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附录I 矩阵代数基本知识
矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。

一、 向量矩阵的定义
将个实数排成如下形式的矩形数表，记为

则称为阶矩阵，一般记为，称为矩阵的元素。当时，称为阶方阵；若，只有一列，称其为维列向量，记为

若，只有一行，称其为维行向量，记为

当为阶方阵，称为的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵的非对角元素全为，称为对角阵，记为

进一步，若，称为阶单位阵，记为或。
如果将阶矩阵的行与列彼此交换，得到的新矩阵是的矩阵，记为

称其为矩阵的转置矩阵。
若是方阵，且，则称为对称阵； 若方阵，当对一切元素，则称

为下三角阵；若为下三角阵，则称为上三角阵。
二、 矩阵的运算
1．对与的和定义为：

2．若为一常数，它与矩阵阶矩阵的积定义为：

3．若，，则与的积定义为：

根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：
1．加法满足结合律和交换律

2．乘法满足结合律
，

3．乘法和加法满足分配律
，
，
4．对转置运算规律
，
，
另外，若满足，则称为正交阵。

三、 矩阵分块
对于任意一个阶矩阵，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：

写成

其中，， ，，且，。
分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：
。

四、 方阵行列式的性质
一个阶方阵中的元素组成的行列式，称为方阵的行列式记为或。它有以下我们熟知的性质：
1．若的某行（或列）为零，则；
2．；
3．将的某行（或列）乘以数所得的矩阵的行列式等于；
4．若是一个阶方阵，为一常数，则
5．若的两行（或列）相同，则；
6．若将的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于；
7．若将的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于；
8．若和均为阶方阵，则；
9．若为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则
10．
11．若和都是方阵，则

12．若和分别是和的矩阵，则

五、 逆矩阵
设为阶方阵，若，则称是非退化阵或称非奇异阵，若，则称是退化阵或称奇异阵。
若是阶非退化阵，则存在唯一的矩阵，使得，称为的逆矩阵，记为。 逆矩阵的基本性质如下：
1．
2．
3．若和均为阶非退化阵，则

4． 设为阶非退化阵，和为维列向量，则方程：

的解为

5．
6．若是正交阵，则

7．若是对角阵，且，，则。
8．若和非退化阵，则

9．设方阵的行列式分块为：

若，是方阵且是非退化，则

六、 矩阵的秩
设为阶矩阵，若存在它的一个阶子方阵的行列式不为零，而的一切阶子方阵的行列式均为零，则称的秩为，记作。它有如下基本性质：
1．，当且仅当；
2．若为阶矩阵，则；
3．；
4．；
5．；
6．若和为非退化阵，则。
七、 特征根和特征向量
设为阶方阵，则方程是的次多项式，由多项式理论知道必有个根（可以有重根），记为，…，，称为的特征根或称特征值。
若存在一个维向量，使得，则称为对应于的的特征向量。特征根有如下性质：
1．若为实数阵，则的特征根全为实数，故可按大小次序排列成，若，则相应的特征向量与必正交。
2．和有相同的特征根。
3．若与分别是与阶阵，则与有相同的非零特征根。
实际上，因为

所以

那么，两个关于的方程和有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同），从而和有相同的非零特征根。
4．若为三角阵（上三角或下三角），则的特征根为其对角元素。
5．若，…，是的特征根，可逆，则的特征根为，，…，。
6．若为阶的对称阵，则存在正交矩阵及对角矩阵 ，使得

实际上，将上式两边右乘，得

将按列向量分块，并记为，于是有

那么
，
这表明是的个特征根，而为相应的特征向量。这样矩阵可以作如下分解：

称之为的谱分解。

八、 矩阵的迹
若是阶方阵，它的对角元素之和称为的迹，记为。方阵的迹具有下述基本性质：
1．若是阶方阵，它的特征根为，…，，则；
2．；
3．
4．
5．

九、 二次型与正定阵
称表达式

为二次型，其中是实常数；，，…，是个实变量。
若为对称阵，，则

若方阵对一切，都有，则称与其相应的二次型是正定的，记为；若对一切，都有，则称与二次型是非负定的，记为。
记，表示；记，表示。
正定阵和非负定阵有如下性质：
1．一个对称阵是正（非负）定的当且仅当它的特征根为正（非负）；
2．若，则；
3．若，则，其中为正数；
4．若，因它是对称阵，则必存在一个正交阵，使

其中，…，为的特征根，的列向量为相应的特征向量，于是

5．若（），则存在（），使得。称为的平方根。
实际上，因为是对称阵，所以存在正交矩阵和对角矩阵
使得。有（）可知（），。令，，则有

由于的特征根（），，所以（）。

十、矩阵的微商
设为实向量，为的实函数。则关于的微商定义为：

若

则定义

由上述定义不难推出以下公式：
1．若，，则

2．若，则
3．若，对称阵，则

4．若，式中为阶阵，为阶阵，则

若为对称阵，则