2.1.6-牛顿-莱布尼兹公式.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.1.6 牛顿－莱布尼兹公式（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 掌握变上限定积分。
2、 掌握牛顿－莱布尼兹公式。
重点
牛顿－莱布尼兹公式
难点
牛顿－莱布尼兹公式
教
学
方
法
手
段
讲授为主
启发式
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 变上限定积分 （30分钟）
二、 牛顿－莱布尼兹公式 （60分钟）
作业

备注

1
2.1.6 牛顿－莱布尼兹公式
新编经济应用数学
§2.1.6 牛顿－莱布尼兹公式
我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的。 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键。牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了不定积分与定积分概念之间存在着的深刻的内在联系并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式。
一、变上限定积分
定义 设函数在区间上连续，为上的任意一点，在区间上也连续，所以函数在区间上也可积。定积分的值依赖上限，因此它是定义在上的的函数，记作

则叫做变上限定积分。
变上限定积分有下面的重要性质。
定理1 若函数在区间上连续，则变上限定积分

在区间上可导，并且它的导数等于被积函数，即

【例1】求下列函数的导数：
（1） （2）
（3）
解 （1）
(2)（3）积分上限是，它是的函数，所以，变上限定积分是的复合函数，由复合函数求导法则，得

【例2】已知求。
解
二、牛顿－莱布尼兹公式
定理2 如果函数在区间上的连续，是在上的任一原函数，则
证明： 已知是在上的一个原函数，而

也是在上的一个原函数，故有
即 =
将代入，得 =
于是有
即
所以
将代入，得 =
将改为，得 =
上式称为牛顿——莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。
为方便起见，我们把记为，这样，上述公式就可写成如下形式：

【例3】
解：

【例4】
解：
＝
【例5】计算
解：
【例6】 计算下列定积分
（1） （2）
解： （1）

（2）
【例7】 计算
解：

4
2.1.6 牛顿－莱布尼兹公式