自动控制原理总结之判断系统稳定性方法.doc

判断系稳定性的方法
一、 稳定性判据（时域）
1、 赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正；
将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；
当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即

则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
例；若已知系统的特征方程为 试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
由△得各阶子行列式；

各阶子行列式都大于零，故系统稳定。
2、 劳思判据
（1）劳思判据充要条件：
A、系统特征方程的各项系数均大于零，即ai>0；
B、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2）劳思计算表的求法：
A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：

B、计算劳思表

系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。
用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c，d，e等各行的系数。

（3）劳思判据的两种特殊情况
A、劳思计算表第一列出现零的情况
因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。
B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况
此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。
例1：已知系统特征方程为
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。
解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得：

当ε →0时， 故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。
例2：已知控制系统的特征方程为
试判定系统的稳定性。
解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得：
因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：
将A(s)对s求导，得：

再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：

从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。
共轭虚根可通过辅助方程求得
其共轭虚根为 ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。
二、 根轨迹法（复域）
系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。
例：已知系统的开环传递函数为，试应用根轨迹法分析系统的稳定性。
解： (K*=2k)
做根轨迹：
（a） 有三条根轨迹（n=3 m=0 n-m=3）
（b） 实轴上为根轨迹段
（c） 渐近线的夹角与坐标：

（d） 分离点坐标d：

解得 d1= -0.423
d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上
（e） 与虚轴的交点坐标：

令S=jw 代入到式中得：

解得：
故
根轨迹图如下所示：

三、 频率特性
1、 奈氏判据（奈奎斯特判据）
Z=P-2N 系统稳定时Z=0
由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕
（-1，j0）的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z
P通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正
当V≠0时，需要做增补线 W:0
从幅相曲线位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧增补线（理论半径为） 计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。
例：某单位负反馈系统的开环传递函数为
试用奈氏判据判别闭环稳定性。
解: W：
幅值趋于0，相角趋于-270°。
N=-1，P=0，Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。

2、 对数频率判定系统稳定性

在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°

在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）

例：已知系统的开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。
解：
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2