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股权价值评估中流动性折扣的期权模型方法
[摘要] 对于流动性受到限制的股权，如何通过适当的模型技术，较为客观地估计其公允价值，是我国当前评估实务中的一大难点。本文针对股权的流动性缺乏折扣，总结近年来在国际评估界被普遍认可的三种期权估值模型，并基于影响期权价值的因素，对不同模型的计算结果进行比较分析。在此基础上，本文提出在实务工作中运用期权模型时，要特别注意保持估值模型与评估目标的内涵一致性。
[关键词] 流动性折扣，期权模型，股权价值
引言
如何评估不具有活跃市场或流动性受限制的股权价值，一直是评估实务中的一大难点。其中，非常典型的情况是评估处于IPO限售期内的原始股价值，以及产业投资基金投入到拟上市公司中的股权价值。尽管在《企业价值评估指导意见》中，已经明确要求“评估师在对缺乏流动性的股权价值进行评估时，在适当及切实可行的情况下，应该考虑流动性对评估对象价值的影响，并在评估报告中进行披露”，但执行效果并不理想。以IPO公司处于限售期内的原始股权为例，许多评估师直接以评估日可流通普通股的市场收盘价作为限售股的公允价值。而事实上，我国《证券法》对于IPO企业原始股锁定期的要求，限制了这些股权在锁定期内的流动性，意味着直接以市场收盘价作为公允价值的方法并不合理。那么，在评估实践中，如何采用科学合理的方法，恰当估计流动性限制对于股权价值的影响呢？本文从如何弥补流动性折扣使股权持有人可能面临的潜在损失出发，将流动性折扣的评估难题转化为处理方法更为成熟的看跌期权估值问题，总结并分析了近年来在国际评估界被普遍认可的三种期权估值模型，最后基于影响期权价值的因素，对不同模型的计算结果进行了比较。
在此基础上，提出在评估实务工作中运用期权模型时，要根据评估业务的具体情况选择适当的估值模型，并保持估值模型与评估目标的内涵一致性。
一、 文献回顾
（一）国外流动性折扣研究综述
1970年以来，国外的许多权威机构和知名金融学者从缺乏流动性折扣两种定义的角度出发，先后对如何合理量化该折扣这一课题进行过多次实证分析。这些研究所采集的样本数据涉及纽约证交所、美国证交所、OTC柜台交易市场，演变为后来的纳斯达克市场）等各个板块，涵盖了各种规模的公司，跨越了近40年的时间周期。这些研究最终得出成熟市场上缺乏流动性折扣的平均值基本上处于20%~40%之间。以下是各机构及知名学者的研究结果的简介。
（一）SEC（美国证券交易委员会）的研究
SEC（美国证券交易委员会）的研究表明，在不同市场上交易的上市公司受限股票相对于自由流通的股票存在的折扣是不同的。其中，折扣最小的存在于NYSE（纽约证券交易所，这是迄今为止最具流动性的证券交易市场），在这里交易的大部分股票的折扣率通常低于30％，这些股票的共同特点是交易量都很大。折扣最大的股票存在于OTC（柜台交易市场），平均折扣率为32.6％，其中，超过56％的公司折扣率都大于30％，相比于其他交易市场，这个市场上的股票交易量是最小的。因此他们得出：交易量大的股票折扣率较低；反之，交易量小的股票则折扣率较高。
SEC对1966年1月1日至1969年6月30日期间美国所有交易市场交易的股票进行调查，估计出所有交易市场缺乏流动性折扣的平均值及中位数均为25.8％，并且折扣率在这个时期内呈上升趋势。
（二）Willamette管理咨询机构的研究
Willamette管理咨询机构研究了1981年至1984年受限股票相对于能在公开市场上自由流通的股票的缺乏流动性折扣。研究表明，在33笔受限股票的交易中，缺乏流动性折扣的中位数为31.2％。
Willamette管理咨询机构研究期间有关的股票市场普遍处于低迷状态。换句话说，Willamette管理咨询机构的研究结果可作为萧条经济环境中缺乏流动性折扣的一个衡量尺度。
（三）MPI公司的研究
MPI公司对1980年1月1日至1998年12月31日的受限股票的交易情况进行了较为全面的调查研究。MPI的研究对象是上市公司受限股票与该公司上市流通股票。他们指出，前者的价格一般低于后者，其原因在于受限股票离自由上市流通存在一段锁定期。为计算锁定期内的折扣率，MPI研究了231笔交易，取了其中53笔交易的调查结果作为研究结果：
缺乏流动性折扣的平均值大约为27％，缺乏流动性折扣的中位数为25％。
以上二值略低于整个阶段共231笔交易中的折扣平均值（29％）及中位数（28％）。53笔交易中，仅有一笔交易受限股票的价格与公开交易的股票相同，即折扣为0％。其余52笔交易中，折扣范围为2％～58％。
（四）国外知名学者的研究
以下是国外部分知名学者关于缺乏流动性折扣的研究结果。他们在研究时主要将封闭型公司的私募股票与其日后首次公开上市发行的股票价格进行对比得出两者之间的折扣率。
学者
研究数据所取的时间段
缺乏流动性折扣的平均值
Milton Gelman
1868～1970年
33％
Robert E. Moroney
1973
35.6％
Maher
1969～1973
34.73％
Silber
1981~1988
33.75％
Mayers(1972， 1973， 1976)， Brito (1977)，Stapleton and Subrahmanyam (1979)， Amihud and Mendelson(1986)，Boudoukh and Whitelaw (1993)，Huang(2001)等人也对流动性作了理论或经验上的研究，他们采用的模型虽然不尽相同，但有一个点共同点就是通过外生给定的交易成本或约束来研究流动性。
（二）国内学者对流动性的研究
针对中国证券市场的研究主要是关于法人股转让折价的实证分析。陈志武、熊鹏(2001)通过对2000年8月至2001年7月间，法人股拍卖及协议转让的研究，得出拍卖和协议转让的法人股股价分别只是其相应流通股股价的22%和14%。赵强、苏一纯(2002)对1998、2000、2001三年的上市公司法人股转让及拍卖案例进行分析，各年流动性折价平均值分别为80.7%、84.6%、76.6%。王磊(2003)对深市59家公司2003年披露的己完成或进行中的非流通股的转让情况进行了统计分析，发现缺乏二级市场流通功能的法人股和国有股平均转让价格仅是其相应流通股的16%，其中ST上市公司转让的非流通股价格仅为其流通股的7.9%。江峰(2003)以1999一2001年沪市上市公司209项国有股股权转让事件为研究样本，分析股权转让折价的影响因素。平均转让折价为86.36%，转让折价最低为39.08%，最高为96.48%。
经验研究表明，有流动性限定的证券要比具有流动性的证券在价格上存在较大的折扣率。Zhiwuchen(2001)对中国的国有股和法人股做了深入的研究，发现国有股、法人股在拍卖和协议转让中的价格相对于流通股的价格折扣率分别高达77.93%和85.59%。流动性的确会影响资产价格。罗登跃等(2007)研究结果表明中国股市存在显著的流动性风险溢价，王金安等(2008)认为流动性水平和流动性风险对我国股市的资产定价有重要影响，而Chaffe ( 1993 )， Long staff ( 1995，2001)则把流动性内生化，并引入期权定价的方式来对流动性定价。
二、采用期权模型估计股权流动性缺乏折扣的原理
（一）流动性缺乏引致的潜在损失分析
与流动性良好的资产相比，缺乏流动性限制了资产持有人对资产的卖出，这使得资产持有人面临资产价格下跌的风险。由此可能造成的损失包括两个部分：第一，是购买后资产价格持续下降，资产最终变现价格低于当初的购买价格所形成的损失，以下称“损失I”；第二，是购买后在流动性受限期间内资产价格上升，但资产持有人无法变现资产，而当流动性受限期结束后，资产的市场价格下降形成的损失，以下简称“损失II”。本质上，“损失I”是已实现损失，而“损失II”是在受限期内，资产市场价格上升但是持有人却无法当时变现的机会成本。正是存在以上两种损失的可能性，使得流动性受到限制的资产与流动性良好的同类资产相比，存在价值折扣。所以，对于流动性受限资产的持有人而言，其要解决两个问题：第一，如何弥补因资产市场价格下跌而发生的损失，这是回避缺乏流动性问题的关键；
第二，由于资产价格上涨并不会影响资产持有人的收益，所以在对冲价格下跌风险的同时，还不能丧失价格上涨带来的收益。看跌期权就是一种能够在资产价格下跌时提供损失保护，同时可以让持有人保有价格上涨收益的金融工具。
（二）看跌期权产品描述
看跌期权是一项合同，其赋予合同买方在未来某一特定日期或之前按特定价格卖出一定数量标的物的权利。期权合同中，约定的特定价格称为“执行价格”；标的物可以是任何一种资产（如证券、货币、大宗商品等）。期权合同达成后，合同买方只有选择执行合同的权利，没有必须履行合同的义务。在看跌期权合同约定的特定日期或之前，如果标的物市场价格下跌至低于期权合同约定的价格，合同买方可以按照合同约定价格卖出标的物而获利；如果标的物市场价格大于期权合同约定的价格，合同买方可以放弃执行合同的卖出约定。
例如，投资者购买一份10月31日到期、执行价格为20元/股的A 公司股票看跌期权，合同约定投资者有权在10 月31 日以20 元/ 股的价格向合同卖方出售 1 万股 A 公司股票。10 月 31 日，如果 A 公司股票市场价格为15 元/ 股，投资者会选择执行合同卖出约定，按20 元/ 股卖出1 万股A 公司股票，获得5 万元价差收益；如果A 公司股票价格为21 元/ 股，投资者会放弃执行合同卖出约定，此时投资者从期权合同中获利为零。由此，看跌期权为合同买方提供了标的物市场价格下跌时的损失保护，同时不会让合同买方丧失标的物价格上涨时的收益。不考虑投资者购入期权支付的对价，该看跌期权在 10 月 31 日的收益如图 1所示。
期权收益（万元）
20
15
10
5
股票价格（元/股）
0
5
10
15
20
25

图1 执行价格为20 元/ 股的A 公司股票看跌期权到期日收益图
按照合同主要条款（如名义金额、执行价格、到期日等）在期权合同开始日是否确定，期权可以分为两类：标准期权和奇异期权。以执行价格为例，假设期权合同开始日，期权合同所有其他条款均已确定，期权合同的执行价格可以通过不同方式确定：一种是像前面 A 公司股票看跌期权的例子中那样，在合同开始日即固定为某一数值，这种期权就是标准期权；第二种可以使用期权合同开始日至到期日期间的市场价格，即执行价格在合同开始日之后才能确定，这种期权即为奇异期权。奇异期权合同条款的具体确定方法有多种，就看跌期权的执行价格而言，比较常见的有两种：一种是取合同生效期间内的最高价，称为回望式看跌期
权；另一种是取合同生效期间内市场价格的平均价，称为亚式看跌期权。由于期权到期收益取决于执行价格与到期日市场价格之间的差额，所以标准看跌期权、回望式看跌期权、亚式看跌期权在到期日的收益差异很大。
（三）利用看跌期权对流动性缺乏折扣进行评估定价的原理
考虑某人持有流动性受限的股权，同时，其按照自由市场价格购买以该股权为合同标的、标的股权数量与持股数量相同、合同期限与股权流动性受限期限相同的看跌期权。在股权受限期结束时，如果股权市场价格下跌，则投资者可以通过购入的看跌期权获得损失补偿。该流动性受限股权连同购入的看跌期权形成的组合，等同于投资者持有不存在流动性限制的股权。这就意味着，股权持有人通过购入看跌期权实际上得到了该股票的流动性。因此，投资者购买看跌期权的价值，应该等于缺乏流动性所引致的股权价值折扣额。而看跌期权的价值，可以使用期权模型来估计。
三、评估股权流动性缺乏折扣的期权模型
迄今为止，可以用于评估股权的流动性缺乏折扣的期权模型主要有三个，分别是：（1）1993年Chaffee提出的BSP模型，其采用的是标准看跌期权；（2）1995年Long staff提出的LBP模型，其运用的是回望式看跌期权；（3）2002年Finnerty 提出的AAP 模型，其基础是亚式看跌期权。
（一）BSP 模型
1993年，David BH Chaffee提出了利用购买标准欧式看跌期权的相关成本估计流动性折扣价值的模型，简称BSP模型。依据的是Black-Scholes（1973）期权定价模型，并假设：Black-Scholes欧式看跌期权定价模型中，看跌期权的价值为：

其中：S 是资产的现行价格；
X 是执行价格；
T 是到期期限，在此，则为到清算变现的时限;
r 是无风险利率；
是股票收益率的标准差。

N（d1）和N（d2）是标准正态分布的累积分布函数
在使用BSP 模型对非上市公司股权流动性缺乏折扣进行估值时，假设S=X=1，则 BSP 模型的简化为：
其中：；

因此，如果一项缺乏流动性资产的出售价格为1，具有流动性的同样资产出售价格为1+P(T)。那么，运用BSP 估计的流动性缺乏折扣为P(T)/(1+P(T))。实际计算中，期权到期时间等于缺乏流动性的股权预期上市之前的时间；波动率通常基于可参照上市公司公开交易股票的历史回报波动率调整得到。
任何资产的最低价值是零，因此，BSP 的上限价值就是看跌期权的执行价格。随着基础资产波动性的增加和到期期限的延长，较低的资产价值出现的可能性增加，因此，看跌期权的价值随之增加。随着无风险利率的增加和支付时间的延迟，期权价值减少，上限的现值会下降。Chaffee认为，对于大多数小型私人公司，其股权价值回报波动率符合60％-70％-80％-90％曲线，两年期看跌期权的价格范围大约是股权市场价格的28%-41％之间；四年期看跌期权的价格范围介于32％至49％之间。而后，随着时间的增加，看跌期权的价格不会大幅度改变。
由于采用了执行价格等于资产现行价格的标准看跌期权，所以BSP模型的估值只针对前述“损失I”，不涉及“损失II”。
（二）LBP 模型
与Chaffee不同，Long staff通过引入回望式看跌期权（Look back put option）建立了估计股权流动性缺乏折扣的模型，简称LBP 模型。

折扣最大值=
其中：是公司股票收益率的年化标准差；
T 是股票流动性受限的时间长度；
N ( d ) 是标准正态分布累积分布密度，其中，
Long staff所使用的回望式看跌期权执行价格为期权期限内股权的最高市场价格，从而使得期权持有者能够获得前述“损失I”和“损失II”的全额补偿。因此，LBP 模型估计的是股权交易中流动性缺乏折扣的上限。Long staff分析了波动性介于10%到30% 之间的股权流动性折扣，其研究结果如表 1 所示。
表1 Long staff 研究的流动性缺乏折扣上限（%）
流动性限制期限
标准差=10%
标准差=20%
标准差=30%
1天
0.421
0.844
1.268
5天
0.944
1.894
2.852
10天
1.337
2.688
4.052
20天
1.894
3.817
7.768
30天
2.324
4.691
7.1
60天
3.299
6.683
10.153
90天
4.052
8.232
12.542
180天
5.768
11.793
18.082
1年
8.232
16.384
26.276
2年
11.793
26.643
38.605
5年
19.128
40.979
65.772

（三） A A P 模型
Finnerty使用平均价格亚式期权（Average-price Asian put option）估计流动性折扣，简称AAP模型。平均价格亚式期权的执行价格为期权期限内的资产市场价格的平均值。与LBP 模型中所使用的最高价格回望式看跌期权相比，其认为即使不存在流动性限制，投资者也很少能以最高价格变现资产，所以假设以平均价格卖出更为合理。所以，其提供的是针对“损失I”和“损失II”的部分补偿。
对于不支付股利的股权，亚式看跌期权的价值为：
其中：

设定 V=1
相应的流动性缺乏折扣为：D(T)/(1+D(T))
四、流动性折扣期权估值模型结果的比较与思考
（一）不同估值模型的计算结果比较
如前所述，基于对流动性受限资产“损失I”和“损失II”补偿程度的不同假设，产生了三种不同形式的流动性缺乏折扣期权估值模型。其中，假设全额补偿“损失I”和“损失II”的LBP模型，是流动性缺乏折扣的上限。以下我们通过对期权价值影响因素的分析，三个模型对于流动性缺乏折扣估值结果进行比较。
无论是标准期权还是奇异期权，其价值主要受六个因素的影响：合同名义金额、资产当前市场价格、期权执行价格、资产市场价格的波动率、无风险利率以及期权到期期限。当使用前述三个期权模型估计流动性缺乏折扣时，除执行价格以外的其他五个影响因素都是相同的。当估值结果采用折扣率的方式反映时，合同名义金额和资产当前价格均取1，实际数额对期权价值无影响。
据此，本文分别计算了不同波动率、无风险利率以及期权到期期限情况下，三个模型的流动性折扣估计结果。其中，针对低波动率（10%~20%）、低无风险利率（3%）和短期（1 年）的估计结果列于表2 中；针对中等波动率（50%~60%）、中等无风险利率（6%）和中等期限（5 年）的估计结果列于表 3 中。
表2 流动性折扣期权模型计算结果一
波动率
BSP模型
AAP模型
LBP模型
10%
2.56%
4.00%
7.61%
11%
2.92%
4.19%
8.33%
12%
3.27%
4.38%
9.05%
13%
3.63%
4.58%
9.76%
14%
3.98%
4.77%
10.47%
15%
4.33%
4.97%
11.17%
16%
4.68%
5.17%
11.86%
17%
5.03%
5.37%
12.54%
18%
5.38%
5.56%
13.22%
19%
5.72%
5.76%
13.90%
20%
6.07%
5.96%
14.56%

表3 流动性折扣期权模型计算结果二
波动率
BSP模型
AAP模型
LBP模型
50%
20.07%
42.98%
57.47%
51%
20.47%
43.22%
58.16%
52%
20.87%
43.44%
58.85%
53%
21.26%
43.66%
59.52%
54%
21.64%
43.87%
60.19%
55%
22.02%
44.07%
60.83%
56%
22.39%
44.27%
61.47%
57%
22.76%
44.46%
62.10%
58%
23.12%
44.64%
62.71%
59%
24.47%
44.82%
63.31%
60%
23.82%
44.99%
63.91%

表 2 和表 3 中的计算结果表明：(1) 无论采用何种模型，随着流动性受限时间的延长以及波动率的增加，流动性折扣都会增加；(2) 对于低波动性，BSP模型计算的折扣会超过AAP 模型计算的折扣，因为在亚式期权合约中，流动性受限时期内的高价格和低价格都会被包含在内。然而，随着波动性的增加，AAP计算得到的折扣会大于BSP计算得到的折扣。（3）LBP模型计算得到的折扣会比AAP和BSP 模型结果都大，这与其他学者有关LBP 模型估算的是流动性缺乏折扣上限的结论是一致的。
（二）实际运用不同估值模型时的考虑
尽管三种期权模型的具体形式和结果阐述有所差异，但其共同之处在于：（1）使用期权模型估计股权流动性折扣，理论逻辑合理；（2）模型计算所需要的输入变量依赖实证数据，可以复现，满足科学方法的要求；（3）通过理论和实证检验，能够得到当前国际评估界的普遍认可。因此，三种模型都可以用于流动性受限资产的价值折扣评估实务中。
另一方面，由于三种模型在推导过程中采用的期权基础和假设条件有所不同，所以在评估实践中使用这些模型时，首先要注意全面掌握不同模型所对应的看跌期权种类、针对的潜在损失类别以及假设条件；其次要将这些因素与评估目标、评估对象特征以及评估所依据的假设等评估基准因素相互对照，以保证选用的期权模型与评估基准之间内涵及逻辑的一致性。
以流动性受限资产的变现价值评估为例，BSP 模型和 AAP 模型的估计结果更接近于资产卖方对流动性缺乏折扣的预期（从资产持有人角度出发，只针对“损失I”的BSP 模型和取得市场平均收益额的 AAP 模型更为接近），而 LBP 则更有可能代表了资产潜在买方所要求的折扣（从资产的预期购买者角度，其不仅要求补偿“损失I”，同时要求补偿“损失II”）。另一方面，从交易谈判议价的角度，资产卖方总是愿意以尽可能高的价格卖出资产，所以更有可能基于 BSP 模型计算的折扣结果报价，因为其计算的折扣率可能是最低的；而资产的潜在买方则希望按照 LBP 模型计算最大的流动性折扣率与卖方讨价还价，以尽可能的压低买入价格。此时，评估的基准是基于买方观点还是卖方立场对于模型选择就有着至关重要的影响，评估师在作出模型选择的同时，也就在很大程度上决定了最终的评估结论。通常而言，对于非上市公司的股权，由于潜在投资者的数量少，买方议价能力往往会超过卖方，所以在股权买卖交易实践中，买方往往具有更大的谈判优势，此时，按实际股权买卖成交价格计算的流动性折扣可能更加接近于 LBP 模型计算的折扣上限。
综上所述，与传统估值方法相比，运用期权模型估计股权流动性缺乏折扣，具有理论依据明确、数据来源可验、计算方法确切的显著优势，值得在股权评估实务中推广使用。在具体应用时，由于造成股权流动性缺乏的具体情况千差万别，评估师应根据评估业务的具体情况选择适当的估值模型，并充分考虑估值当时所处市场的波动性和流动性水平以及股权流动性受限的具体情况，保持估值模型与评估目标的内涵一致性，才能真正达到客观估值的目标。
3.3案例 ——宝山钢铁股份有限公司缺乏流动性折扣计算实例演示
本文仅以宝山钢铁股份有限公司（以下简称“宝钢股份”）为例，具体演示缺乏流通性折扣的计算过程。
根据《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革说明书》，宝钢股权分置改革方案大致分为两个阶段，一为预案阶段（2005年6月17日到2005年6月29日），此阶段股票第一次停牌，公司在此阶段审议通过了宝钢股份股权分置改革方案；第二个阶段为方案正式实施阶段（2005年7月22日到2005年8月18日），此阶段公司股票第二次停牌。其具体对价方案为于股权登记日登记在册的流通股股东每持有10股流通股将获得宝钢集团有限公司（非流通股股东）支付的2.2股股份、1份认购权证，于对价被划人流通股股东账户之日，宝钢股份公司的非流通股份即获得上市流通权（不考虑锁定期）。
在计算过程中，我们采用了如下的数据来源：
（1）股改前流通股股价：股改预案公布当日的前5个交易日（即公司第一个停牌目的前5天）收盘价的算术平均值。
（2）股改后流通股股价：股改结束当天（股票复牌日）的收盘价。
（3）采用期权定价法时，锁定期以公司最大股东的禁售期限为准。
（4）期权定价模型中行权价格X与即期价格S：股改结束当天（股票复牌日）的收盘价。
(5)其他数据来源取自宝钢股份股权分置改革说明书（修订稿）及Bloomberg.
计算演示过程：
3.１计算锁定期内的折扣率。
运用期权定价模型，需要确定几个相关参数：
（1）存续期／锁定期（T—ｔ）。根据《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革说明书》，宝钢集团有限公司持有的宝钢股份的股份自获得上市流通权之日起，至少在12个月内不上市交易或者转让，在获得上市流通权之日起24个月内不上市交易；上述24个月届满后12个月内，宝钢集团有限公司通过证券交易所挂牌交易出售宝钢股份的股份的数量不超过宝钢股份的股份总数的5％，且出售价格不低于每股5.63元人民币。由以上假定，取36个月（3年）为存续期限。
（2）行权价格（X）和即期价格（S）。根据上述假定，取股票最后一次复牌日（即2005年8月18日）的收盘价（即4.58元）为行权价格和即期价格。
（3）无风险收益率（r）。取三年期国债利率为无风险收益率，即2.62％，数据来自Bloomberg。
（４）隐含波动率（d）。在股改的整个期间，公司股票的收盘价有时会出现反常波动现象，预案阶段和方案实施阶段会停牌，故在计算股价的隐含波动率时，应参照股改第一个停牌阶段之前三年的收盘价水平。根据《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革方案》，宝钢股改的第一个停牌日为2005年6月17日，故本文计算股价隐含波动率时，选择的期间为2002年5月31日到2005年5月31日，为简化计算过程，本文取Bloomberg中从2002年5月31日到2005年5月31日股票收盘价的月波动率，即24.09％。
根据看跌期权的Black—Scholes模型：

代入以上参数，得出期权价值P＝0.59
锁定期内的折扣为(p／P)× 100％=0．59 × 100％／4．58=12．9％
3.２确定对价方案中派送权证的价值。
根据《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革说明书》，其对价方案采用的是送股和权证两种方式，故应将其所派发的期权总价值视为非流通股价值的抵减项，即作为一项成本。
同样，本文引用Black—Scholes模型计算对价方案中派发期权总价值，根据《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革说明书》，其派发的认购权证存续期为自该认购权证划入流通股股东账户之日起378日（即1.04年），行权日为存续期届满之日，行权价格为每股4.5元人民币，行权比例为1:1。这样，各参数具体设定如下：
参数 数值
即期价格（元） 4.50
行权价格（元） 4.50
存续期（年） 1.04
无风险收益率 2.26%
隐含波动率 30.9%

由Black—Scholes模型，估计认购权证理论价值为0.33元/份。由于共计派送387700000份，流通股股东获得认购权证总价值为人民币126747678元，
即A＝126747678。
3.３计算股改前非流通股价格。
因宝钢股改方案的对价支付方式中采用送股并派发权证，故采用模型２计算股改前非流通股价值。
即：P非=[P×N2×(1一p／P)+P N4一P流 N3一A]／N1
其中：N1和N2分别为非流通股股东在股改前所持股份数和股改后所持股份数；N3和N4分别为流通股股东在股改前所持股份数和股改后所持股份数，股改前流通股市价为P流，股改后股价为P，可得出股改前非流通股股价，A为股改方案中派发权证的总价值。
下面具体介绍演算过程：
(1)N1、N2、N3、N4的确定。
由下图，非流通股股东股改前后所持股份分别为13635000000和12782060000；流通股股东股改前后所持股份分别为3877000000和4729940000，
即N1=13 635 000 000、N2=12782 060 000、N3=3 877 000 000、N4=4 729 940 000。
(2)股改结束后股票价格P的确定。
根据以上假定，取股改结束当天（股票复牌日）的收盘价为股改后的股价，即：P＝4.58。
宝山钢铁股份有限公司股改前后股份数变化
项目
变动前
变动数
变动后

非流通股

国家股

13635000000(N1)
—13635000000
0
合计

13635000000
—13635000000
0
有限售条件的流通股份
国家股

0
12782060000
12782060000（N2）
合计
0
12782060000
12782060000
无限售条件的流通股份
A股
3877000000(N3)
852940000
4729940000(N4)
合计
3877000000
852940000
4729940000
股份总额

17512000000
0
17512000000
（图中数据取自《宝山钢铁股份有限公司股权分置改革说明书》）
（3）股改前流通股价格P流的确定。
取股改预案公布当日的前5个交易日（即公司第一个停牌日的前5天）收盘价的算术平均值为股改前流通股股价，
即P流=(4.63+4.66+4.7l+4.8l+4.89)/5=4.74
3. ４ 缺乏流动性折扣的确定将N1=13 635 000 000，N2=12 782 060 000，N3=3 877 000 000，N4=4 729 940 000，P流=4．74，P=4．58以及第一步和第二步计算的(p／P)×100％=12．9％和A=126 747 678代入模型2，得到P非=3．97；
再将P非=3．97及P流=4．74，代人定义公式discount=l—P非／P流，
最后得到缺乏流动性折扣discount=1一P非／P流=1—3．97／4．74=16.24％。
五、参考文献
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