1、判断系稳定性的方法一、 稳定性判据(时域)1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件:特征方程的各项系数全部为正;将系统特征方程各项系数排列成如下行列式;当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时,即则方程无正根,系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成,规律简单明确,使用也比较方便,但是对六阶以上的系统,很少应用。例;若已知系统的特征方程为 试判断系统是否稳定。解:系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程,列写系统的赫尔维茨行列式。由得各阶子行列式;各阶子行列式都大于零,故系统稳定。2、 劳思判据(1)劳思判据充要条件:A、系统特征方程的各项系数均大于零,即ai0;B、劳思计
2、算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定,否则系统不稳定,各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。(2)劳思计算表的求法:A、列写劳思阵列,并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行,即: B、计算劳思表系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘,再除以前一行第一个元素的方法,可以计算c,d,e等各行的系数。(3)劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数,故第一列出现零时,计算表不能继续排下去。为解决该问题,其办法是用一个小的正数代替0进行计算,再令0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行各项全为
3、零的情况此时,劳思表将在全为零的一行处中断,其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”,将该方程式对s求导数,用求得的各项系数代替原来为零的各项,然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项,对称根可由辅助方程求得。例1:已知系统特征方程为 判别系统是否稳定,若不稳定,求不稳定根的数目。解:根据特征方程可知,其各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得: 当 0时, 故第一列有两次变号,系统特征方程有两个正根,系统不稳定。例2:已知控制系统的特征方程为 试判定系统的稳定性。 解:根据系统的特征方程可知,其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得:因s3行各项全为零,故以s4行的各项作系数
4、,列写辅助方程如下:将A(s)对s求导,得: 再将上式的系数代替s3行的各项系数,继续写出以下劳思计算表: 从劳思表的第一列可以看出,各项均无符号变化,故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况,故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得 其共轭虚根为 ,这四个根同时也是原方程的根,他们位于虚轴上,因此该控制系统处于临界状态,系统不稳定。二、 根轨迹法(复域)系统稳定的充要条件:所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例:已知系统的开环传递函数为,试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解: (K*=2k)做根轨迹:(a) 有三条根轨迹(n=3 m=0 n-m=3)(b) 实轴上为根轨迹段(c)
5、渐近线的夹角与坐标: (d) 分离点坐标d:解得 d1= -0.423d2= -1.58 (舍去)因为d2不在根轨迹上(e) 与虚轴的交点坐标:令S=jw 代入到式中得:解得: 故 根轨迹图如下所示: 三、 频率特性1、 奈氏判据(奈奎斯特判据)Z=P-2N 系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数P,奈氏曲线绕 (-1,j0)的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知 N:顺时针为负,逆时针为正当V0时,需要做增补线 W:0从幅相曲线位置开始沿逆时针方向画 V90的圆弧增补线(理论半径为) 计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例:某单位负反馈系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环稳定性。解: W: 幅值趋于0,相角趋于-270。N=-1,P=0,Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、 对数频率判定系统稳定性在截止频率之前,在对数幅频曲线L(W)0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180在V0时,也需要做增补线,从对数相频特性曲线上处开始,用虚线向上补90角(补到0或180)例:已知系统的开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。解: N=(N+)-(N-)=0-0=P/2