0.1.5无穷大量与无穷小量.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
0.1.5无穷小量与无穷大量（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解无穷小和无穷大的概念及相互关系。
2、 理解和掌握无穷小的性质和无穷小的阶。
3、 会比较两个无穷小的大小。
重点
无穷小和无穷大的概念。
难点
会比较无穷小。
教
学
方
法
手
段
对比讲解
主
要
内
容
时
间
分
配
一、无穷小量 20分钟
定理1
二、无穷大量 15分钟
三、无穷小量与无穷大量的关系 10分钟
四、无穷小的性质 15分钟
五、无穷小的比较 15分钟
六、等价无穷小 15分钟

作业

备注

4
0.1.5无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
如果（或）时，函数的极限为零，则称为（或）时的无穷小量，简称无穷小。
注意：
⑴无穷小是以零为极限的变量，不要把一个很小的数认为是无穷小。
⑵无穷小是与极限过程相联系的。
⑶当，，，时可得到相应的无穷小的定义。无穷小的定义对数列也适用。
定理1 的充分必要条件是
其中，是一个无穷小量。
证明：必要性 设，则

所以
充分性 设，则

所以
注：⑴定理1对，等其它情况都成立。
⑵意义：①将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）②给出函数在附近的近似表达式，误差为。
二、无穷大量
如果（或）时，无限增大，则称为（或）时的无穷大量，简称无穷大。
记作（或）
注：⑴无穷大是变化的量，不要把一个很大的数认为是无穷大。
⑵无穷大是与极限过程相联系的。
⑶当，，，时可得到相应的无穷大的定义。无穷大的定义对数列也适用。
⑷切勿将认为极限存在，因为极限必须是常数，而不是数，只表示一种状态。

（5）无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量未必是无穷大。
三、无穷小量与无穷大量的关系
在自变量的同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。
【例1】求
解 时分母的极限为0，分子的极限不为0，即

所以
四、无穷小的性质
1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
4、常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
五、无穷小的比较
设，是同一过程中的两个无穷小，且，
⑴，则称是比的高阶无穷小，记作；
⑵，则称是比的低阶无穷小；
⑶，则称是比的同阶无穷小，
特别地，如果，则称是比的等价无穷小；
⑷，则称是比的阶无穷小。
【例2】（1），即
所以当时，是比高阶无穷小；
（2），即
所以当时，是的等价无穷小；
六、等价无穷小
定理2设，，，是同一过程中的无穷小，且，，存在，则

证明：
几个常用的等价无穷小：当时有

【例3】求下列极限：（1），（2）
解 （1）当时，，

（2）当时，

小结：
（1）若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换；
（2）对于代数和中的各无穷小不能分别代换。