蛛网模型.doc

高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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市场经济的分析
摘要
商品价格与产量的波动是市场经济的常态,认识我国商品价格与产量的波动规律,为宏观调控提供理论依据,是经济学研究的主要课题之一. 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形,建立蛛网模型,并借助差分方程将模型结果用公式表示,再对结果进行分析.最后可将该模型进行适当推广,以实现对市场经济的调控作用.同时提出了相应的政策建议.
关键字：市场经济 市场供求关系 蛛网模型 政策建议
一、问题重述
在市场经济中有关商品的价格是由消费者的需求关系来决定，而下一期商品的数量又是由生产者的供应关系来决定，这就导致了市场经济中商品的数量与价格在震荡，即当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡.
问题一：描述商品数量与价格的变化规律.
问题二：商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?
问题三：当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
二、模型的假设
1. 该市场经济并没有经过政府的宏观调控.
2. 该市场经济遵循上述所提出的供求规律，即价格与产量的变化规律.
3. 近似的认为斜率大的曲线弹性小，斜率小的曲线弹性大.
4. 假设价格与产量紧密，可以用确定的关系来表现.
三、符号的约定

为消费者的需求关系所对应的需求函数

是函数所对应的反函数

四、问题的分析
4.1 名词解释
1) 需求关系：商品数量与商品价格的关系，商品数量的增加会导致商品价格的降低.
2) 供应关系：商品价格与商品数量的关系，商品价格的提高会导致商品数量的增加.
3) 需求函数f的斜率a(取绝对值)表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度.
4) 供应函数h的斜率B表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应的增加量.
5) 平衡点：市场的商品数量与商品价格关于平衡点震荡，趋于平衡点.
4.2 问题的背景分析
随着社会主义市场经济的逐步完善，绝大多数产品的价格已经推向市场，对生产者来说，市场价格会影响下一个时间周期的产出决策，也就是说生产者要做出的产出决策只能受当时的市场价格影响，而产品则要到下一个时间周期才能售出，可见市场供应量对价格的反应是滞后的.但市场的需求量对价格变化的反应是瞬时的，所以必须讨论价格波动对下一个时间周期产量的影响，以及由此而产生的均衡的变动，即必须进行动态均衡分析.
商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃.当然政府会对后者采取干预手段.
4.3 问题分析
商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，面对这一震荡关系，必须对市场进行分析，让生产者能够更好的了解市场，也让政府能够掌握市场的趋向，使得政府能够实行宏观调控，让市场能够更好的发展.
面对上文所提到的问题，再根据对社会主义市场经济的深入了解，根据社会主义市场经济的发展特点，即滞后性，编者建立了蛛网模型，利用蛛网模型对上述问题进行分析，编者还建立了方程模型，对蛛网模型进行检验.
五、模型的建立
5.1.蛛网模型的建立
蛛网模型有3种表现形态：一是收敛型蛛网.当市场受到外力的干扰偏离原有的均衡状态后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度会越来越小，最终会回到原来的均衡点.二是发散性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量的价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，最终使价格和产量越来越远离原来的均衡点.三是封闭性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量和价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹旱现封闭形状，产量和价格与均衡点始终保持一定距离，永远达不到稳定的均衡水平.
下文只对蛛网模型的两种表现形态进行分析，一是收敛型蛛网，二是发散性蛛网，对于封闭性蛛网不予以考虑.
5.1.1 收敛型蛛网
在外力的干扰下，市场会偏离原来的均衡状态，在这种情况下，商品实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但会逐渐减小幅度，最终会回到原来的均衡点，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率要大一些，这时呈现的即为收敛型蛛网模型.如图1所示：

图1 收敛性蛛网
5.1.2 发散性蛛网
市场在外力的干扰下，会使得商品的价格偏离原有的均衡状态，其实际价格和实际产量的波动会偏离原来的均衡点越来越远，其轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率的绝对值要小一些，这时呈现的即为发散型蛛网模型，如图2 所示：

图2 发散性蛛网
5.2 差分方程模型的建立
由和（）可建立差分方程：

设点满足：，在点附近取函数的一阶近似：

合并两式得：

上式是关于的一阶线性差分方程.当然它是原来方程的近似模型．为了处理方便．适当取用其近似形式是合理的.其中为函数在点处的切线斜率：为g函数在点处切线的斜率.
六、模型的求解
6.1 蛛网模型的求解
对蛛网模型的求解主要是求解蛛网模型中的两模型，一、收敛型蛛网模型；二、发散型蛛网模型.
6.1.1 收敛型蛛网模型求解
由和可以得到.设偏离，则
;
当时，即，那么可以知道是稳定平衡点.并且由上述式子可以推出函数和函数的曲线斜率的绝对值为.图形如下：

图3 收敛型蛛网模型
由图中可以看出，也可以看出就是此图形的稳定平衡点.
6.1.2 发散型蛛网模型求解
由和可以得到.设偏离，则

当时，即，那么可以知道是不稳定平衡点.并且由上述式子可以推出函数和函数的曲线斜率的绝对值为.图形如下：

图4 发散型蛛网模型
由图中可以看出，也可以看出就是此图形的不稳定平衡点.
6.2差分方程模型的求解
由上文的模型分析可知，编者可以把在P0点附近用直线近似曲线，即：

合并两式得：

把上式经过次迭代得：

分析上式可以得到：当时，即，说明了点稳定.当时，即，说明了点不稳定.
七、结果分析和结果检验
7.1 结果分析
基于问题一的回答：
当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡
基于问题二的分析：
由模型求解可知：

为商品数量减1单位, 价格上涨幅度

为价格上涨1单位(下时段)，供应的增量
由上述式子可以看出是消费者对需求的敏感程度，就是说小，有利于经济的稳定. 是生产者对价格的敏感程度，就是说小，有利于经济的稳定.由和上述求解的模型知当，那么经济就是稳定的，否则经济是不稳定的.
基于问题三的分析;
面对经济不稳定的情况，政府一个如何去做，由模型的求解可知，影响经济的稳定性情况是这两因素，只要把这两因素的其中一个调小，或者两个一起调小，就可以让经济趋于稳定.
方法一：使 a 尽量小，如 a=0，需求曲线变为水平.即政府可以以行政手段控制商品价格不变.
方法二：使 b 尽量小，如 b =0，供应曲线变为竖直.即政府可以靠经济实力控制商品数量不变.
7.2 结果检验
已知，，那么由差分方程模型可知稳定时，.不稳定时，，从这个结果可以看出差分方程模型与蛛网模型是一致的，就是说蛛网模型所求出的结果是经得起检验的.
八、模型的评价
8.1 模型的优点
1. 全面的回答了本文的问题，并给出了模型的解.
2. 由蛛网模型和方程模型得出结果吻合，误差较小.
3. 此蛛网模型还可以加以推广，得到更加广泛的应用
8.2 模型的缺点
1. 蛛网模型是根据市场的上一期价格对下一期进行预测，而实际生产者除了
2. 据市场的上一期价格还可以根据自身经验逐步修正自己的预期价格，这就会使结果有一定的偏差.
3. 此模型的建立有片面性，有些因素未考虑，是函数的大致趋势
九、模型的推广
在生产者管理水平提高的情况下，即的情况下，生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.那么供应函数变为
，
而需求函数不变，即，合并两函数得：

为平衡点，编者将在的条件下，讨论平衡点的稳定.求解方程
，
得它的通解为，其中(c1, c2由初始条件确定)，为方程
的根.
由上述方程可以看出在的条件下，要想稳定，必须满足 ，由方程解出得

化简得：

把方程代人不等式得：
即要想稳定，需要满足，这比原来的，条件放宽了，也就是说在生产者管理水平提高的情况下，即生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量，会有助于经济的稳定.
十、参考文献
[1]李忠民,张世英. 非线性蛛网模型的动态分析[J].数量经济技术经济究,1997,(02).
[2]么海涛.蛛网模型的数学研究[期刊论文]-北京信息科技大学学报（自然科学版）.
2011(2).
[3]刘广智,李宝营,宋科. 用蛛网模型分析市场经济趋于稳定的条件[J].大连轻工业学院学报,1999,(04):357-360.
[4]王慧贤. 蛛网模型一市场供求稳定性分析[J].长春师范学院学报,2003,(02):5-6.