞模型的动力学行为.由式(6)可知,模型(1)在E(x,y)处的J a c o b i a n矩阵的特征方程为:2+R1+R2+S1e-=0.(8)其中:R1=-a1 1-a2 2,R2=a1 1a2 2-a1 2a2 1,S1=-a2 11,1=-f rx(1+fy)2,其余参数取值与式(7)相同.由文献1 0 可知,当0时,若式(8)的所有根的实部都为负值,则模型(1)的平衡点E(x,y)总是稳定的.为了研究平衡点E(x,y)处的动力学行为,本文令=p1+ip2,则式(8)可变为(p1+ip2)2+R1(p1+ip2)+R2+S1e-p1-ip2=0.分离该式实部和虚部可得:p21-p22+R1p1+R2+S1e-p1c o s(p2)=0,(9)2p1p2+R1p2-S1e-p1s i n(p2)=0.(1 0)为确定式(8)是否有纯虚根,再令p1=0.由此式(9)和式(1 0)可变为:S1c o s(p2)=p22-R2,(1 1)S1s i n(p2)=R1p2.(1 2)在式(1 1)和式(1 2)中消去可得p42+p22(R21-2R2)+R22-S21=0.再令p22=,由此可得:p()2+(R21-2R2)+R22-S21=0.(1 3)由于式(1 3)是一个关于的开口向上的二次方程,因此可知如果P(0)0,即当R22S21成立时,式(1 3)有且只有一个正根.在此,本文令=*为式(1 3)的根.为证明以参数为变量的模型(1)在共存平衡点E(x,y)处存在H o p f分支,本文给出定理2.定理2当0时,若R22S21,则可得阈值*.当0*时,共存平衡点E处因产生震荡而变得不稳定;当S VUW时,平衡点E在=*处会出现超临界H o p f分支,其中阈值*=(0)+,(j)+=c o s-1*-R2S1 *+2 j*,j=0,1,2,3,S=R1-S1*c o s(*),V=S1*s i n(*),U=-2*-S1*s i n(*),W=S1*c o s(*).证明 当0时,由上述讨论可知,若R22S21,则式(1 3)有唯一正根*,因此阈值*存在.再由式(1 1)可得(j)+=c o s-1*-R2S1 *+2 j*,j=0,1,2,3,.于是根据B u t l e rs引理1 1可知:当0*时,因所有特征值的实部始终大于零,所以平衡点E是不稳定的,其中*是使式(8)存在零实部的根的最小阈值.对式(9)和式(1 0)关于进行微分后,再将p1=0和=*代入式(9)和式(1 0)中可得:SddR e()=*+UddI m()=*=V,(1 4)192延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 -UddR e()=*+SddI m()=*=W.(1 5)求解 式(1 4)和 式(1 5)可 得ddR e()=*=S V-UWS2+U2 .由 此 可 知,当S VUW时,ddR e()=*0成立,平衡点E在=*处会出现超临界H o p f分支1 0,证毕.2 随机模型2.1 正解的存在唯一性定理3对于任意给定的初值x(0)0,y(0)0,模型(2)存在唯一的全局正解(x(t),y(t)R2+.证明 由于模型(2)的系数满足局部L i p s c h i t z条件,因此在0,e)上存在唯一局部解,其中e是爆破时间.由随机分析学理论可知,要证该解是全局的,只需证明e=,a.s.即可.为此,假设k00充分大,使得x(0),y(0)1k0,k0 成立.当kk0时,定义停时为k=i n ft0,e):x(t)1k,k y(t)1k,k ,由此可知当k 时,k是逐渐增加的.记=l i mk k,于是由的定义可得0和(0,1),使得P(T)成立.由该结果可知,存在整数k1k0,使得 P(kT),kk1.(1 6)本文根据稳定性理论定义一个C2函数V:R2+R+,即V(x,y)=x-1-l nx+c1c2(y-1-l ny).当s0时,由s-1-l ns0可知,对于任意的解(x(t),y(t)R2+,始终有V(x,y)0.根据I t 公式可知,对于任意的kk0和T0,当0tkT时有:dV(x,y)=L V(x,y)dt+1(x-1)dB1(t)+c1c22(y-1)dB1(t).(1 7)其中:L V(x,y)=(x-1)r1+f y(t-)-d1-b x+c1x y1+x+x2 +212+c1c2(y-1)c2x21+x+x2-d2-h y +222-b x2+r x-d1x+d1+b x+c1x y1+x+x2+c1c2(-d2y-h y2+d2+h y)+212+c1x y2c2-b x2+(r+b-d1)x-c1c2h y2+c1-c1c2d2+c1c2h y+d1+c1c2d2+212+c1222c2 m a xxR+-b x2+(r+b-d1)x +m a xxR+-c1c2h y2+c1-c1c2d2+c1c2h y +d1c1c2d2+212+c1222c2=K,其中K为正常数,kT=m i nk,T.对式(1 7)两边同时积分后取其数学期望可得E V(x(kT),y(kT)V(x(0),y(0)+K(kT)V(x(0),y(0)+KT.令k=kT,kk1.于是由式(1 6)可知,P(k).此外,注意到对于k,由于x(k,),y(k,)中至少有一个等于k或1k,因此可得:V(x(0),y(0)+KTE Ik()V(x(k),y(k)k-1-l nk 1k-1-l n1k ,(1 8)292 第4期王檄豪,等:一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学分析其中Ik()是k()的示性函数.令k,由此可得k-1-l nk 1k-1-l n1k .于是再由式(1 8)可得 V(x(0),y(0)+KT=,此时产生了矛盾,因此=,a.s.证毕.2.2 解的有界性定理4对于任意给定的初值(x(0),y(0),模型(2)的解(x(t),y(t)R2+满足:l i m s u pt x(t),a.s.,l i m s u pt y(t),a.s.证明 由模型(2)的第1个方程可知:dx=r x(t)1+f y(t-)-d1x-b x2-c1x2y1+x+x2 dt+1x(t)dB1(t)x(r-d1-b x)dt+1xdB1(t).根据上式可构造方程dp(t)=p(r-d1-b p)dt+1pdB1(t),由此再由文献1 2 和微分方程随机比较定理1 3可知x(t)有上界.由模型(2)的第2个方程可知:dy=c2x2y1+x+x2-d2y-h y2 dt+2y(t)dB2(t)yc2-h y-d2 dt+2y(t)dB2(t).(1 9)为了证明y的有界性,本文根据式(1 9)构造如下辅助模型(2 0):dQ(t)=Qc2-h Q-d2 dt+2QdB2(t),Q(0)=y(0).(2 0)由式(2 0)的第1个方程可得:dQQc2-h Q1+Q-d2 dt+2QdB2(t)=Qc2-h(1+Q)-h1+Q-d2 dt+2QdB2(t)=Qc2-d2-h+h1+Q dt+2QdB2(t).(2 1)令G=c2-d2-h0,由此式(2 1)可变为:dQQ G+h1+Q dt+2QdB2(t)(Q G+h)dt+2QdB2(t).(2 2)根据式(2 2)可构造如下辅助模型:dY(t)=(G Y+h)dt+2YdB2(t),Y(t)=y(0).(2 3)对模型(2 3)进行求解1 4可得:Y(t)=-hG+Y(0)+hG eG t+M(t),其中M(t)=t0eG(t-s)2Y(s)dB2(s)是一个带有初值M(0)=0的连续局部鞅.再由随机比较定理可得Q(t)Y(t),a.s.为了证明Y(t)的有界性,定义Y(t)=Y(0)+A(t)+U(t)+M(t),其中A(t)=-hG1-eG t,U(t)=Y(0)1-eG t.由文献1 4可知,当t0时,A(t)和U(t)是带有初值A(0)=U(0)=0的连续适应增过程.于是再由非负半鞅收敛定理1 5可知,l i mt Y(t),a.s.由以上结果和随机比较定理可知,l i mt y(t),a.s.,证毕.2.3 平均持久性和灭绝性为了便于下文表述,首先引入以下记号:=1tt0y(s)ds,R1=2r21+2d1,R2=2c222+2d2+0 x21+x+x2(x)dx.392延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 定义1 如果l i mt+f(t)=0,a.s.,则称种群f(t)灭绝;如果l i m i n ft+0,a.s.,则称种群f(t)是强平均持久的.引理11 6假设M(t)C(0,+,R+),则:(i)如果存在正常数T和0,使得当tT时有l nM(t)t-0t0M(t)ds+2i=1iBi(t),其中i(i=1,2)为常数,则有:l i m s u pt t-1t0M(s)ds/0,a.s.,i f 0;l i mt M(s)ds=0,a.s.,i f 0.(i i)如果存在正常数T、和0,使得当tT时有l nM(t)t-0t0M(t)ds+2i=1iBi(t),则有 l i m i n ft+t-1t0M(s)ds0,a.s.引理21 7对于模型(2 4):若R11,则模型(2 4)存在唯一遍历的平稳分布(H)=12(1)H1-1e-2H,其中1=2(r-d1)21-1,2=2b21,(v)=0tv-1e-tdt.dH(t)=H(t)(r-b H(t)-d1)dt+1H(t)dB1(t),H(0)=x(0).(2 4)推论1当R11时,由随机比较定理可知,食饵趋于种群灭亡,即l i mt x(t)=0.定理5若R21,则捕食者种群趋于灭绝,即l i mt y(t)=0.证明 对模型(2)的第2个方程应用I t 公式可得:d l ny=-d2-h y+c2x21+x+x2-222dt+2dB2(t)c2H21+H+H2-d2-222dt+2dB2(t).(2 5)对式(2 5)两边进行积分可得:l ny(t)-l ny(0)t1tt0c2H21+H+H2dt-d2+222 +2B2(t)t.(2 6)再由强大数定律1 8可知l i mt 2B2(t)t=0,a.s.,于是对式(2 6)两边取极限可得:l i mt l nytc20 x21+x+x2(x)dx-d2+222 =22+2d22(R2-1).当R21时,由于22+2d22(R2-1)0成立,因此l i mt l nyt1,则捕食者种群是强平均持久的,即l i m i n ft N(R2-1)0,其中N=22d2b+222b2(2h2b+c1c2).证明 对模型(2)和模型(2 4)的第1个方程分别应用I t 公式后再对其两边同时进行积分可得:l nx(t)-l nx(0)t-d1-212 +1B1(t)t-btt0 x(s)ds-c1tt0 x(s)y(s)1+x(s)+x2(s)ds,l nH(t)-l nH(0)t-d1-212-btt0H(s)ds+1B1(t)t.492 第4期王檄豪,等:一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学分析用上面的第1个式子减去第2个式子可得0l nx(t)-l nH(t)t-btt0 x(s)-H(s)ds-1tt0c1x(s)y(s)1+x(s)+x2(s)ds-btt0 x(s)-H(s)ds-c1 tt0y(s)ds,由该结果进而可得:1tt0 x(s)-H(s)ds-c1 b tt0y(s)ds.(2 7)对模型(2)的第2个方程应用I t 公式可得:d l ny=c2x21+x+x2-h y-d2-222 dt+2dB2(t)=c2H21+H+H2-H-x1+H+H2c2(x+H+xH)1+H+H2-h y-222-d2 dt+2dB2(t)c2H21+H+H2-h y-222-d2-c2(H-x)dt+2dB2(t).(2 8)对式(2 8)两边进行积分后再将式(2 7)代入其中可得:l ny(t)tc2tt0H2(s)1+H(s)+H2(s)ds-htt0y(s)ds-c21tt0H(s)-x(s)ds-d2-222+2B2(t)t+l ny(0)tc2tt0H2(s)1+H(s)+H2(s)ds-htt0y(s)ds-c1c22b1tt0y(s)ds-d2-222+2B2(t)t+l ny(0)tc2tt0H2(s)1+H(s)+H2(s)ds-h+c1c22b -d2-222+2B2(t)t+l ny(0)t.由上式和引理1可得l i m i n ft 22d2b+222b2(2h2b+c1c2)(R2-1)0,证毕.3 数值模拟3.1 恐惧效应对模型(1)平衡状态的影响本文参考文献5,选取3个恐惧参数f(0、5和1 0)来分析恐惧因素对模型(1)的影响,并将其他参数分别设置为:r=2,c1=0.6,d1=0.5,b=0.0 8,=0,=0.0 1,=0.0 1,c2=0.4,d2=0.1,h=0.3.图1为f分别取0、5和1 0时其对模型(1)平衡状态影响的仿真图.由图1可以看出,平衡点处的x和y随f值的增加而减少.这表明,较高的恐惧可减少捕食者和食饵种群的密度.图1 不同恐惧参数f对模型(1)平衡状态影响的仿真图3.2 时滞对模型(1)平衡状态的影响本文参考文献5,选取3个时滞参数(1、5和1 0)来分析时滞对模型(1)的影响(固定f=1,其他592延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 各参数取值与3.1中相同).图2为分别取1、5和1 0时其对模型(1)平衡状态的影响的仿真图.由图2可以看出,不同时滞的取值不会影响模型(1)的种群密度和平衡点的稳定性.图2 不同时滞参数对模型(1)平衡状态影响的仿真图3.3 随机因素对模型(2)平衡状态的影响本文利用M i l s t e i n方法1 9研究随机因素对模型(2)平衡状态的影响,参数取值参考文献2 0 选取:r=2.2,c1=0.6,f=1,=0,d1=0.5,b=0.0 8,=0.0 1,=0.0 1,c2=0.1,d2=1,h=0.3.1)当1=2=1.5时,依据上述参数进行计算可得:R1=2r21+2d1=1.0 3 51,R2=2c222+2d2+0 x21+x+x2(x)dx=0.7 7 41,R2=2c222+2d2+0 x21+x+x2(x)dx=9.8 31.由上述计算可知R1和R2的值满足定理6的条件,因此此时x(t)、y(t)均是持续存在的.由图3(b)进一步可知该结果是正确的.图3 不同随机因素对捕食者和食饵种群密度影响的仿真图4 结论本文对确定性模型(1)和随机模型(2)的动力学行为进行研究表明:恐惧效应不会对模型(1)的稳定性产生影响,但会改变食饵和捕食者的种群密度,表现为较高的恐惧效应会降低食饵和捕食者的种群密度;时滞不会对模型(1)的稳定性和种群密度产生明显影响;随机因素对模型(2)的稳定性和种群密度都会产生影响,表现为较大的噪声会降低食饵和捕食者的种群密度.本文研究结果可为调控种群密度和维持种群间的平衡提供良好参考.在今后的研究中,我们将对模型(2)是否存在平稳分布和具有遍历性进行探讨.692 第4期王檄豪,等:一类具有恐惧效应的时滞广义H o l l i n g型捕食者 食饵模型的动力学分析参考文献:1 Z AN E T T E L Y,WH I T E A F,A L L E N M C.P e r c e i v e d p r e d a t i o n r i s k r e d u c e s t h e n u m b e r o f o f f s p r i n g s o n g b i r d s p r o d u c e p e r y e a rJ.S c i e n c e,2 0 1 1,3 3 4(6 0 6 1):1 3 9 8-1 4 0 1.2 WANG X Y,Z AN E T T E L,Z OU X F.M o d e l l i n g t h e f e a r e f f e c t i n p r e d a t o r-p r e y i n t e r a c t i o n sJ.J o u r n a l o f M a t h e-m a t i c a l B i o l o g y,2 0 1 6,7 3(5):1 1 7 9-1 2 0 4.3 李梁晨,徐瑞.一类具有时滞和H o l l i n g型功能反应的捕食模型的全局稳定性和分支(英文)J.黑龙江大学自然科学学报,2 0 1 6,3 3(3):3 2 8-3 3 7.4 秦爽.具有广义H o l l i n g型功能性反应的共位群内捕食系统的动力学行为D.哈尔滨:黑龙江大学,2 0 1 6.5 S HAO Y F.G l o b a l s t a b i l i t y o f a d e l a y e d p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h f e a r a n d H o l l i n g-t y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e i n d e t e r m i n i s t i c a n d s t o c h a s t i c e n v i r o n m e n t sJ.M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r s i n S i m u l a t i o n,2 0 2 2,2 0 0:6 5-7 7.6 刘英姿,李忠,何梦昕.具有恐惧效应和食饵避难所的L e s l i e-G o w e r捕食者 食饵模型的动力学分析J.延边大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 8(2):1 1 2-1 1 7.7 L I U Q,Z U L,J I AN G D Q.D y n a m i c s o f s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l s w i t h H o l l i n g f u n c t i o n a l r e s p o n s eJ.C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n,2 0 1 6,3 7:6 2-7 6.8 P A T I N C,GHO S H B.D e l a y e d c a r r y i n g c a p a c i t y i n d u c e d s u b c r i t i c a l a n d s u p e r c r i t i c a l H o p f b i f u r c a t i o n s i n a p r e d a t o r-p r e y s y s t e mJ.M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r s i n S i m u l a t i o n,2 0 2 2,1 9 5:1 7 1-1 9 6.9 方侃,曾怀杰,陈晓英.具有捕食者A l l e e效应的L e s l i e-G o w e r模型的动力学分析J.延边大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 8(1):2 5-2 9.1 0 MON D A L S,S AMAN TA G,d e l a S E N M.A c o m p a r i s o n s t u d y o f p r e d a t o r-p r e y m o d e l i n d e t e r m i n i s t i c a n d s t o c h a s t i c e n v i r o n m e n t s w i t h t h e i m p a c t s o f f e a r a n d h a b i t a t c o m p l e x i t yJ.B u l l e t i n o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2 0 2 2,8 4(1 0):1 1 5.1 1 F R E E DMAN H I,R AO V S H.T h e t r a d e-o f f b e t w e e n m u t u a l i n t e r f e r e n c e a n d t i m e l a g s i n p r e d a t o r-p r e y s y s t e m sJ.B u l l e t i n o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,1 9 8 3,4 5(6):9 9 1-1 0 0 4.1 2 J I AN G D Q,S H I N Z.A n o t e o n n o n a u t o n o m o u s l o g i s t i c e q u a t i o n w i t h r a n d o m p e r t u r b a t i o nJ.J o u r n a l o f M a t h e-m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 0 5,3 0 3(1):1 6 4-1 7 2.1 3 钟颖,韦煜明.污染环境下具有混合功能反应和M a r k o v切换的食饵 捕食模型J.广西师范大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 1(4):1 3 5-1 4 8.1 4 Z HAO S N,YUAN S L,WANG H.T h r e s h o l d b e h a v i o r i n a s t o c h a s t i c a l g a l g r o w t h m o d e l w i t h s t o i c h i o m e t r i c c o n s t r a i n t s a n d s e a s o n a l v a r i a t i o nJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 2 0,2 6 8(9):5 1 1 3-5 1 3 9.1 5 MAO X R.S t o c h a s