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第四章 连续信号的频域分析
将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
4.1 基本要求
1．基本要求
¨ 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义；
¨ 掌握信号频谱和频谱密度的概念；
¨ 了解连续谱和离散谱的特点和区别；
¨ 掌握傅里叶变换的常用性质；
¨ 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。
2．重点和难点
¨ 傅里叶变换的性质及其应用
4.2 知识要点
1．周期信号的傅里叶级数
（1）傅里叶级数展开式
三角形式：（4-1）
指数形式： （4-2）
其中
，n=0，1，2，¼ （4-3）
，n=1，2，¼ （4-4）
且
（4-5）
（4-6）
（2）两种形式之间的转换关系
（4-7）
并且|Fn|为偶函数，jn为奇函数，即
， （4-8）
（3）傅里叶级数的物理含义
通过傅里叶级数可以将任意周期信号f(t)分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n倍（n³0），即nW，而幅度为An或者2|Fn|，相位为jn，将其称作第n次谐波分量。特别地，将频率为0（即n=0）的分量称为直流分量，幅度为A0/2或者F0；频率等于基波频率W（即n=1）的分量称为基波分量。
2．周期信号的频谱
通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的An、jn或傅里叶系数Fn分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n（从而频率nW）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中An或|Fn|称为幅度谱，jn称为相位谱。
An或|Fn|、jn都是关于整型变量n的实函数，分别以其为纵轴，以n（或者nW）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。
但是，在三角形式的傅里叶级数中，An和jn的自变量n只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在Fn中，n可以为任意的整数，相应地将Fn称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。
所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。
3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度
非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为
（4-9）
（4-10）
其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。
通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F(jw)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率w 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。
4．傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质不仅可以用于简化复杂信号频谱密度的求解，也可以用于求解不满足绝对可积条件的信号（例如周期信号）的傅里叶变换。此外，大多数性质都具有明确的物理含义。教材表4-2列出了傅里叶变换的常用性质，通过练习熟悉各性质的应用。
5．周期信号的傅里叶变换
所有周期信号的能量都为无穷大，因此都不满足绝对可积条件，必须根据性质求其傅里叶变换。根据性质得到周期信号傅里叶变换的求解公式为
（4-11）
4.3 补充例题
例4-1 已知某周期信号f(t)的周期为T=0.1s，三角形式的傅里叶级数展开式为

写出指数形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知的f(t)整理为标准形式得到

由于T=0.1s，则周期信号f(t)的基波角频率为。将上式与式（4-1）比较可知

再由式（4-7）得到

由式（4-8）得到

再代入式（4-2）得到指数形式的傅里叶级数为

另解 利用欧拉公式直接转换。

例4-2 已知某周期信号f(t)的基波频率为10Hz，其指数形式的傅里叶级数展开式为

写出三角形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知f(t)整理为标准形式得到

已知f(t)的基波角频率为W=2p´10=20p，则上式中各项分别对应指数形式的傅里叶级数中n=0，-1，-3，1，3，由此得到

根据

由式（4-7）得到

代入三角形式的傅里叶级数展开式得到

另解 将上式重新整理为

再利用欧拉公式得到

说明：以上两例练习两种形式的傅里叶级数及其相互转换。可以根据本章所给各公式进行转换，也可根据欧拉公式直接转换。欧拉公式是本章反复用到的基本数学公式，这里再总结如下：

例4-3 对例4-1和例4-2所示周期信号，假设其周期都为T=0.1s。分析其中含有的分量以及每个分量的幅度和相位。
解 （1）已知的是三角形式的傅里叶级数展开式，但不是标准形式（有一项为正弦函数，必须化为余弦函数），重新整理得到

由此可知，f(t)中共有三个分量，即
直流分量，幅度为10；
基波分量：频率为10Hz，幅度为8，相位为-p/3；
二次谐波分量：频率为20Hz，幅度为2，相位为-p/2。
（2）已知的是指数形式的傅里叶级数展开式，重新整理为标准形式得到

再将其与式（4-2）比较可得

由此可知，f(t)中共有三个分量，即
直流分量，幅度为2；
基波分量：频率为10Hz，幅度为2|F1|=10，相位为j1=ÐF1=-p/2；
三次谐波分量：频率为30Hz，幅度为2|F3|=3，相位为j3=ÐF3=-p/4。
说明：通过本例熟悉傅里叶级数的物理含义，并据此引出信号频谱的概念。
由已知的傅里叶级数展开式可以直接分析出原周期信号中含有哪些分量以及各分量的频率、幅度和相位。
但是注意，必须首先将其转换为式（4-1）或（4-2）所示的标准形式，然后通过比较确定出An、Fn和jn，再进一步分析各分量的幅度和相位。
例4-4 已知周期信号

分别求出其单边和双边频谱，并画出频谱图。
解 由已知的表达式可知，周期信号f(t)的基波角频率为W=1 rad/s，周期T=2p/W=2p。
（1）求单边频谱。将已知的表达式化为标准的三角形式的傅里叶级数展开式得到

则单边频谱为

由此画出单边幅度谱和相位谱如图4-1所示。
An
8
4
2
2
0 1 2 3 n
jn
0 1 2 3 n
p/4
p/3
p/2
图4-1

（2）求双边频谱。根据上述单边频谱，由式（4-7）得到

再根据双边频谱的对称性得到

从而求得

由此画出双边幅度谱和相位谱如图4-2所示。
-3 -2 -1 0 1 2 3 n
-3 -2 -1
0 1 2 3 n
|Fn|
jn
图4-2
4
2
1
1
1
1
2
p/4
p/3
p/2
-p/2
-p/3
-p/4

说明：根据三角形式的傅里叶级数得到的An、jn 称为周期信号的单边频谱，根据指数形式的到的Fn称为周期信号的双边频谱，其波形称为信号的频谱图。
双边频谱和单边频谱都是以n为变量的函数。由于n只能取整数，代表周期信号中的第n次谐波，所以频谱图都由离散的点构成。
在单边频谱中，n只能取非负整数，而在双边频谱中，n的取值有正有负。注意到在双边频谱中，|Fn|为偶函数，jn为奇函数，所以一般取j0=0。
此外，根据式（4-7），可以在单边频谱和双边频谱之间相互转换。
例4-5 已知周期信号f(t)如图4-3所示，求其频谱。
f(t)
t/s
0
2
0.1
0.4
-0.4
图4-3
-0.1

解 由图可知，f(t)的周期为T=0.4s，则W=2p/T=5p。取t0=-0.2=T/2。
（1）根据三角形式的傅里叶级数展开式求单边频谱。则

则

（2）根据指数形式的傅里叶级数展开式求双边频谱。

说明：通过本例掌握求周期信号频谱的方法。要求频谱，也就是求其傅里叶级数展开式各项的系数。求单边频谱时，先根据式（4-3）、（4-4）求出an、bn，再由式（4-5）求An和jn。求双边频谱时，只需直接根据式（4-6）求出Fn。
此外，注意在求解过程中，不需将T和W代入计算。在根据定义式得到积分结果后，一般会出现TW项，此时只需将TW=2p代入，即可将这两个参数一起消去。
例4-6 证明如下结论：
（1） 周期偶对称信号中只含有直流分量和余弦分量；
（2） 周期奇对称信号中只含有正弦分量。
证明 （1）令t0=-T/2，则根据式（4-3）和（4-4）得到

（1）因为f(t)为偶对称信号，则f(-t)=f(t)，则

因此

其中只有直流分量和余弦分量。
（2）因为f(t)为奇对称信号，则f(-t)=-f(t)，则

因此

其中只有正弦分量。
说明：根据傅里叶级数的计算式可以证明，波形上具有不同特点的周期信号，其中包含的分量也有所不同。除了本例中证明了的两种特性外，更多的波形特点及其含有的分量组合如表4-1所示。其中的结论请读者模仿此例进行推导和证明。
表4-1 周期信号的对称性与其所含的分量
波形特点
含有的分量
偶对称f(t)=f(-t)
直流分量、余弦分量
奇对称f(t)=-f(-t)
正弦分量
偶半波对称f(t)=f(t+T/2)
偶次余弦和正弦分量
奇半波对称f(t)=-f(t+T/2)
奇次余弦和正弦分量
偶对称+奇半波对称f(t)=f(-t)且f(t)=-f(t+T/2)
奇次余弦分量
偶对称+偶半波对称f(t)=f(-t)且f(t)=f(t+T/2)
直流分量、偶次余弦分量
奇对称+奇半波对称f(t)=-f(-t)且f(t)=-f(t+T/2)
奇次正弦分量
例4-7 已知双边指数信号，求其傅里叶变换。
解 因为

因此满足绝对可积条件，则由定义求得

说明：根据定义求信号的傅里叶变换时，必须首先计算判断信号是否绝对可积条件。如果不满足，不能用定义求，只能用性质或其他方法求。
所有的能量信号都一定满足绝对可积条件，而典型的时限信号、幅度随时间逐渐衰减的信号等都是能量信号，所以都可以利用定义直接求解其傅里叶变换。
例4-8 已知，求其频谱密度，并画出频谱图。
解 f(t)的波形如图4-4所示，称为半波余弦脉冲。显然该信号是时限信号，因此一定满足绝对可积条件。则由定义求得其傅里叶变换（即频谱密度）为
f(t)
t
-0.5 0 0.5
图4-4

由于F(jw)为实函数，可以直接画出其波形即频谱图如图4-5所示。
F(jw)
w
Sa0.5(w-p)
Sa0.5(w+p)
图4-5

说明：求信号的频谱密度就是求其傅里叶变换，因为频谱密度也就是其傅里叶变换。
此外，大多数信号的傅里叶变换都具有Sa函数的形式。在用定义求傅里叶变换时，要注意充分利用欧拉公式和Sa函数的定义将结果化为最简。
例4-9 已知f(t)«F(jw)，求下列信号的频谱。
（1） （2） （3） （4）
解 （1） （频域卷积性质）
（线性性质）
（2） （尺度变换性质）
（时移性质）
（3） （时移性质）

（频域微分性质）
（4） （时域积分性质）
（时移性质）
说明：本题主要练习傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质大多以信号在时域中的变换命名的。例如，时移性质指的是信号在时域中进行的时移，时域卷积性质指的是两个信号在时域中进行卷积运算后的傅里叶变换，等等。因此，必须首先对已知的时域表达式进行分析，明确其中包含的时域运算和变换，才能正确选择合适的性质求解其傅里叶变换。
例4-10 假设f(t)的频谱图如图4-6所示，分析并画出下列信号的频谱图。
（1） （2）
F(jw)
w
图4-6
0
1
wm
-wm

解 （1）设，则。由线性性质得到

再由频移性质得到

频谱图如图4-7所示。
X(jw)
w
图4-7
0
1
wm
-wm
F1(jw)
w
0
0.5
w0-wm w0 w0+wm
-w0
0.5

（2）因为

则由频移性质得到

频谱图如图4-8所示。
X(jw)
w
图4-8
0
1
wm
-wm
F2(jw)
w
0
1
w0-wm w0 w0+wm
1

说明：本例主要练习傅里叶变换的频移性质。傅里叶变换的频移性质又称为调制定理，它是现代通信系统中各种调制解调技术的理论基础，对通信专业是及其重要的。
例4-10 假设f(t)如图4-9（a）所示，用三种方法求其傅里叶变换。
f(t)
t
图4-9
0
1
1
-1
-1
f ¢(t)
t
0
1
1
-1
-1
-1
（a） （b）

解1 用定义求。

解2 用时域积分性质求。
将f(t)求导得到f ¢(t)如图4-9（b）所示，由图得到

则根据线性性质和时移性质得到

因为，则由时域积分性质

解3 用频域微分性质求。
已知的f(t)可以表示为

其中，则由频域微分性质得到

说明：本例继续练习傅里叶变换的性质。对满足绝对可积条件的信号，其傅里叶变换可以根据定义求，也可以根据性质求。充分利用性质，可以简化傅里叶变换的求解。
例4-11 已知

用三种方法求其傅里叶变换。
解 （1）已知的f(t)为时限信号，满足绝对可积条件，则由定义求得其傅里叶变换为

（2）已知的f(t)可以表示为

其中

由频移性质得到

最后由线性性质得到

（2）已知的f(t)可以表示为

而其中

由线性性质得到

最后由频域卷积性质得到

说明：本例中的f(t)及其频谱如图4-10所示。f(t)称为升余弦脉冲，这是数字通信系统中广泛采用的一种脉冲波形，例如用该脉冲的有无表示数字代码“1”和“0”。
升余弦脉冲信号的频谱由三个Sa函数叠加而成。在旁瓣内，三个Sa函数的极性相反，相互抵消，使得总的频谱中旁瓣衰减得更快。
例4-12 已知，求f(t)。
解 设f(t)的傅里叶变换为F(jw)，则根据时域微分性质和卷积性质得到

而

由此得到

解得
f(t)
t
-1
0
1
1
F(jw)
w/p
0
1
1
2
3
图4-10

取傅里叶反变换得到

说明：该题目已知的相当于是微分方程，利用傅里叶变换可以简化微分方程的求解过程，甚至可以求解用普通数学方法不能求解的微分方程。
例4-13 求下列积分。
（1） （2）
解 （1）由于e-2|t|的傅里叶变换为，则的傅里叶反变换为e-2|t|，即

上式两边同时令t=0，得到

所以

（2）由于Sa(10pt)的傅里叶变换为，即

上式两边同时令w=0得到

说明：傅里叶变换和傅里叶反变换的定义都为积分形式。利用定义及常见信号的傅里叶变换可以实现一些特殊函数的积分运算。
例4-14 已知信号f(t)的频谱F(jw)如图4-11所示，求f(t)。
F(w)
A
-w0 0 w0 w
j (w)
p/2
-w0 0 w0 w
-p/2
图4-11

解 由图4-11可得

则由傅里叶反变换的定义得到

例4-15 求下列函数的傅里叶反变换f(t)。
（1） （2） （3）
解 （1）因为

由及时移性质得到其反变换为

（2）因为

则

（3）因为

则由对称性得到

再由线性性质得到

说明：以上两例练习傅里叶反变换的求解方法。可以根据反变换的定义求解（如例4-14），也可以利用性质求解（如例4-15）。具体总结如下：
（1）如果已知的幅度谱宽度有限，则可利用傅里叶反变换的定义直接求解；
（2）如果已知的频谱表达式全部为冲激函数，也利用定义求解；
（3）如果已知的频谱表达式中含有分式，一般利用部分分式展开法求解；
（4）如果频谱表达式中含有冲激，同时含有的形式，部分分式展开时注意将两项合在一起，反变换后得到一项阶跃信号。
（5）在求解过程中也要注意充分利用性质简化计算。
例4-16 已知某周期信号f(t)的周期为T=0.1s，其频谱图如图4-12所示。
（1）求其傅里叶变换F(jw)，并画出频谱密度图；
（2）求f(t)的时域表达式。
解 （1）由图4-12可得

并且W=2p/T=20，则其傅里叶变换为

频谱密度图如图4-13所示。
|Fn|
-2 -1 0 1 2 n
jn
0 1 2 n
-2 -1
p/2
-p/2
图4-12
2
4
|Fn|
-40p -20p
j(w)
w
p/2
-p/2
图4-13
2p
8p
0 20p 40p w

（2）将Fn代入指数形式的傅里叶级数展开式得到

或者对F(jw)取傅里叶反变换得到

说明：周期信号既有频谱， 也有频谱密度。一般都统称为频谱。但是根据频谱和频谱密度求周期信号的时域表达式时是有区别的。已知频谱（即Fn）时，是由指数形式的傅里叶级数展开式求时域表达式；而已知频谱密度F(jw)时，是根据傅里叶反变换的定义求。
例4-17 已知f(t)=g2(t)，，T=4，分别求出f(t)和y(t)的频谱，并画出频谱图。
解 f(t)为单脉冲信号，其频谱为

而周期冲激序列的基波角频率W=2p/T=p/2，则其傅里叶变换为

再根据傅里叶变换的时域卷积性质得到y(t)的频谱为

f(t)和y(t)的频谱如图4-14所示。
F(jw)
Y(jw)
w
w
0
p
2p
-p
-2p
0
p
2p
-p
-2p
p/2
3p/2
2
2
图4-14

说明：此例中，f(t)为时限信号，在时域中将其与周期冲激序列相卷积，得到的y(t)为周期信号。（参看例2-14）。由此例中的计算结果进一步体会，非周期信号的频谱都为连续谱，即都是以w为自变量的连续函数，频谱图上表现为连续的曲线；周期信号的频谱都是以n（或者nW）为自变量的离散函数，频谱图上表现为在频率轴方向的一系列冲激，相邻冲激的间隔等于基波角频率W。
4.4 补充练习
4.1填空
1）通过傅里叶级数可以将任意周期信号分解为若干个 信号或 信号的叠加。
2）傅里叶级数中，第n次谐波分量的频率为周期信号 频率的n倍，而幅度为 或者 ，相位为 。
3）在傅里叶级数中，频率为0的分量称为 分量，其幅度为 或者 ；频率等于基波频率的分量称为 分量。
4）傅里叶系数代表了各分量的幅度和相位随谐波次数和频率的变化关系，称为周期信号的 。
5）根据三角形式和指数形式的傅里叶级数得到的频谱分别称为 频谱和 频谱。
6）所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为 谱，而所有非周期信号的频谱都是频率的连续函数，所以都是 谱。
7）通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的 信号的叠加，而傅里叶变换F(jw)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率w 的变化关系，称为信号的 。
8）信号f(t)=d(t)+e-2tu(t)的频谱F(jw)= 。
9）信号f(t)=10cos20pt的频谱密度F(jw)= 。
10）傅里叶变换的绝对可积条件为 。
11）已知f (t)« F(jw)，则4f (1-2t)和4f (2t+1)的频谱密度分别为 、 。
12）已知f (t)的频谱密度为F(jw)，且F(j0)=0，则f (-1)(t)* f ¢(t)的频谱密度为 。
13）周期冲激序列d2(t)的频谱密度为 。
14）已知f (t)的频谱密度为F(jw)，则f (t)cos20pt的频谱密度为 。
15）已知f (t)的频谱密度为F(jw)=1+4cos2w，则f (t)= 。
4.2 已知周期信号f (t)的单边频谱图如题图4.1所示，周期T=1s。
1）分析并画出双边频谱图；
2）分析并画出频谱密度图；
3）求f(t)的时间函数表达式。
4）求该周期信号中直流分量和基波分量的幅度。
4.3 已知信号f(t)的频谱图如题图4.2所示，求其时间函数表达式。
4.4 已知f(t)的频谱密度为F(jw)，且F(j0)=0，利用性质求如下信号的傅里叶变换。
1） 2）(2-t) f (t-1) 3）f (t)d2(t)
4.5 利用性质求下列函数的傅里叶反变换f(t)。
1） 2）3）
An
5
4
1
0 1 2 3 n
jn
-p/2
题图4.1
0 1 2 3 n
w
F(w)
0
1
100
j(w)
题图4.2
20
100
w
0
-5w

20 / 20