极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题.doc

极值点偏移1-4-第2招-含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：. 不妨设，记，则， 因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增， 所以，因此原不等式获证.例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，欲证明，即证.，即证，原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：， 故，转化成法二，下同，略.14 / 14 . 例3.已知是函数的两个零点，且.（1）求证：； （2）求证：. (2) 要证：，即证：，等价于，也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，在单调递减，从而，在单调递减，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 例4.已知函数，若存在，使，求证：.KS5UKS5UKS5U再证：.，而，.证毕.【招式演练】设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2）求证：.（2）证明：由，易知且，从而，令，则，由于，下面只要证明：，结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，又因为，即证：，令，则，在上单调递减， 原不等式成立.设函数，其图像在点处切线的斜率为.当时，令，设是方程的两个根，是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：【解析】，又依题意，得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，即不妨设，注意到，由函数单调性知，有， 构造函数，则，当时，即单调递减，当时，从而不等式式成立，故原不等式成立. 已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证：.【点评】1.方程的变形方向：是函数的两个零点，1是该函数的极值点.是函数的两个零点，是该函数的极值点.2.难点的证明依赖利用放缩.已知函数 .（）讨论的单调性；（）设，证明：当时， ；（）设是的两个零点，证明 .【答案】（）在上单调递减，在上单调递增；（）当时，；（）证明过程见解析（）令，则 .求导数，得 ，当时，在上是减函数.而， ，故当时， （）由（）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则， ，由（）得 ， 从而，于是，由（）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间（）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可（）要充分利用（）（）问的结论.已知函数（）.（）若，求函数的单调递增区间；（）若函数，对于曲线上的两个不同的点，记直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）（2）见解析 由题设得 .又 ， .不妨设， ，则，则 .令 ，则，所以在上单调递增，所以， 故.KS5UKS5U.KS5U又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.已知函数，（）求过点且与曲线相切的直线方程；（）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；（）在（）的条件下，求证：【答案】（1）（2）见解析KS5UKS5U.KS5U，解得切线的斜率为，切线方程为（） ， 当时，即时， ， 在上单调递增；当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点， （， ），证明： .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）欲证证， 在上递增， （2）， ， KS5UKS5U令，易知在递减， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，KS5UKS5U要合题意，如图，右大于左，原题得证