0.1.5无穷大量与无穷小量.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版课题0.1.5无穷小量与无穷大量（2学时）时间 年 月 日教学目的要求1、 理解无穷小和无穷大的概念及相互关系。2、 理解和掌握无穷小的性质和无穷小的阶。3、 会比较两个无穷小的大小。重点无穷小和无穷大的概念。难点会比较无穷小。教学方法手段对比讲解主要内容时间分配一、无穷小量 20分钟定理1二、无穷大量 15分钟三、无穷小量与无穷大量的关系 10分钟四、无穷小的性质 15分钟五、无穷小的比较 15分钟六、等价无穷小 15分钟作业备注40.1.5无穷小量与无穷大量一、无穷小量如果（或）时，函数的极限为零，则称为（或）时的无穷小量，简称无穷小。注意：无穷小是以零为极限的变量，不要把一个很小的数认为是无穷小。无穷小是与极限过程相联系的。当，时可得到相应的无穷小的定义。无穷小的定义对数列也适用。定理1 的充分必要条件是其中，是一个无穷小量。证明：必要性 设，则所以充分性 设，则所以注：定理1对，等其它情况都成立。意义：将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）给出函数在附近的近似表达式，误差为。二、无穷大量如果（或）时，无限增大，则称为（或）时的无穷大量，简称无穷大。记作（或）注：无穷大是变化的量，不要把一个很大的数认为是无穷大。无穷大是与极限过程相联系的。当，时可得到相应的无穷大的定义。无穷大的定义对数列也适用。切勿将认为极限存在，因为极限必须是常数，而不是数，只表示一种状态。（5）无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量未必是无穷大。三、无穷小量与无穷大量的关系在自变量的同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。【例1】求解 时分母的极限为0，分子的极限不为0，即所以四、无穷小的性质1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。4、常数与无穷小的乘积仍是无穷小。五、无穷小的比较设，是同一过程中的两个无穷小，且，则称是比的高阶无穷小，记作；，则称是比的低阶无穷小； ，则称是比的同阶无穷小，特别地，如果，则称是比的等价无穷小； ，则称是比的阶无穷小。【例2】（1），即 所以当时，是比高阶无穷小； （2），即 所以当时，是的等价无穷小；六、等价无穷小定理2设，是同一过程中的无穷小，且，存在，则证明：几个常用的等价无穷小：当时有 【例3】求下列极限：（1），（2）解 （1）当时， （2）当时， 小结：（1）若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换；（2）对于代数和中的各无穷小不能分别代换。