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公理化方法
公理化方法 公理化思想 任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而 导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。 公理化是一种数学方法。最早出现在二千数年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三相应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
简介
恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有助于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个重要特性。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，并且已经远远超过数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．
历史发展
产生
公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．
亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完毕了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的所有几何学知识推表演来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．
公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表达．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表达的三类对象和后三个概念所表达的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．
发展
公理化方法的发展大体经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统尚有许多不够完善的地方，其重要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些尚未拟定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．
第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺少象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否对的地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个也许的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系也许产生．
19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：一方面，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；另一方面，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还也许有第五公设不成立的新几何系统存在．于是，他在剔除第五公设而保存欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列．后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必然无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必然独立无关．现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何．
非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的结识发生了奔腾，从直观空间上升到抽象空间．在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善．
形式化
德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想．他认为，几何学假如要成为一门真正的演绎科学，最主线的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，而所考虑的只能是被命题或定义所拟定的几何概念之间的关系．就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的所有特性必须由公理表达出来．公理可以说是不定义概念的隐定义．有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义．公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定．帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特性．
随着数学的进一步研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学的概念已经成熟．1899年希尔伯特《几何学基础》一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，并且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题．这本著作成为形式公理学的奠基著作．
希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理当作是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述．因此，自从《几何学基础》问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，并且也把公理化方法自身推向了形式化的阶段．
作用意义
分析、总结数学知识
当一门科学积累了相称丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性结识的时候，公理化方法便是一种有效的手段．如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程．当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理．
数学研究的基本方法
不仅对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，并且对于进一步发展科学理论也有独特的作用．例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、抱负论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创建．因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法．
科学研究的对象
介乎于逻辑学和数学之间的边沿学科—— 数理逻辑，用数学方法研究思维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法．因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容．由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化．这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性．
示范作用
任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简朴积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系．公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完毕了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创建了相对论理论体系．狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理．爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创建的狭义相对论完整理论体系的精髓．
基本规定
公理是对诸基本概念互相关系的规定，这些规定必须是必要的并且是合理的．因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设立，必须具有如下三个基本规定：
相容性
这一规定是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否认理．反之，假如能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统自身存在着矛盾的结识，这是思维规律所不允许的．因此，公理系统的无矛盾性规定是一个基本规定，任何学科，理论体系都必须满足这个规定．
独立性
这一规定是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度．
完备性
这就是规定保证从公理系统中能推出所研究的数学分支的所有命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者导致一些命题的证明没有充足的理由．
从理论上讲，一个公理系统的上述三条规定是必要的，同时也是合理的．至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述规定，甚至能否在理论上证明满足上述规定的公理系统的确存在等，则是此外一回事了．应当指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐个验证这三条规定相称困难，甚至至今不能彻底实现．
方法运用
1．要积累大量的经验、数据和资料，对这些经验资料进行分析归纳，使之系统化，最后上升为理论．由于公理系统的建立是以大量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此无彼．
2．数学公理化的目的是要把一门数学整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理．因此，要建立一门数学的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和拟定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题．选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简朴的概念去拟定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简朴的思想规定．
3．在拟定了基本概念和公理之后，就要由此出发，通过演绎推理，将一门数学展开成一个严格的理论系统．也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理．因此，一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条．
在上述过程中，从结识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系．就是说，应当有它真实的直观背景而不是凭空臆造．另一方面，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个故意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系．
公理证明
公理系统
一个公理系统的相容性是至关重要的，由于一个理论体系不能矛盾百出．而独立性和完备性的规定则是次要的．由于在一个理论体系中，假如有多余的公理，对于理论的展开没什么妨碍；假如独立的公理不够用，数学史上经常补充一些公理，逐步使之完备．下面仅就公理系统的相容性证明作一介绍．
产生背景
关于相容性征明这一概念的产生和历史发展的背景是这样的：自从罗巴切夫斯基几何诞生后，由于罗氏平行公理(过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线平行)如此地为常识所不容，这才真正激起了人们对于数学系统的无矛盾性证明的爱好和重视．后来，庞卡莱(Poincare`，1854-1912)在欧氏半平面上构造了罗氏几何的模型，把罗氏系统的相容性证明通过一个模型化归为欧氏系统的相容性证明，但却由此导致了人们对欧氏系统相容性的重重疑虑．幸亏那时已有了解析几何，这就等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型．这就把欧氏几何的无矛盾性归结到了实数论的相容性．那么实数论的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把实数定义为有理数的分划，也即有理数的无穷集合，因而把这个无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性．又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然数的概念是借助集合的概念加以定义的，因此，归来归去还是把矛盾集中到集合论那里去了．那么集合论的相容性如何？事实上，集合论的相容性正处在严重的“危机”之中，以致这种相容性的证明至今尚未解决．
庞卡莱模型
庞卡莱为证明罗氏几何的相容性，在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型．即在欧氏平面上划一条直线a将其提成上、下两个半平面，把不涉及这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任一长为半径的半圆周作为罗氏几何的直线，然后对如此规定的罗氏几何元素一一验证罗氏平行公理是成立的．
如图4—3所示，过罗氏平面上任一罗氏直线l外的一点P，的确可以作出两条罗氏直线与l平行．由于欧氏直线a上的点不是罗氏几何系统的元素，所以两个半圆相交于直线a上某一点则应看作相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交．
这样以来，假如罗氏系统在此后的展开中出现了正、反两个互相矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素间的相应关系进行翻译，立即成为互相矛盾的两个欧氏几何定理．从而欧氏系统就矛盾了．因此，只要认可欧氏系统是无矛盾的，那么罗氏系统一定也是相容的．这就把罗氏系统的相容性证明通过上述庞卡莱模型化归为欧氏系统的相容性证明．这种把一个公理系统的相容性证明化归为另一个看上去比较可靠的公理系统的相容性证明，或者说依靠一个数学系统的无矛盾性来保证另一个数学系统的协调性叫做数学系统的相对相容性证明．
对数学发展的影响
由于相对相容性的出现，使人们对欧氏系统的相容性也忧心重重．而更糟的是，在罗氏系统的展开中人们又发现，罗氏几何空间的极限球面上也可构造欧氏模型，即欧氏几何的所有公理能在罗氏的极限球上实现，于是欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证！这说明欧氏与罗氏的公理系统虽然不同，但却是互为相容的．人们当然不满足于两者互相之间的相对相容性证明，由于看上去较为合理的欧氏系统的无矛盾性竟要由看上去很不合理的罗氏系统来保证，这是难以令人满意的．于是人们开始寻求直接的相容性证明，本世纪初数学基础论就诞生了．由于在这一工作中所持的基本观点不同，在数学基础论的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派和形式公理学派三大流派．这些流派虽然并未最后解决相容性证明问题，但在方法论上却各有奉献，他们的方法论、思想方法对于数学的研究与发展都具有重要的意义，有些还值得进一步分析、探讨、继承和发展．
归纳推理
所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
定义
例如:在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是所有的三角形；所以，平面内的一切三角形内角和都是180度。
这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了"一切三角形内角和都是180度"这样的一般性结论，就属于归纳推理。
传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的所有对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简朴枚举归纳推理和科学归纳推理。
现代归纳逻辑则重要研究概率推理和记录推理。
归纳推理的前提是其结论的必要条件。
另一方面，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而也许为假。如根据某天有一只兔子撞到树上死了，推出天天都会有兔子撞到树上死掉，这一结论很也许为假，除非一些很特殊的情况发生，比如地理环境中发生了什么异常使得兔子必以撞树为快。
我们可以用归纳强度来说明归纳推理中前提对结论的支持度。支持度小于50%的，则称该推理是归纳弱的；支持度小于100%但大于50%的，称该推理是归纳强的；归纳推理中只有完全归纳推理前提对结论的支持度达成100%，支持度达成100%的是必然性支持。
归纳推理的数理逻辑通用演算形式为：s1⊆p+s2⊆p+s3⊆p+〈n〉（s⊆p）=∀×（s⊆p）。
与演绎推理对比
归纳推理和演绎推理既有区别、又有联系。
区别
1,思维进程不同。归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程。
演绎推理不是从个别到一般的推理，但也不仅仅是从一般到个别的推理：演绎推理可以从一般到一般，比如从"一切非正义战争都是不得人心的"推出"一切非正义战争都不是得人心的"；可以从个别到个别，比如从"罗吉尔·培根不是那个建立新的归纳逻辑学说的培根"推出"那个建立新的归纳逻辑学说的培根不是罗吉尔·培根"；可以从个别和一般到个别，比如从"这个物体不导电"和"所有的金属都导电"推出"这个物体不是金属"；还可以从个别和一般到一般，比如从"你可以胜任这项工作"和"有志者事竟成或者你不可以胜任这项工作"推出"有志者事竟成"。在这里，应当特别注意的是，归纳推理中的完全归纳推理其思维进程既是从个别到一般，又是必然地得出。
2,对前提真实性的规定不同。演绎推理不规定前提必须真实，归纳推理则规定前提必须真实。
3,结论所断定的知识范围不同。演绎推理的结论没有超过前提所断定的知识范围。归纳推理除了完全归纳推理，结论都超过了前提所断定的知识范围。
4,前提与结论间的联系限度不同。演绎推理的前提与结论间的联系是必然的，也就是说，前提真实，推理形式对的，结论就必然是真的。归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也对的，但不能必然推出真实的结论。
联系
1,演绎推理假如要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识。
2,归纳推理离不开演绎推理。其一，为了提高归纳推理的可靠限度，需要运用已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性，这就要用到演绎推理。其二，归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论。例如，俄国化学家门捷列夫通过归纳发现元素周期律，指出,元素的性质随元素原子量的增长而呈周期性变化。后用演绎推理发现，本来测量的一些元素的原子量是错的。于是，他重新安排了它们在周期表中的位置，并预言了一些尚未发现的元素，指出周期表中应留出空白位置给未发现的新元素。
逻辑史上曾出现两个互相对立的派别——全归纳派和全演绎派。全归纳派把归纳说成唯一科学的思维方法，否认演绎在结识中的作用。全演绎派把演绎说成是唯一科学的思维方法，否认归纳的意义。这两种观点都是片面的。正如恩格斯所说："归纳和演绎,正如分析和综合同样,是必然互相联系着的。不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的互相联系，它们的互相补充。"
收集方法
归纳推理要以个别性知识为前提，为了获得个别性知识，就必须收集经验材料，收集经验材料的方法有观测，实验等。
观测
这里所说的"观测"是"科学的观测"的简称。一般来说，人们把外界的自然信息通过感官输入大脑，通过大脑的解决，形成对外界的感知，就是观测。然而，盲目的、被动的感受过程不是科学的观测。科学的观测是在一定的思想或理论指导下，在自然发生的条件下进行（不干预自然现象）但有目的的，积极的观测。科学的观测往往不是单纯地靠眼耳鼻舌身五官去感受自然界所给予的刺激，而要借助一定的科学仪器去考察，描述和确认某些自然现象的自然发生。
观测要遵循客观性原则，对客观存在的现象应如实观测。假如观测失真，便不能得到真实可靠的结论。但是，说观测要遵循客观性原则，并不是说在观测时应当不带有任何理论观点。理论总是不同限度地渗透在观测之中。提出观测要客观，是规定用对的的理论来观测事物，以免产生主观主义。理论对观测的渗透，说明了主体在观测中的能动作用。氧的发现过程生动地体现了理论对观测的作用。
1774年8月，英国科学家普利斯特里在用聚光透镜加热氧化汞时得到了氧气，他发现物质在这种气体里燃烧比在空气中更强烈，由于墨守陈旧的燃素说，他称这种气体为"脱去燃素的空气"。1774年，法国著名的化学家拉瓦锡正在研究磷、硫以及一些金属燃烧后质量会增长而空气减少的问题，大量的实验事实使他对燃素
拉瓦锡
理论发生了极大怀疑。正在这时，普利斯特里来到巴黎，把他的实验情况告诉了拉瓦锡，拉瓦锡立刻意识到他的英国同事的实验的重要性。他立即反复了普利斯特里的实验，果真得到了一种支持燃烧的气体，他拟定这种气体是一种新的元素。1775年4月拉瓦锡向法国巴黎科学院提出报告——金属在煅烧时与之相化合并增长其重量的物质的性质——公布了氧的发现。事实上,在普利斯特里发现氧气之前，瑞典化学家舍勒也曾独立地发现了氧气，但他把这种气体称为"火空气"。氧的发现过程正如恩格斯在《资本论》第二卷序言中所说的："普利斯特里和舍勒已经找出了氧气，但不知道他们找到的是什么。他们不免为现有燃素范畴所束缚。这种本来可以推翻所有燃素观点并使化学发生革命的元素，没有在他们手中结下果实.……（拉瓦锡）仍不失为氧气的真正发现者，由于其他两位但是找出了氧气，但一点儿也不知道他们自己找出了什么。"
当对象的性质使人们难以实际作用于对象（比如在天文学研究中）或者研究对象的特点规定避免外界干扰（如在许多心理学的研究中）时，最合用的收集经验材料的方法就是观测了。
观测方法有一定局限性：
(1)观测只能使我们看到现象，却看不到本质。现象是事物的外部联系和表面特性，是事物的外在表现。本质是事物的内部联系，是事物内部所包含的一系列必然性，规律性的综合。恩格斯说："单凭观测所得到的经验,是决不能充足证明必然性的。"
(2)观测有时无法区分真相与假象。比如，由于地球在运动，所以我们在地球上观测恒星的互相位置，仿佛发生了很大的变化，这在天文学上称为"视运动"，可是视运动并不是天体的真实运动。
实验
实验是人们应用一定的科学仪器，使对象在自己的控制之下，按照自己的设计发生变化，并通过观测和思考这种变化来结识对象的方法。
实验的特点是：
(1)具有简化和纯化的特点。通过对影响某一对象的各种因素进行简化和纯化，突出重要因素，舍弃次要因素,排除与对象没有本质联系的因素的干扰,达成在比较单纯的状态下来结识对象。比如为研究某一植物在某一条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况,在实验室中人为地控制大自然对植物生态的影响,只就酸碱度这一特定的因素进行考察.
(2)具有强化条件的特点.通过实验,可以使对象处在一些特殊条件，极端状态下(如超高温,超高压,超真空和超强磁场等),使研究对象的特殊性质凸显出来,从而达成结识对象的特殊性质的目的.1956年杨振宁和李政道提出弱互相作用下宇称不守恒假说.为了检查这个假说,吴健雄用了钴-60作为实验材料进行实验.可是,在常温下钴-60自身的热运动和自旋方向杂乱无章,无法进行实验.于是吴健雄把钴-60冷却到0.01K,使钴核的热运动停止,实验便达成了预期效果.
(3)具有可反复性.任何一个实验事实,应当能被反复实现,否则便不能成立,这是科学活动的一个规矩.例如,1974年10月初,丁肇中在美国通过实验证明了1/4粒子的存在,同年10月15日在西欧反复了这个实验,立即找到了1/4粒子,这就证明了丁肇中的实验是成功的.
整理方法
通过观测,实验等方法得到的经验材料,需要通过加工整理,才干形成科学的结论.整理经验材料的方法有比较,归类,分析与综合以及抽象与概括等.
比较
比较是拟定对象共同点和差异点的方法.通过比较,既可以结识对象之间的相似,也可以了解对象之间的差异,从而为进一步的科学分类提供基础.运用比较方法,重要的是在表面上差异极大的对象中识"同",或在表面上相同或相似的对象中辨"异".正如黑格尔所说:"假如一个人能看出当前即显而易见的差别,譬如,能区别一支笔和一头骆驼,我们不会说这人有了不起的聪明.同样,另一方面,一个人能比较两个近似的东西,如橡树和槐树,或寺院与教堂,而知其相似,我们也不能说他有很高的比较能力.我们所规定的,是要能看出异中之同和同中之异."①
在进行比较时必须注意以下两点:
(1)要在同一关系下进行比较.也就是说,对象之间是可比的.假如拿不能相比的东西来勉强相比,就会犯"比附"的错误.比如,木之长是空间的长度,夜之长是时间的长度,两者不能比长短.
(2)选择与制定精确的,稳定的比较标准.比如,在生物学中广泛使用生物标本,地质学中广泛使用矿石标本,用它们来证认不同品种的生物和矿石.这些标本就是比较的标准.现在研究陨石或登月采集的月岩物质,也是将它们同地球上的矿石标本比较.
(3)要在对象的实质方面进行比较.例如比较两位大学生谁更优秀,必须就他们的思想品德,学习成绩,实践能力等实质方面进行比较,而不是就性别,籍贯,家庭贫富等方面进行比较.
归类
归类是根据对象的共同点和差异点,把对象按类区分开来的方法.通过归类,可以使杂乱无章的现象条理化,使大量的事实材料系统化.归类是在比较的基础上进行的.通过比较,找出事物间的相同点和差异点,然后把具有相同点的事实材料归为同一类,把具有差异点的事实材料提成不同的类.如全世界40万种左右植物,可把它们归为四大类(门):藻菌植物门,苔藓植物门,蕨类植物门和种子植物门.由门再往下分可以得出纲,目,科,属,种各级单位.
归类与词项的划分是有区别的.
(1)思维进程的方向不同.词项的划分是从较大的类,划分出较小的类.而归类则相反,它是从个体开始,上升到类,再上升到一般性更大的类.
(2)作用不同.词项的划分是为了明确词项.归类则是把占有的材料系统化的方法.更为重要的是,由于对的的分类系统反映了事物的本质特性和内部规律性的联系,因而具有科学的预见性,可以指导人们寻找或结识新的具体事物.例如,以达尔文生物进化论为基础建立起来的生物自然分类系统,曾预言了许多当时尚未发现的过渡性生物.始祖鸟就是达尔文所预言并被人找到的一种.始祖鸟是介于爬虫类和鸟类之间的中间类型.它把这两类动物之间的空隙填补起来了,说明鸟类是由爬虫类演变而来的.
分析与综合
分析就是将事物"分解成简朴要素".综合就是"组合,结合,凑合在一起".也就是说,将事物分解成组成部分,要素,研究清楚了再凑合起来,事物以新的形象展示出来.这就是采用了分析与综合的方法.如,分析一篇英文文章的结构,先是得到句子,单词,最后得到26个字母;反过来,综合是由字母组成单词,句子,再由句子组成文章,这些是文法所要研究的题材.再如,白色的光通过三棱镜,分解成红橙黄绿青蓝紫七色光;反过来,七色光又合成白色光.这就是光谱的分析与综合,由此可以解释彩虹的成因.分析和综合是两种不同的方法,它们在结识方向上是相反的.但它们又是密切结合,相辅相成的.一方面,分析是综合的基础;另一方面,分析也依赖于综合,没有一定的综合为指导,就无从对事物作进一步分析.
抽象与概括
抽象是人们在研究活动中,应用思维能力,排除对象次要的,非本质的因素,抽出其重要的,本质的因素,从而达成结识对象本质的方法.
概括是在思维中把对象本质的,规律性的结识,推广到所有同类的其他事物上去的方法.如发现"能导电"这一"金属"的共同本质后,可把这种共同的本质推广到所有金属上去,概括出所有金属都具有"能导电"的本质属性.
完全归纳
概念
完全归纳推理是根据某类事物每一对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.
例子
例如:"已知欧洲有矿藏,亚洲有矿藏,非洲有矿藏,北美洲有矿藏,南美洲有矿藏,大洋洲有矿藏,南极洲有矿藏,而欧洲,亚洲,非洲,北美洲,南美洲,大洋洲,南极洲是地球上的所有大洲,所以,地球上所有大洲都有矿藏."其逻辑形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S类的所有对象
所以,所有S都是P
完全归纳推理的特点是:在前提中考察了一类事物的所有对象,结论没有超过前提所断定的知识范围,因此,其前提和结论之间的联系是必然的.
运用完全归纳推理要获得对的的结论,必须满足两条规定:(1)在前提中考察了一类事物的所有对象.(2)前提中对该类事物每一对象所作的断定都是真的.
作用
完全归纳推理有两个方面的作用:(1)结识作用.完全归纳推理根据某类事物每一对象都具有某种属性,推出该类事物都具有该种属性,使人们的结识从个别上升到了一般.比如,上面根据"地球上的大洲"这一类事物的每个对象都有"有矿藏"这一属性,得出"地球上所有大洲都有矿藏"的结论,就体现了完全归纳推理的结识作用.(2)论证作用.由于完全归纳推理的前提和结论之间的联系是必然的,所以常被用作强有力的论证方法.比如对于论题"两个特称前提的三段论推不出结论",可以这样论证:前提是II的三段论推不出结论,前提是OO的三段论推不出结论,前提是IO(OI)的三段论推不出结论,前提是II的三段论,前提是OO的三段论,前提是IO(OI)的三段论是两个特称前提的三段论的所有对象,所以,两个特称前提的三段论推不出结论.
完全归纳推理通常合用于数量不多的事物.当所要考察的事物数量极多,甚至是无限的时候,完全归纳推理就不合用了,而需要运用另一种归纳推理形式,即不完全归纳推理.
不完全法
概念
不完全归纳推理是根据某类事物部分对象都具有某种属性,从而推出该类事物都具有该种属性的结论.不完全归纳推理涉及简朴枚举归纳推理,科学归纳推理.
简朴枚举归纳推理
在一类事物中,根据已观测到的部分对象都具有某种属性,并且没有碰到任何反例,从而推出该类事物都具有该种属性的结论,这就是简朴枚举归纳推理.比如,被誉为"数学王冠上的明珠"的"哥德巴赫猜想"就是用了简朴枚举归纳推理提出来的.200数年前,德国数学家哥德巴赫发现,一些奇数都分别等于三个素数之和.例如:
17=3+3+11
41=11+13+17
77=7+17+53
461=5+7+449
哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来(事实上也不也许),只是从少数例子出发就提出了一个猜想:所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和.他把这个猜想告诉了数学家欧拉.欧拉肯定了他的猜想,并补充提出猜想:大于4的偶数都可以分解为两个素数之和.例如:
10=5+5
14=7+7
18=7+11
462=5+457
前一个命题可以从这个命题得到证明,这两个命题后来合称为"哥德巴赫猜想".
民间的许多谚语,如"瑞雪兆丰年","础润而雨,月晕而风","鸟低飞,披蓑衣"等,都是根据生活中多次反复的事例,用简朴枚举归纳推理概括出来的.
简朴枚举归纳推理的逻辑形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S类的部分对象,并且其中没有S不是P
所以,所有S是(或不是)P
简朴枚举归纳推理的结论是或然的,由于其结论超过了前提所断定的知识范围.数学家华罗庚在《数学归纳法》一书中,对简朴枚举归纳推理的或然性做了很好的说明:
"从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个,第四个,第五个都是红玻璃球时,我们立刻就会猜想:'是不是袋子里所有的球都是红玻璃球 '但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球时,这个猜想失败了.这时,我们会出现另一个猜想:'是不是袋里的东西全都是玻璃球 '当有一次摸出一个木球时,这个猜想又失败了.那时,我们又会出现第三个猜想:'是不是袋里的东西都是球 '这个猜想对不对,还必须继续加以检查,要把袋里的东西所有摸出来,才干见个分晓."①
要提高简朴枚举归纳推理的可靠性,必须注意以下两条规定:(1)枚举的数量要足够多,考察的范围要足够广.(2)考察有无反例.通常把不注意以上两条规定因而样本过少,结论明显为假的简朴枚举归纳推理称为"以偏赅全"或"轻率概括".鲁迅在《内山完造作序》里写到:"一个旅行者走进了下野的有钱的大官的书斋,看见有许多很贵的砚石,便说中国是'文雅的国度';一个观测者到上海来一下,买几种猥亵的书和图画,再去寻寻奇怪的观览物事,便说中国是'色情的国度'."在这篇文章中,鲁迅更进一步揭示了此类人由于枚举的数量不够多或考察的范围不够广,不注意考察有无反例,以致"以偏赅全"或"轻率概括"而最后必然要陷入的窘境:"倘到穷文人的家里或者寓里去,不仅无所谓书斋,连砚石也但是用着两角钱一块的家伙.一看见这样的事,先前的结论就通但是去了,所以观测者也就有些窘."
简朴枚举归纳推理是归纳推理中最简朴的一种方法.但是,尽管如此,其意义却不可忽视.(1)简朴枚举归纳推理有助发现的作用.当还不能找到概括的充足根据,但已有相称的材料时,就要运用简朴枚举归纳推理,作出初步概括,推出一个或然性结论,以作为进一步研究的起点.因而,形成假说时常用到简朴枚举归纳推理.例如,在波义耳定律的发现过程中,简朴枚举归纳推理就起了一定的作用.波义耳从自己所掌握的许多实验事实中,概括出"在一定条件下,气体体积和它所受到的压强成反比"这一定律.(2)简朴枚举归纳推理也可以用作论证的方法,在论证过程中发挥一定的作用.比如,胡适晚年有这样一段谈话:"凡是大成功的人,都是有绝顶聪明而肯做笨功夫的人.不仅中国如此,西方也如此.像孔子,他说'吾尝终日不食,终夜不寝,以思,无益,不如学也',这是孔子做学问的功夫.孟子就差了.汉代的郑康成的大成就,完全是做的笨功夫.宋朝的朱夫子,他是一个绝顶聪明的人,他十五六岁时就研究禅学,中年以后才改邪归正.他说的'宁详毋略,宁近毋远,宁下毋高,宁拙毋巧'十六个字,我时常写给人家的.他的《四书集注》,除了《大学》早成定本外,其余仍是随时修改的.现在的《四书集注》,不知是他生前已经印行的本子,还是他以后修改未定的本子.如陆象山,王阳明,也是第一等聪明的人.像顾亭林,少年时大气磅礴,中年时才做实学,做笨的功夫,你看他的成就!"在这里,胡适为了论证"凡是大成功的人,都是有绝顶聪明而肯做笨功夫的人"的观点,用的就是简朴枚举归纳推理.中国数学家和语言学家周海中对梅森素数研究数年，他运用联系观测法和不完全归纳法，于1992年一方面给出了梅森素数分布的精确表达式，从而揭示了梅森素数的重要规律，为人们探究这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。[1] 
科学归纳推理
科学归纳推理是根据某类事物中部分对象与某种属性间因果联系的分析,推出该类事物具有该种属性的推理.例如:
金受热后体积膨胀;
银受热后体积膨胀;
铜受热后体积膨胀;
铁受热后体积膨胀;
由于金属受热后,分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此距离加大,从而导致膨胀,而金,银,铜,铁都是金属;
所以,所有金属受热后体积都膨胀.
上例在前提中不仅考察了一类事物的部分对象有某种属性,并且进一步指出了对象与属性之间的因果联系,由此推出结论.这就是科学归纳推理.
科学归纳推理的