1.1.5中值定理.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版课题11.5中值定理（2学时）时间 年 月 日教学目的要求1、 理解中值定理的内容。2、 利用中值定理证明不等式。重点利用中值定理证明不等式难点利用中值定理证明不等式教学方法手段精讲多练主要内容时间分配一、 罗尔（Roll）中值定理 15分钟例1-例2 20分钟二、 拉格朗日(Langrange)中值定理 15分钟例3-例6 30分钟小结 10分钟作业备注1.1.5中值定理一、罗尔（Roll）中值定理如果函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那么至少存在一点 , 使得 。证明：由于在闭区间 上连续，根据闭区间上连续函数最大值和最小值定理，在 上必有最大值和最小值。现分两种可能来讨论：若，则对任一都有这是对任意的 都有。若，由知，和中至少有一个不等于，不妨设，则在开区间 内至少有一点使得，下面证明由在开区间 内可导知，存在，由于为最大值，所以不论为正为负，只要，总有，当时，有根据函数极限的保号性知同样，当时，有所以因为，故【例1】 验证函数在 上满足罗尔定理。证明 因为 满足在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且所以由罗尔中值定理知，至少存在一点使得。【例2】不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在区间。解 显然在 、 上都满足罗尔定理，所以至少有、使、即方程至少有两个实根，又因为是一个一元二次方程，最多有两个实根，所以方程有两个实根，且分别在区间、内。几何意义：如果曲线上除端点外都有不垂直于轴的切线，且端点纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于轴的切线。二、拉格朗日(Langrange)中值定理如果函数 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,那么至少存在一点 , 使得 。或证明：构造辅助函数容易验证满足罗尔定理的条件，从而在 内至少存在一点，使得即 或 注意：1、 注意罗尔定理和拉格朗日定理得条件和结论中的共同点和不同点，并且知道罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。2、 注意罗尔定理和拉格朗日定理的中值点是开区间 内的某一点，而非区间内任意点或指定点，换言之，这两个中值定理都“定性”地指出了中值点的存在性，而非“定值”地指明的具体数值。3、 柯西中值定理如果函数及在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,，且在 内的每一点处均不为零，那么在 内至少有一点使得成立。证明：构造辅助函数容易验证满足罗尔定理的条件，从而在 内至少存在一点，使得即从而几何意义：如果连续曲线除端点外都有不垂直于轴的切线，那么该曲线上至少有这样一点存在，在该点处曲线的切线平行于连接两端点的直线。【例3】验证函数在 上满足拉格朗日定理的条件，并求出的值。解 显然在 上连续， 内可导，满足拉格朗日定理的条件。且则即解得【例4】如果在 上连续,且在 内的导数恒等于零，则在 上为常数。证明：在 上任取，则在上满足拉格朗日中值定理，有，已知，所以即在 上为常数。练习题：证明在 上恒有【例5】若，证明。证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，至少存在一点，使即，【例6】若，证明。证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，至少存在一点，使即， ，练习题：1、若，则。2、若，则。小结：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的关系定理及关系条件结论罗尔定理在闭区间 上连续, 在开区间 内可导,且至少存在一点 使得 。拉格朗日定理在闭区间 上连续, 在开区间 内可导至少存在一点使得 。柯西定理及在闭区间 上连续, 在开区间 内可导，至少存在一点使得