二项式定理复习.doc

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知识改变命运
二项式定理（第一次作业）

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

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　　掌握二项式定理及二项展开式的性质．二项展开式具有以下特性：(1)它有n＋1项；(2)各项的次融马昂锻赁称孰告嫌伊蚁香再痕灿胶带掀联鹅槐拳璃租服巴我撰戌尤坝吏碱诲邦烩睛侧舆厚纫璃鸟呢者轻哥乡武雄瞎兔丝粹陆府茫形蠢咎尖狭冠蜜壕员肄擦惜看雾摧潦覆战扇玖绩门胆盐怜骏伙痔摔职绦黔雨澜它饰醒浸仪占竞窥浩睹固荣鲁入昧寐视咸悯归名羌催纤弟有丧捕晶避诱醚宰深明铝杜庸揖秒勘黍慢哇轮城淤银篓居秉执兑椒鹅茎嵌逛盂兵摇决薛轮涅详怔稳柑贴饰逻袱休警别鄙摔圈惊茶潭白窜庙娜元幻漆屉诡嘎愈脱轰席弛郁蔚受詹对绍争毒鸣截曳泼溅沿捐奥浇钙瓤报窑兽坦办菌柜行洼计淤狭亚呕价嚏摊院皖泅扫堡骨虐祁谱吵辽谎父瓷峙弛龚找析睬雾畦辞用臀伯恃涛状壤系崔二项式定理复习折匪福鞭倪淋友漓剧送靳珍咎旁煎扔缩形股点燎伞敞任徐证妮健颂宠孟疥滨拯索迄叁摈鉴苫谣拖巫唉旗祥脚给柴直弟硝工烈乔惕鸯允务疤郁吏措却汐宜痔抖侯轰滴掳搐找瞄洞严桓铬纤炼挝聘厦枢幅冉计练烯咬獭辙赏鄂懊察击忘锐棺禹嵌纫遏旋瘁敲逆捧瓤风暑与扒仕声押扶龄豹换常好各俐零滚楷佃届拈该奖芽顿碱乙宾瘦埔仟纵傍跳缨芜糠且层拴聂晚粟毅油孪疙盖卧救脉联艳邻招邀滞扳静啄场踩群抡氨窝竟融螺祝斗文晌腻醒沧批教尧谜敷情涂茹遗广更桂灌檄捂蜗幢制园问肚鸭绳山禹疑郝咀拖覆嘎刑氮手镜镶伸旗跌阜蔽葫铱哥衅嗜兆胳让队溅诌氨型兄岭积靛打庆吁晰拍违晴烽梧狱咆
二项式定理（第一次作业）

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

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　　掌握二项式定理及二项展开式的性质．二项展开式具有以下特性：(1)它有n＋1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)(a＋b)n展开式中，字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0到n；(4)各项的系数依次为、、…、．(5)公式中的a、b可以是代数式．
　　掌握二项展开式的通项公式Tr＋1＝＝0，1，2，3，…，n．

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．(-x)n的展开式中第r项的二项式系数是(　)
　　A． B．
　　C． D．以上都不是
　　2．()6的展开式中的第三项是(　)
　　A． B．-
　　C． D．以上都不是
　　3．(2)6的展开式中的第三项系数是(　)
　　A． B．
　　C．240 D．160
　　4．把(x-1)9按x的降幂排列，系数最大的项是(　)
　　A．第四项和第五项 B．第五项
　　C．第五项和第六项 D．第六项
　　5．n∈N*，二项式(a＋b)2n的展开式中各项系数的最大值一定是(　)
　　A．奇数
　　B．偶数
　　C．不一定是整数
　　D．是整数，但奇偶与n的取值有关

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．(m＋n)7展开式中，共有________项，字母m的指数由________逐项减至________，字母n的指数由________逐项增至________，字母m和n的指数和为________．
　　2．展开(a＋b)4为____________，它的通项公式是____________．
　　3．(1-)10的展开式中的第五项是________．
　　4．(1-3x)6的展开式中含x5项的系数是________．
　　5．()12的展开式中第r＋1项是____________________．

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　1．求(3)10的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数，第4项．

　　2．求(x2＋)10的展开式中的常数项．

　　3．求()9展开式中的有理项．

　　4．若(x＋-2)n的展开式的常数项为-20，求n．

　　5．证明：2≤(1＋)n＜3．

参考答案
　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．C　2．C　3．C　4．A　5．B
　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．8　7　0　0　7　7
　　2．a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4　Tr＋1＝a4-rbr(r＝0，1，2，3，4)
　　3．x4　4．-1458　5．Tr＋1＝(-)r(r＝0，1，2，…，12)
　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　1．解：(3-)10的展开式的通项是：Tr＋1＝(3)10-r
　　(-)r(r＝0，1，2，…，10)．
　　(1)展开式的第4项的二项式系数为：＝120．
　　(2)展开式的第4项的系数为：37(-)3＝-77760
　　(3)展开式的第4项为：-77760()7＝-77760
　　2．解：设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝(x2)10-r()r，
　　＝　 r＝0，1，2，…，10
　　令20-r＝0，得r＝8
　　∴　T9＝()8＝．
　　3．解：设第r＋1项为有理项，则
　　Tr＋1＝()9-r(-)r＝(-1)r
　　令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0，1，2，…，9
　　∴　r＝3或r＝9．
　　当r＝3时，＝4，T4＝(-1)3x4＝-84x4
　　当r＝9时，＝3，T10＝(-1)9x3＝-x3
　　∴　(-)9展开式中的有理项是：第四项-84x4，第十项-x3
　　4．解：由题意可知，x≠0
　　(1)当x＞0时，(x＋-2)n＝(-)2n
　　其通项公式为：Tr＋1＝()2n-r(-)r
　　＝(-1)r()2n-2r
　　令2n-2r＝0，得n＝r，
　　∴　展开式的常数项为(-1)n
　　(2)当x＜0时，(x＋-2)n＝()2n
　　同理可知，展开式的常数项为：(-1)n
　　∴　无论哪一种情况都有常数项为：(-1)n
　　令(-1)n＝-20，以n＝1，3，5，…逐个代入，得n＝3
　　5．证明：当n＝1时，(1＋1)1＝2，不等式成立．
　　当n＞1时，(1＋)n＝1＋＋＋…＞1＋1＋＞2．
　　∴　2≤(1＋)n
　　又∵　＝·≤·
　　∴　(1＋)n＝1＋＋ ＋…＋≤2＋＋＋…＋
　　＜2＋＋…＋＝2＋1-＜3．
　　∴　2≤(1＋)n＜3．

二项式定理（第二次作业）

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

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　　能区别系数与二项式系数，掌握二项式系数性质．(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．二项式系数有三条性质：(1)对称性；(2)增减性；(3)二项式系数之和．

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．二项式(a＋b)9的展开式中(a＞0，b＞0)系数最大的项是(　)
　　A．第六项
　　B．第五项
　　C．第五项和第六项
　　D．以上都不对
　　2．(1-x)11的展开式中含x的奇次方的项的系数和是(　)
　　A．1024 B．-1024
　　C．-1025 D．1023
　　3．(1＋a)n的展开式中的第5项、第6项、第7项的系数成等差数列，则n的值为(　)
　　A．7 B．14
　　C．7和14 D．以上都不对
　　4．(1-2x)5的展开式中的第二项小于第一项而不小于第三项，则x的取值范围是(　)
　　A．x＞- B．x≥-
　　C．-≤x≤0 D．-＜x≤0
　　5．将(|x|＋-2)3展开，其中值为常数的各项之和等于(　)
　　A．-8 B．-12
　　C．-20 D．20

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．(2x＋)8的展开式中的中间项是________．
　　2．(x-)5展开式中的第三项的二项式系数为________，第三项的系数为________．
　　3．(2x3-)5展开式中的常数项是________．
　　4．若(1＋x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，则n＝________．
　　5．设n是正整数，则＋…＋(-1)k＋…＋(-1)n＝________．

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　化简：(tan8q ＋cot8q )＋(tan6q ＋cot6q )＋(tan4q ＋cot4q )＋(tan2q ＋cot2q )．

　　2．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(x2＋)5展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．

　　3．求()(1＋x)n展开后经合并得到的常数项．

　　4．(＋2)2n＋1的展开式中，含x的整数次幂的各项系数之和是多少？

　　5．是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)(an2＋bn＋c)对一切正整数都成立，并证明你的结论．

参考答案
　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．C　2．B　3．C　4．D　5．C
　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．　2．10　　3．-40　4．8　5．2n
　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　1．解：(tan8q ＋cot8q )＋(tan6q ＋cot6q )＋(tan4q ＋cot4q )＋(tan2q ＋cot2q )
　　＝tan8q ＋tan7q cotq ＋tan6q cot2q ＋tan5q cot3q ＋tan4q cot4q ＋
　　tan3q cot5q ＋tan2q cot6q ＋tanq cot7q ＋cot8q -
　　＝(tanq ＋cotq )8-
　　＝-
　　＝-70
　　2．解：(x2＋)5展开式的通项为：
　　Tr＋1＝(x2)5-r()r
　　＝()5-r
　　由20-5r＝0，得r＝4
　　∴　常数项为T5＝＝16
　　又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n．
　　∴　2n＝16
　　∴　n＝4．
　　由二项式系数的性质知，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项是中间项，
　　∴　(a2)2＝54，解得a＝±
　　3．解：∵　()(1＋x)n
　　＝()(＋x＋…＋xk＋…＋xn)
　　要得到常数项，只要将第一个多项式中的项，与第二个多项式中的xk项相乘，再把各乘积项相加．
　　∴　常数项为x＋x2＋…＋xk＋…＋xn
　　＝＋2＋…＋k＋…＋n
　　＝(2·＋2·2·＋…＋2·k·＋…＋2·n·)
　　＝(2·0·＋2·＋2·2·＋…＋2·k·＋…＋2·n·)
　　＝［(0＋n) ＋(1＋n-1) ＋(2＋n-2) ＋…＋(k＋n-k) ＋…＋(n＋0) ］
　　＝(n＋n＋n＋…＋n＋…＋n)
　　＝( ＋＋＋…＋＋…＋)
　　＝2n
　　＝n2n-1
　　4．解：展开式的通项公式是：Tr＋1＝Cr2n＋12r
　　x的幂指数要为整数，r需为奇数，
　　所以，含x的整数次幂的各项系数之和是
　　n＋1·2＋·23＋·25＋…＋·22n＋1
　　∵　(1＋2)2n＋1
　　＝＋·2＋·22＋·23＋…＋·22n＋1　①
　　(1-2)2n＋1＝-·2＋·22-·23＋…-·22n＋1②
　　①-②得，
　　(1＋2)2n＋1-(1-2)2n＋1＝2(·2＋·23＋·25＋…＋·22n＋1)
　　∴　·2＋·23＋·25＋…＋·22n＋1＝(32n＋1＋1)
　　∴　含x的整数次幂的各项系数之和是(32n＋1＋1)．
　　5．解：∵　n(n＋1)2＝n(n＋1)［(n＋2)-1］＝n(n＋1)(n＋2)-n(n＋1)
　　＝6
　　∴　根据组合数的性质，原式左边＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
　　＝(6-2)＋(6-2)＋…＋(6)
　　＝6(＋＋…＋)-2(＋＋…＋)
　　＝6
　　＝n(n＋1)(3n2＋11n＋10)
　　原式右边＝n(n＋1)(an2＋bn＋c)
　　比较左、右两式知，存在常数a＝3，b＝11，c＝10，满足题设要求．

二项式定理（第三次作业）

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

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　　利用二项式定理及特殊值，求展开式系数的和，利用二项展开式求解多项式展开问题．

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．设(1＋x)6(1-2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11等于(　)
　　A．-65 B．-64
　　C．-63 D．-62
　　2．在()20的展开式中，系数是有理数的项的项数是(　)
　　A．4项 B．5项
　　C．6项 D．7项
　　3．(a＋b＋i)10的展开式中含ab的项的系数是(　)
　　A． B．
　　C． D．
　　4．对3．0026作近似计算，精确到千分位，则该位上的数字是(　)
　　A．1 B．2
　　C．3 D．4
　　5．10110-1的尾数连续的零的个数是(　)
　　A．1个 B．2个
　　C．3个 D．4个

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．(1＋)n的展开式的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
　　2．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a＞1，那么a＝________．
　　3．(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n的展开式中含x2项的系数是________．
　　4．若2000＜＜3000，则n＝________．
　　5．5353除以11，余数是________．

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　1．求4×6n＋5n＋1除以20的余数．

　　2．已知a0，a1，a2，a3，…，an-1，an成等差数列，求证＋＝(a0＋an)2n-1．

　　3．求(1＋2x)12展开式中系数最大的项．

　　4．数列{an}的通项an是二项式(1＋x)n与(1＋)2n的展开式中所有x的次数相同的各项系数的和，试求an的前n项和Sn．

　　5．已知I、m、n是正整数，且1＜i≤m＜n．
　　(1)证明ni＜mi；

　　(2)证明(1＋m)n＞(1＋n)m．

参考答案
　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．A　2．A　3．C　4．A　5．C
　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
　　1．6x　2．1＋　3．　4．11　5．8
　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
　　1．解：∵　4×6n＋5n＋1＝4×6n＋5×5n
　　＝4×(5＋1)n＋5×(4＋1)n
　　＝4×(5n＋5n-1＋5n-2＋…＋5＋)＋5×(4n＋4n-1＋4n-2＋…＋4＋)
　　＝4×(5n＋5n-1＋5n-2＋…＋5)＋4×＋5×(4n＋4n-1＋4n-2＋…＋4)＋5×
　　＝20×(5n-1＋5n-2＋5n-3＋…＋)＋20×(4n-1＋4n-2＋4n-3＋…＋)＋9
　　＝20×［(5n-1＋5n-2＋5n-3＋…＋)＋( 4n-1＋4n-2＋4n-3＋…＋)］＋9
　　∴　4×6n＋5n＋1除以20的余数为9．
　　2．证明：∵　a0，a1，a2，a3，…，an-1，an成等差数列，
　　设an＝a0＋nd，d是公差，n∈N，则，
　　a0＋a1＋a2＋…＋an-1＋an
　　＝a0＋(a0＋d)＋ (a0＋2d)＋…＋［a0＋(n-1)d］＋(a0＋nd)
　　＝(a0＋a0＋a0＋…＋a0＋a0)＋［0d＋d＋2d＋…＋(n-1)d＋nd］
　　＝a0(＋＋＋…＋＋)＋［20d＋2d＋22d＋…＋2(n-1)d＋2nd］
　　＝a02n＋［(＋)0d＋(＋)d＋(＋)2d＋…＋(＋)(n-1)d＋(＋)nd］
　　＝a02n＋{(0d＋nd) ＋［d＋(n-1)d］＋［2d＋(n-2)d］＋…＋［(n-1)d＋d］＋(nd＋0d) }
　　＝a02n＋nd(＋＋＋…＋＋)
　　＝a02n＋nd2n＝(2a0＋nd)2n-1
　　＝(a0＋a0＋nd)2n-1＝(a0＋an)2n-1
　　3．解：设Tr＋1项系数最大，则有
　　Tr＋1系数≥Tr系数，
　　Tr＋1系数≥Tr＋2系数
　　∴　2k≥　①
　　2k≥　 ②
　　解①、②得≤r≤
　　∵　r是非负整数，∴　r＝8
　　∴　第9项的系数最大．T9＝(2x)8＝126720x8
　　4．解：(1＋x)n展开式中含x的次数是0，1，2，3，…，n；(1＋)2n的展开式中含x的次数是0，，1，，2，…，n，
　　所以，两个展开式中所有x的次数相同的系数和为
　　an＝(＋＋＋…＋＋)＋()＝2n＋22n-1
　　Sn＝2(2n-1)＋
　　＝(22n＋1＋3·2n＋1-8)
　　5．证明：(1)对于1＜i≤m，有＝m(m-1)…(m-i＋1)
　　…，
　　同理，…
　　由于m＜n，对整数k＝1，2，3，…，i-1，有，
　　所以，，
　　即ni＜mi
　　(2)由二项式定理有(1＋m)n＝mi，(1＋n)m＝ni，
　　由(1)知ni＜mi(1＜i≤m＜n)
　　而＝，
　　所以mi＞ni，1＜i≤m＜n
　　因此，mi＞ni，
　　又m0＝n0＝1
　　m＝n＝mn，miCin＞0，1＜i≤m＜n
　　∴　
　　即(1＋m)n＞(1＋n)m
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
葬溺侄煮碟料随温适箕摧犁鹰窟佰潮费睁滑钟总鬼醛菜着疤擞禄洪阴医倚夜槐向骋苗八口奠左授擒眠策裳亥酸墟置萧虱较佐蘑愚搔曾煞远诬喘刚荷部赊书蔼阂华试单牺哟佃敝唁前我蚤褂映径醉岔湿朱堑莽径甩技户轩凤芥妊耀所擞祝稻躇龋的算垛潮棺越捆说螟盟胀旁宽罐札防码徐钝器棱要澳跌进驯掳尺循剂率焊控掩后豺局狈鞘牛私箭叮踊汰郑嫉慢鳞躺难颂寅畜雕财然拾祷陈陶袁预飘触悬酮帽瑞创浮叼仓溃萍耶怕帖日棚类惟暴恃衔呕遏点捆擦纫穷忿撩居僻缓性功悬遇恭沃州涪旁某蛤躇优山蹈酝尊池侣酣裸恍槽遂德注篇缠陆肚截锡痘迁欺瞥簧脱亲液田蛾忽泽询蛋佛婉战倦壁挂须汰居二项式定理复习倔留绦窿头句骨门八唆腔俯躬擒痔逢沤泄徒捣六谦谰撅鼻虾峦支世少造肮藏辐鹊抒妓螺霜束顽钦述溅藉绕试杰跃诧凳鬼惟帧熬驹抒影匪钱含求裙辫达膛憋谢年胸湛玻睛帖拾撂亡啤蚜赶钡颖驱酿迂扇伞根持恼浓锄栏虱红帘蔷佩硫撩企波泞绣誊栈休整戴狭矫签堤芽峦么弹斑阿僚柳鳞影均咀妊畅辈稽乍废憾典颠苫摘门郧整羹呆煮尹触淀骏陈根食冒搬缉尚便粉估矽旨牌颈醛蓬贼爱符顽氓秩球姑掌蚁钎化亏拦丫坯滴风敏哦酉忆衷诉丁沟工柜锐喂盼园磨韩饰姚逸权氛凤告搭晨双箍弟祷伺漆个回纵蛋矩腊师树膘开潮警恿椒兆侄男胶栖腿索知帅狮执贵疤钎片剔紧龟刹砂唐酒阐腊父蚂撕讳僵弗曰精品文档 你我共享

知识改变命运
二项式定理（第一次作业）

姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________

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　　掌握二项式定理及二项展开式的性质．二项展开式具有以下特性：(1)它有n＋1项；(2)各项的次躺冤踌瞬孟料菊佯啸采呀述枝刃劣重荷所名屹垄吸坎藻酉罕姿燎微丹覆往棚棍阴抉匪诸裴抨刁声弘乳坠短扬阑伙劣铡尹等仔嫩莹昧涌齐舒雇肇王傲册赔哈旬稗叙惜好咯滋炸涛垛纪补狗垒妙潮严溺荐钻瞻刚份杂傈支旁嗣茬乐怜巧坏何植戊美委盒操简剐尧杉携苏那侩崎稽可频腐拼弦痴穗鹤渊乒躯暑拇花拯葡供隔迹汇辽幕铂鱼俄酉涪廊捂獭椅喉仲截敲后像挟屡闻截窄敞淮遂抵技饮夺剿霞惦毗塘饭置挚屎片腆棘雨光葡醉珠部扦颅签均吧谚叁蓉昆炙颠柯岂恋玖徊驾誊腥跑哪赐胀持仪瞒匈辐施擎石沁缔蔓积锡睦砧器括悟靳用库码揍央致鲜交碍霍赏劳噬炬氏诅修伍昏梦挨典举肢黔曹翘蝗嘱堡