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数列难题突破之裂项与放缩

裂项与放缩是高考数列题常用技巧
主要有以下3类应用
1．裂项法求和
2．裂项、放缩证明求和不等式
3．放缩证明连乘不等式

裂项法求和
一个最简单的裂项求和的例子

【例1】
已知等差数列 满足：设求的前 项和.

【例2】
设数列为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的，有

裂项法求和小结回顾：

裂项、放缩法证明求和不等式
【例3】
证明：

【例4】
已知数列与满足
且，设求证：

和式不等式小结回顾：
放缩去“凑”裂项形式
★

连乘不等式的证明
【例5】
求证：

【例6】
等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且均为常数）的图像上.
(II)当时，记
求证：

总结：
1．裂项求和： ★
2．求和不等式：放缩à可裂项
3．连乘不等式：
·配上“错一位”的连乘式à可消去
·选择“错位”方向

课后作业
【习题1】求和

【习题2】求证:.

【习题3】求证：.
分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”的连乘式.

答 案
【习题1】
解：

【习题2】
分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩.
证：

【习题3】
解：设，，，则，由知，只需证就有成立。只需要证明对任意，连乘式中的第项大于和的第项，只需要证:此不等式的每项减去1，即，显然成立，故原不等式成立。

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