1.1.4函数的微分.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.1.4函数的微分（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解函数微分的定义。
2、 了解微分的几何意义。
3、 熟记微分运算法则，会求函数的微分。
4、 掌握微分在近似计算中的应用。
重点
熟记微分运算法则，会求函数的微分
难点
熟记微分运算法则，会求函数的微分
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
一、微分的定义
1、引例 5分钟
2、微分的定义 10分钟
例1 5分钟
3、微分的几何意义 5分钟
二、 微分的运算法则
1、 微分的基本公式 5分钟
2、函数和、差、积、商的微分法则 10分钟
例2 10分钟
3、复合函数的微分法则 10分钟
例3-例4 10分钟
三、微分在近似计算中的应用 10分钟
例3-例4 10分钟

作业

备注

6
1.1.4函数的微分
一、微分的定义
1、引例 设正方形金属薄片的边长为，面积为，则。由于受温度变化的影响边长有一改变量，面积则相应地有一改变量
包含以下两部分，
第一部分：是的线性部分，
且以为线性系数。
第二部分：是关于的高阶无穷小。
当 || 很小时，第一部分为的主部，换句话说，可以用来近似代替，它们之间所产生的误差为关于的高阶无穷小。在实际问题中，可以忽略不计，即，并且很便于计算，是很有用的，所以称为的主要部分。
函数的改变量也分成了两部分，第一部分是的线性部分，第二部分，由于随0时， 0，所以是关于的高阶无穷小；因此当 || 充分小时，可忽略不计，而成为的主要部分，称为线性主部，可用它近似代替的值，即。函数改变量的主要部分就称为在处的微分。
此结论具有一般性：
设函数在处可导，且，
即
根据函数的极限与无穷小的关系，得
（
于是
其中，与是同阶无穷小，
是的高阶无穷小。
我们把函数增量的线性部分叫做函数在点处的微分。

2、 微分的定义
设函数在处可导，则称为函数在处的微分，记为 或 ， 即
若令 ， 则 ，即
这就是说，自变量的微分就是它的改变量，因此，微分表达式中可用代替， 即
由此可见，，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分的商，因此导数又称微商。
函数在点处可导，又称为函数在该点处可微，可导函数也称为可微函数。反之，函数在点处可微，必有函数在该点处可导。求导数与求微分的运算统称为微分法。
【例1】 求函数 在处，时的增量与微分
解

3、 微分的几何意义
设函数的图形如图所示，MT为曲线在点M处的切线，由导数的几何意义知，当自变量有微小改变量时，就得到曲线上另一点N，由图可知
QP=MQ
即 QP
因此，微分就是曲线在点处切线纵坐标的改变量QP，它是曲线 在M点处纵坐标改变量QN的近似值；略去的PN是比高阶的无穷小。
三、 微分的运算法则
按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数公式和运算法则立刻就可得到微分公式及运算法则。
1、 微分的基本公式
（1） （为常数）
（2） （）
（3）
（4）
（5）

（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）arc
2、函数和、差、积、商的微分法则
设 ， 都是可微函数，则
（1） ；
（2） ，；
（3） 。
【例2】 求函数 的微分。
解
3、复合函数的微分法则
由函数 ，复合而成的函数 的
导数为
所以 复合函数 的微分为
因为 ， 所以

这个公式与在形式上完全一样，可见不论是中间变量或是自变量，的微分都可用表示，这个性质称为微分形式的不变性。
【例3】求 的微分。
解
【例4】求 的微分。
解
三、微分在近似计算中的应用
对于一元函数，当很小时有近似计算公式
（1）
这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值。
又因为

所以得

即 （2）
这个公式可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
【例5】设某国的国民经济消费模型为
其中，为总消费（单位：十亿元），为可支配收入（单位：十亿元）。
当时，问总消费是多少？
解 令，因为相对于很小，所以

下面推导一些常用的近似公式，为此在公式（2）中取
则有 （3）
由此不难推出很小时的近似公式：
； ；
； ；
【例6】计算的近似值。
解

小结：