概率论第二章习题详解.doc

第二章 随机变量及其分布
习题五 随机变量、离散型随机变量及其分布规律
一、判断题
X
1
2
3

0.1

0.4
0.5
1、 是随机变量的分布规律 ( 是 ）

解：由定义（）可知正确.
2、若对随机变量有，则它是随机变量的分布规律. ( 否 )
解：当时，，不符合定义.
1、 若对随机变量有则它是随机变量的分布律.
（ 否 ）
解：，不符合定义
二、填空题
1、设随机变量的分布律为,则 1 .
解：由
2、设随机变量的分布律为，则 3 .
解：
3、设离散型随机变量服从两点分布，且

解：由

4、设随机变量且已知则 5 ，

解：
①

②
联立①②可解得
5、某试验的成功概率为，失败概率为，若以表示试验者首次成功所进行的试验次数，则的分布律为
解：此题为几何概型
6、设随机变量服从二项分布随机变量服从二项分布。若则
解：由有：

， 于是

一、 在15件同类型的零件中有2件次品，从中取3次，每次任取1件，作不放回抽取。以
表示取出的次品的个数。
1、求的分布律；
2、画出分布律的图形。
解：1、由题意有 且
，， 2、

四、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为
0.1，问在同一时刻
1、恰有2个设备被使用的概率是多少？
2、至少有3个设备被同时使用的概率是多少？
3、至多有3个设备被同时使用的概率是多少？
解：由题意可知，此为5重贝努利试验，设表示有个设备被使用，则，于是
1、
2、

3、

五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问：
1、在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
2、在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？
解：设，由题意有
1、
2、
六、设服从泊松分布，其分布律为当为何值时，最大。
解：设时，最大，则
且，于是有
且

即
因此 若为整数，当或时最大；
若不为整数，当时最大。

习题六 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度
一、判断题
1、是某个随机变量的分布函数. （ 是 ）
解：由定义直接可得.
2、是某个随机变量的分布函数. （ 否 ）
解：不是单调不减函数.
3、是某个随机变量的概率密度函数. （ 否 ）
解：

4、若概率,则X不可能是连续型随机变量. （ 是 ）
解：若X为连续型随机变量，则应该为0.
5、对连续型随机变量，区间上有限个点上密度函数值的改变不影响区间上的概率值.
解：设连续型随机变量X的概率密度函数为，则
而由定积分的性质可知，改变被积函数在某点的值，不影响定积分的结果 （ 是 ）
6、对一个分布函数,概率密度函数是唯一的. （ 否 ）
解：由5可知，概率密度函数改变有限个点的值不影响分布函数
7、设为其分布函数，则 . （ 否 ）
解：由P67 结论（2.34）可知，应为时才有.

二、填空题
1、已知连续型随机变量的分布函数为，则常数 ,
0 .
解：由定义知连续，于是

2、已知随机变量的密度函数为偶函数，为的分布函数，则
1 .
解：由于概率密度函数为偶函数，即的图像关于y轴对称，如图
-x
x

于是
3、设随机变量 ，
解：由，于是

4、设随机变量,则 ，， 0 .

解：1、
2、
3、连续型随机变量在任何一点的概率均为0，即
5、设随机变量，且无实根的概率为则 4 .
解：由无实根的概率为有

而，令，于是

三、选择题
1、设分别为的密度函数和分布函数，则有（ D ）
A、 B、
C、 D、
解：
2、，则随的增大，将会（ C ）
A、单调递增 B、单调递减
C、保持不变 D、不能确定
解：

四、设随机变量的概率分布为
X
0 1 2

1、 求X的分布函数，并画出的图形；
2、 求并比较后两个概率值.

x

1

2
1
0
解：1、
2、

五、设连续型随机变量的分布函数为

试求：1、系数A；
2、；
3、的分布密度.
解：1、由连续，于是

2、

3、分布密度（概率密度）
六、设随机变量的密度函数为

试求：1、系数；
2、的分布函数；
3、落在区间的概率.
解：1、由定义知 于是

即
2、由定义知 于是
（1）当时

（2）当时

（3）当时

即：
3、

七、设随机变量，
1、若；
2、求；
3、设d满足，问至多为多少.
解：令则
1、 由

即

而 ，即
2、①

（查表可得）

②

（查表可得）
③
3、由
而单调不减，且查表有
于是 即
八、公共汽车车门高度，是按男子与车门碰头机会在0.01以下来设计的，设男子身高服从的正态分布，问车门高度应如何确定？
解：由题可知,令
设为车门高度，则应满足

即
查表有
于是
即车门高度应大于等于185cm.

习题七 随机变量的函数的分布
一、填空
1、设随机变量分布律为
X
-3 -2 0 1 2

则的分布律为
Y
-3 -2 -1 1 2

的分布律为
Z
0 1 4 9

2、设随机变量的服从的分布为.
解：由题意可得： 而
于是由P76 定理1有：

3、设随机变量服从的分布为.
解：P77 例题5
二、选择题
1、设的密度函数为，则下列随机变量
的是 ( B )
A、 B、

C、 D、
解：

2、设的密度函数为的概率密度是 ( B )
A、 B、 C、 D、
解：
3、已知 ( A )
A、 B、 C、 D、
解：

三、设的概率密度的分布函数和概率密度.
解：1、由
有
2、由
①、当时：

②、当时

③、当时

于是：
四、设 .
1、求的概率密度； 2、求的概率密度； 3、求的概率密度.
解：由题意有
1、由，且，运用P76定理1有：

于是：

2、由 而不恒大（小）于零
于是不能使用P76定理1，而要用分布函数法，先求
①、当时

②、当时

其中：
3、由在处不可导，于是不能使用P76定理1，而要用分布函数法，
先求
①、当时

②、当时

五、1、设随机变量服从区间上的均匀分布，求的密度函数，并
计算；
2、设随机变量服从 上的均匀分布，记,试求的分布律.
解：1、，有：

①、由，可使用P76定理1
于是：由
有：
②、

2、由
而 为离散型随机变量，于是：

所以的分布律.为
Y
1

六、1、从8件正品2件次品中任取3件，求其中次品数X的平方的概率分布；
2、设圆的直径服从（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
解：1、由 而
,

于是：

1 4

2、设直径为X（>0），则由题意有,于是
设面积为Y，则

（由可以使用P76定理1）

七、设随机变量服从参数的指数分布，证明：在区间（0，1）上服从均匀分布.
证明：由服从参数的指数分布
由
（由可以使用P76定理1）

第一章 复习题
一、填空题
1、已知离散型随机变量X的分布律为：

分布函数 则， ，，, .
解：显然
.
2、设随机变量的概率分布为

解：

3、已知随机变量的概率密度函数则的分布函数

解：因为，由，有：

当时，
当时，

4、设随机变量0.2
解：由，有

，
于是：

5、已知的概率密度为

解：，当时，（），
于是应用P76定理1有：
当时，

即
二、选择题
1、设 （ A ）
A、是随机变量的分布函数 B、不是随机变量的分布函数
C、是离散型随机变量的分布函数 D、是连续型随机变量的分布函数
解：随机变量的分布函数需满足：
①单调不减；②；③
2、设分别为随机变量的分布函数。为使
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取 （ A ）
A、 B、 C、 D、
解：由A选项正确
3、设随机变量,其分布函数记为,则对于任意实数， （ A ）
A、 B、
C、 D、
解：

于是：

4、设随机变量的分布函数为若和有相同的分布函
数，则 （ C ）
A、 B、 C、 D、
解：令,由题意有，则
两边求导得：
5、设连续型随机变量的概率密度为，则服从 （ B ）
A、参数为1的指数分布 B、区间（0，1）上的均匀分布
C、参数为2的指数分布 D、区间（0，2）上的均匀分布
解：，当时，,且,于是由P76定理1有

三、连续型随机变量的分布函数为
其中为正常数，求：
1、常数A和B； 2、； 3、求的概率密度.
解：1、由连续,即

联立两式可得
2、

3、

四、设随机变量的密度函数为
求：1、常数； 2、； 3、分布函数.
解：1、

2、

3、由，有
① 当时
；
② 当时

③ 当时

即
五、设随机变量的密度函数为
1、求；2、如果.
解：1、
2、，则
当时，
当时，
即： 由题意 得当时

六、已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有
3件合格品。从甲箱中任取3件放入乙箱，求：

1、乙箱中次品件数的分布律；2、从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
解：1、由题意可知 且

于是
X
1 2 3

2、设表示从乙箱中任取一件产品是次品，由全概率公式可得

七、某地抽样调查表明，考生的外语成绩(百分制)分布近似于正态分布，96份
以上的占学生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。
解：设为考生的外语成绩，则，又由题意知

查表得 于是

（查表）
八、设随机变量的概率分布为
.

解：
当时，
当时，
当时，
即
设的分布函数为，则
当时，
当时，

当时，
即
九、设连续型随机变量的分布函数为
1、求的密度函数； 2、的密度函数.
解：1、显然，且在上严格单调连续，
于是具有反函数，设的分布函数为，则
当时，

当时，

当时，
即，于是的密度函数
2、为的严格单调减函数，则有反函数，
显然在上可导，且，于是由P76定理1有
当时，
于是

第二章 自测题
一、填空题
1、设某批电子元件的正品率为，次品率为。现对这批元件进行测试，只要测得1个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为
解：此题为几何概型。
2、设随机变量的概率密度函数，则使成立的常数
解：
而，
若，则
若，则
若，则
3、设连续型随机变量的概率密度函数则常数=
解：

4、设随机变量0.4772
解：
5、随机变量X的概率密度为
解：由，且，应用P76定理1有

二、 选择题
1、随机变量在下面区间（ D ）取值，可使函数成为他的分布函数.
A、 B、 C、 D、
解：分布函数需满足：，且单调不减
在上满足这两点.
2、设连续型随机变量的密度函数满足是的分布函数，
则 ( D )
A、 B、 C、 D、
解：由

则

3、设随机变脸是X的概率密度，则下列4个命题中错误的是（ D ）
A、
B、

C、 D、
解：是关于对称，而不是y轴，所以不是偶函数.
4、设随机变量在区间[0,3]上服从均匀分布，则关于变量的方程
无实根的概率是（ C ）
A、 B、1 C、 D、
解：实为求判别式的概率

5、设（ C ）
A、 B、 C、 D、
解：由题意有
三、1、设连续型随机变量的分布函数为：
1）、求常数A,B；
2）、求的概率密度函数；
3）、求的取值落在区间（1，2）内的概率.
解：1）由为连续型随机变量可知，是连续函数，则

又
于是
2）

3）
或
2、设随机变量的密度函数为 ，求的分布函数.
解：
当时，
当时，
当时，
当时，
于是
四、设随机变量X的概率分布为
X
-2 -1 0 1 2 3

0.1 0.2 0.25 0.2 0.15 0.1
求：1、的概率分布； 2、的概率分布.
解：1、，，
，，

-6 -4 -2 0 2 4

0.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.1

2、，
，

0 1 4 9

0.25 0.4 0.25 0.1

五、某种型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度
现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），
1、任取1只，其寿命大于1500小时的概率是多少？
2、任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？
3、若一只元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大于2000小时的概率
是多少？
解：设元件寿命为x小时，则
1、

2、设B表示任取4只元件，寿命均大于1500小时，由独立性可知

3、

六、在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，假设电源电压服从,

求：1.电子元件损坏的概率；2.该电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率.
解：设电压为V，则，又设={电子元件损坏}，
1、由全概率公式

（查表有：）
2、由贝叶斯公式

七、设随机变量服从指数分布：
其中为大于零的常数.
试求：1、的密度函数； 2、的密度函数.
解：1、，且，由P76定理1有

2、，且，由P76定理1有

第二章 考研训练题
一、填空题
1、设随机变量的概率密度为 ，
若使得，则的取值范围是
解：
① 若，；
② 若，；
③ 若，；
④ 若，

综上所述 当时，
2、一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率，以表示3个零件中合格品的个数，则

解：由题意

3、设随机变量的概率密度以表示对的三次独立重复观
察中事件出现的次数，则
解：
由题意，则
4、设随机变量服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量在（0，4）内
的概率密度
解：由
由，且,应用P76定理1有

5、设随机变量X的分布函数为，
则的概率分布为

-1 1 3

0.4 0.4 0.2
解：由显然可得

二、选择题
1、设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数（ D ）
A、是连续函数 B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数 D、恰好有一个间断点
解：由服从指数分布，则，
而，于是
当，
当，
当，
即，显然在处连续，处间断
2、设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为，
，分布函数分别为则（ D ）
A、必为某一随机变量的概率密度
B、必为某一随机变量的概率密度
C、必为某一随机变量的分布函数
D、必为某一随机变量的分布函数
解：1、，
知A错；
2、设，，
则显然， 即，
知B错；
3、，知C错；

4、① ，
；
② 均单调不减单调不减；
③ 均右连续右连续； 知D对.
3、设随机变量的概率分布如下：

-1 0 1

（i=1,2）
且满足，则（ A ）
A、0 B、 C、 D、1
解：由，于是
均为0；
而

则
，于是

三、设随机变量的绝对值不大于1；在事件
出现的条件下，在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求：1、的分布函数；2、取负值的概率.
解：1、由，于是
① 当时，
② 当时，
于是

而此时，由题意有
又 （条件概率计算公式）
于是
即
③ 当时，

即
2、
四、假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作时间的概率分布.
解：设表示第个电气元件无故障工作时间，则由题意知其概率密度均为 ， 分布函数均为
而由题意，只有当三个元件都无故障时，电路才能正常工作，于是正常工作时间
，则其分布函数为

即 ， 于是
五、设随机变量的概率分布为 ，求的概率密度.
解：由，且,应用P76定理1有

六、设随机变量的概率密度为
现在对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数，

试求随机变量的概率分布.
解：由题意有
且
则
七、设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。
1、求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；
2、求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率.
解：1、设表示该设备在时长为的时间内发生故障的次数，则由题意有

而表示两次故障之间时间间隔，即，于是
当时，
当时，

（即表示两次故障的时间间隔超过了，即在内无故障发生，所以）
于是
2、由题意，所求概率为

八、设随机变量在区间[2，5]上服从均匀分布。现在对进行三次独立观测，试求至少
有两次观测值大于3的概率.
解：由题意于是

设表示对的三次独立观测中观测值大于3的次数，显然
于是，所求概率为

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