1、新编经济应用数学(微分学 积分学)第五版课题0.1.5无穷小量与无穷大量(2学时)时间 年 月 日教学目的要求1、 理解无穷小和无穷大的概念及相互关系。2、 理解和掌握无穷小的性质和无穷小的阶。3、 会比较两个无穷小的大小。重点无穷小和无穷大的概念。难点会比较无穷小。教学方法手段对比讲解主要内容时间分配一、无穷小量 20分钟定理1二、无穷大量 15分钟三、无穷小量与无穷大量的关系 10分钟四、无穷小的性质 15分钟五、无穷小的比较 15分钟六、等价无穷小 15分钟作业备注40.1.5无穷小量与无穷大量一、无穷小量如果(或)时,函数的极限为零,则称为(或)时的无穷小量,简称无穷小。注意:无穷小是
2、以零为极限的变量,不要把一个很小的数认为是无穷小。无穷小是与极限过程相联系的。当,时可得到相应的无穷小的定义。无穷小的定义对数列也适用。定理1 的充分必要条件是其中,是一个无穷小量。证明:必要性 设,则所以充分性 设,则所以注:定理1对,等其它情况都成立。意义:将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)给出函数在附近的近似表达式,误差为。二、无穷大量如果(或)时,无限增大,则称为(或)时的无穷大量,简称无穷大。记作(或)注:无穷大是变化的量,不要把一个很大的数认为是无穷大。无穷大是与极限过程相联系的。当,时可得到相应的无穷大的定义。无穷大的定义对数列也适用。切勿将认为极限存在,因为极限必须是常
3、数,而不是数,只表示一种状态。(5)无穷大是一种特殊的无界变量,但无界变量未必是无穷大。三、无穷小量与无穷大量的关系在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。【例1】求解 时分母的极限为0,分子的极限不为0,即所以四、无穷小的性质1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。4、常数与无穷小的乘积仍是无穷小。五、无穷小的比较设,是同一过程中的两个无穷小,且,则称是比的高阶无穷小,记作;,则称是比的低阶无穷小; ,则称是比的同阶无穷小,特别地,如果,则称是比的等价无穷小; ,则称是比的阶无穷小。【例2】(1),即 所以当时,是比高阶无穷小; (2),即 所以当时,是的等价无穷小;六、等价无穷小定理2设,是同一过程中的无穷小,且,存在,则证明:几个常用的等价无穷小:当时有 【例3】求下列极限:(1),(2)解 (1)当时, (2)当时, 小结:(1)若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换;(2)对于代数和中的各无穷小不能分别代换。