圆中常见的辅助线.doc

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圆中常见辅助线的做法
一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD
证明:过O作OE⊥AB于E
∵O为圆心，OE⊥AB
∴AE = BE CE = DE
∴AC = BD

练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：
证明：（一）连结OC、OD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴OM = AO、ON = BO
∵OA = OB ∴OM = ON

∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD
∴Rt△COM≌Rt△DON
∴∠COA = ∠DOB
∴
（二）连结AC、OC、OD、BD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴AC = OC BD = OD
∵OC = OD ∴AC = BD ∴
3. 有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM、ON
∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点
∴OM⊥AB ON⊥CD

∵AB = CD ∴OM = ON
∴∠OMN = ∠ONM
∵∠AMN = 90o－∠OMN
∠CNM = 90o－∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC = BD
证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N

∴
∵O1P = O2P ∴O1M = O2N ∴AC = BD
二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径
⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE
证明：连结OC
∵C为弧AB的中点
∴
∴∠AOC =∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO
∴OD = OE = AO = BO
又∵OC = OC
∴△ODC≌△OEC
∴CD = CE
三. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC

证明：连结AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADP = 90o
∵AC = PC
∴AC = CD =AP
例（2005年自贡市）如图2，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且。求证：PA是⊙O的切线。
证明：作⊙O的直径AD，连BD，则
即
∴
∵
∴ 即
∴PA为⊙O的切线。

 四．遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：
五.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)

2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC
（提示如图）
六.有弦中点时，常构造三角形中位线.
例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =AD
证明：作直径CF，连结DF、BF

∵CF为⊙O的直径
∴CD⊥FD
又∵CD⊥AB
∴AB∥DF
∴
∴AD = BF
∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO
∴CE = BE ∴OE =BF
∴OE =AD
七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.

例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC = AD·AE
证明：连结BE
∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1
∴∠3 =∠2
∵四边形ACBE为圆内接四边形
∴∠ACD =∠E
∴△ABE∽△ADC
∴
∴AB·AC = AD·AE
八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF
证明：连结AB

∵四边形为圆内接四边形
∴∠ABF =∠C
同理可证：∠ABE =∠D
∵∠ABF ＋∠ABE = 180o
∴∠C＋∠D = 180o
∴CE∥DF
九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
求证：PA、PB为⊙O的切线
证明：连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理：PB也为⊙O的切线
例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线

证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径，AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD, AB = CD
∴OF = OE
∴CD为小圆的切线
练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,
求证：PE是⊙O的切线

十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.
解：连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC ∴OE∥BC
∴
在Rt△ABC中，AB =
∴

∴OE = OB =
∴BD = 2OB =
∴AD = AB－DB = 15－=
答：AD的长为.

练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD
十一．  遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：
①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
十二．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①    内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②    内心到三角形三条边的距离相等。
在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。
十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
作用：①利用切线的性质；②    利用解直角三角形的有关知识。
十五．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用： ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；
②利用圆内接四边形的性质；
③利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。
1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE＝DF。

图1
分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。
证明：连结AB
因为
又
所以 即CE//DF
又CD//EF
所以四边形CEFD为平行四边形 即CE＝DF
2.作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。
例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。

图2
分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。
连结O1、O2，交AB于C，则。分别在和中，利用锐角三角函数可求得
故
当AB位于O1、O2同侧时，如图3

图3
则 综上可知或
例2：已知，⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1的弦AC切⊙O2于A，过B作直线交两圆于D、E。求证：DC∥AE。

分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB, 由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E即得证。
练习：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点。经过点A的直线CD与⊙ O1交于点C，与⊙ O2交于点D；经过点B的直线EF于⊙ O1交于点E，与⊙ O2交于点F。求证：CE∥DF.

C

D
E
M
N
G
A
B
O2
O1
F
图 8
例、如图8，在梯形ABCD中，以两腰
AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，
过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。
求证： MN⊥AB。
分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，
必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。
证明 连结O1O2交EF于G => MN⊥O1O2。
DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2//AB
=>∠EFA=∠EGO1=Rt∠ => MN⊥AB
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
十六． 遇到两圆相切时
两个相切圆不离公切线
常常作连心线、公切线。
作用：①利用连心线性质；
②弦切角性质；
③切线性质等。
例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分。

图4
分析：要证PC平分，即证
而的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
易知
由弦切角定理，得
又是的一个外角
所以
又
从而有
即PC平分
例3:已知, ⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙ O2于C。
求证：AB⊥AC(人教版课本P87例4）

分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则∠1=∠2, ∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=90即AB⊥AC。
分析2： 口诀“两圆三圆连心线”，连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1O2上,易知O1B∥O2C,显然∠1+∠2=90,故AB⊥AC
1.相切两圆常添公切线作辅助线.
例2 如图2,已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .(1)求证:PC平分∠BPD;(2)将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论(武汉市中考题）.
A
D
Q
O2
O1
C
B
图2
A
D
P

O1
C
B
图3
M
P
证明:(1)过P点作两圆公切线PQ ∵∠QPC=∠PCQ,
∠QPB=∠A, ∠CPD=∠A+∠QCP，
∴∠CPD=∠CPB, 即PC平分∠BPD
(2)上述结论仍然成立.
如图3,过点P作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.
∴∠BPC=∠MPC－∠MPB=∠BCP－∠A=∠CPA, ∴PC平分∠BPD.
说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.
2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线
常常作每两个圆的连心线。
作用：可利用连心线性质。
3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线
例3 如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题).
解:连O1O2、O2O3、O3O1，过O1作AO1⊥O2O3交⊙O1于A，交O2O3于B
图4
A
O1
O2
O3
B
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3是等圆, ∴△O1O2O3是等边三角形.

说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.
 十七．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。
作用：以便利用圆的性质。
过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。
例5. 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为，，求两圆的半径。

图6
分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，构造，下面很容易求出结果。
十八．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
P
A
Q
B
O2
O1
.
图 10
例10 如图10，⊙O1与⊙O2相交于
A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上，
点Q在⊙O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。
分析 连结O2A、O2B，在⊙O1中利用
圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中，
∠AQB=1/2∠AO2B=70°。
切点三角形是直角三角形的应用.
例4 如图5,⊙O1与⊙O2外切于点C, ⊙O1与⊙O2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A、B,且A=4,BC=5.
P
A
Q
B
O1
O2
C
1
2
图5
(1)求线段AB长；(2)证明：PC2=PA•PB.(2002年杭州市中考题)
解：(1)过C作两圆公切线CQ,交AB于Q
∵QA=QC=QB=AB ∴∠ACB=90°
∵AC=4 BC=5 ∴AB=
(2)∵∠ACB=90° ∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,
从而∠PCA=∠PBC. ∵∠P=∠P, ∴△PCA∽△PBC ∴PC2=PA•PB
说明:A、B、C为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果.
辅助线，莫乱添，规律方法记心间；
弦和弦心距，亲密紧相连；
切点与圆心连线要领先；
两个相交圆不离公共弦；
两个相切圆不离公切线；
两圆三圆连心线，四点是否有共圆；
直角相对或共弦，应当想想辅助圆；
要证直线是切线，还看是否有共点；
直线和圆有共点，连出半径辅助线；
直线和圆无共点，得过圆心作垂线；
若遇直径想直角，灵活运用才方便。
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