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复变函数与积分变换习题集
第一章 复数与复变函数
一、 判断题

（8）平面点集是单联通区域。
（9）如果不是实数，则。
二、 选择题
1．当时，的值等于（　 ）
（A）　　　 　 （B）　　 　（C）　　　　 　（D）
2．一个复数乘以，则( )
（A）复数的模不变，辐角减少p/2。
（B）复数的模不变，辐角增加p/2。
（C）复数的模增加，辐角减少p/2。
（D）复数的模减少，辐角增加p/2。
3.设复数满足，，那么（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
4．复数的三角表示式是（　　）
（A）　　（B）
（C）（D）
5．设为实数，且有，则动点的轨迹是（　　）
（A）圆　　　　（B）椭圆　　　　　（C）双曲线　　　　　　（D）抛物线
６．．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（　　）
（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
7．设为复数，则方程组的解是（　 　）
（A）　　 （B）　 （C） （D）
8．方程所代表的曲线是（　　）
（A）中心为，半径为的圆周　 （B）中心为，半径为２的圆周
（C）中心为，半径为的圆周　（D）中心为，半径为２的圆周
9．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（　　）
（A）　　　　　　　　　　（B）
（C）　　 （D）
10．设且，为复数，则函数的最大值为（　　）
（A） （B）1 （C）2 （D）

三、填空题
1．设，则
2．设，则
3．复数的指数表示式为
4．设，则
5．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为
６．不等式所表示的区域是 连通区域
７．方程所表示曲线的直角坐标方程为　　　　 　　　　　　　
８．不等式所表示的区域是圆的 部。
四、若复数满足，试求的取值范围．
五、设是两个复数且满足都是负实数，证明必为实数。
六、设复数，试证.
七、试证非零复数满足的充要条件是他们有相同的辅角.
八、设，试证.
九．指出下列各题中点z的存在范围，是否区域，若是，指出是有界区域还是无界区域，单联通还是多连通的。
（1）； （2） （3）； （4）
（5）（6）
（7） （8）
答案
一、√，√，´，´，´，´，√，´，√
二、(1) C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)A (7)B (8)C (9)A (10)A
三、1． 2。 3。 4。 5。4 6。单 7。 8。 外
四、（或）．
九、(1)直线的左边，无界单联通区域。 （2）以1为心，以2为心的圆的外部，无界多连通区域 （3）以原点为心的去心单位圆，有界多连通区域。 （4）角形域，无界单联通区域. （5）圆的外部，无界多连通区域 （6）椭圆的内部，有界单联通区域。 （7）圆抛物线，不是区域. （8）直线不是区域.

第二章 解析函数
三、 判断题
（1）设为整函数，则也是整函数。
（2）设和均为整函数，则也是整函数。
（3）设和均为整函数，则也是整函数。
（4）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析
（5）若均在区域D内解析，则在区域D内为常数.
(6 )指数函数是以为周期的函数。
（7）在整个复平面上有界.
( 8 ) 对任意复数 。
四、 选择题
1．设和均为整函数，下列命题错误的是（　 ）
（A）是整函数　　 　 （B）是整函数　 　
（C）是整函数　　 　 （D）是整函数
2．函数在点处是( )
（A）解析的 （B）可导的
（C）不可导的 （D）既不解析也不可导
3．假设点是函数的奇点，则函数在点处( )
（A）不可导 （B）不解析
（C）不连续 （D）以上答案都不对
4．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( )
（A） （B）
（C） （D）
5．函数在处的导数( )
（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在
6．函数在复平面内 ( )
（A）处处解析 （B）处处可导 （C） 在坐标轴上可导 （D）在坐标轴上解析
7．．设为任意实数，则( )
（A）无定义 （B）等于1
（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1
8．设，则( )
（A） （B） （C） （D）
9．设是复数，则( )
（A）在复平面上处处解析 （B）的模为
（C）一般是多值函数 （D）的辐角为的辐角的倍
10．下列数中，为实数的是( )
（A） （B） （C） （D）
三、填空题
1．假设，则
2．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是
3．设，则
4．设，则方程的所有根为
5．cos(iln5)=
6．复数
7．复数
8．Ln(cosi)=
9．
10．方程的全部解为
四、证明：如果在连续，则函数都在处连续.
五、设, 指出它在哪些点处不连续，并说明原因.
六、讨论下列函数的解析性：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
七、求的实部、虚部。
八．求下列初等函数的值。
（1） （2） （3）； （4）
（5）（6） （7）
九、解方程： （1） （2）（3）
答案
一、´，√，√，´，√，√，´，´
二、(1) C (2)B (3)B (4)D (5) A (6) C (7)D (8) A (9) C (10)B
三、1． 2。常值函数3。 4。 5。 6。7。 8。 9。 10。
五、除外连续.
六、（1）处处不解析（2）仅在原点可导，处处不解析 （3）在原点可导，处处不解析（4）仅在处可导，处处不解析 （5）在直线上可导，处处不解析 （6）处处解析
七、实部为， 虚部为。
八．求下列初等函数的值。
（1） （2） （3）； （4）
（5）（6） （7）
九、解方程：（1）（2） （3），

第三章 复变函数的积分
五、 判断题
（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、积分中值定理等均可推广到复变函数。（ ）
（2） 有界整函数必为常数。（ ）
（3） 积分的值与半径的大小无关。（ ）
（4） 若在区域内有，则在内存在且解析。（ ）
（5） 若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析。（ ）
（6） 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。（ ）
（7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ）
（8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ）
二、选择题：
1．设C为从原点沿至的有向线段，则( )
（A） （B） （C） （D）
2．设C为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( )
（A） （B） （C） （D）以上都不对
3．设C为从沿至的直线段，则( )
（A） （B） （C） （D）
4．设C为正向圆周，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
5．设为正向圆周，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6．设，其中，则( )
（A） （B） （C） （D）
7．设为正向圆周，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
8．设为椭圆，则积分= （ ）
（A） （B） （C） （D）

9．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( )
(A) （B） （C） （D）
10．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( )
（A） （B）
（C） （D）

三、填空题
1．设为负向圆周，则
2．设为正向圆周，则
3．设其中曲线C为椭圆正向，则
4．设为正向圆周，则
5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的
6．设C是从到的直线段，则积分
7．设C为过点的正向简单闭曲线，则当从曲线C内部趋向时， ，当从曲线C外部趋向时， 。
8．调和函数的共轭调和函数为
9．若函数为某一解析函数的虚部，则常数
10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为
四、计算积分
1．

2., 其中且。
3．，其中为不经过的简单正向闭曲线.
五、设在平面上解析，且恒大于正常数M, 试证为常值函数.
六、证明：若在圆周上及其内部解析，则
七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.
八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.

答案：
一、´， Ö，Ö，Ö，´，´，´，´，
二、1．C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8．A 9. D 10. B

三、1． 2． 3. , , 4. 5. 平均值
6。 7。，0 8. 9. 10.
四、1. 设 则 所以

2．当时，； 当时，； 当时，
3．分情况讨论：
（1）为不包含的简单正向闭曲线
=0
（2）为包含，不包含的简单正向闭曲线

（3）为包含，不包含的简单正向闭曲线

（4）为即包含，也包含的简单正向闭曲线
=0
五、提示：对运用刘维尔定理.
七、提示：估值不等式证明极限. 再用柯西积分公式计算，可验证。
八、.

第四章 级数
六、 判断题
（9） 幂级数在收敛圆上处处收敛。（ ）
（10） 幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）
（11） 如果是和的极点，则是的极点。（ ）
（12） 如果是的本性奇点，为的极点，则是的本性奇点。（ ）
（13） 如果是的本性奇点，为的极点，则是的极点。（ ）
（14） 如果是的级零点，为的级极点，，则是的可去奇点。（ ）
（15） 如果是的级极点，则是的级极点。（ ）
（16） 若，则在内无奇点。（ ）
（17） 存在在原点解析，在处取值为的函数。（ ）
一、选择题：
1．设，则( )
（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在
2．下列级数中，条件收敛的级数为( )
（A） （B）
（C） （D）
3.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( )
（A） （B） （C） （D）
4．级数的收敛域是( )
（A） （B） （C） （D）不存在的
5．函数在处的泰勒展开式为( )
（A） （B）
（C） （D）
6．是函数的 ( )奇点
（A）可去奇点 （B）极点
（C）本性奇点 （D）非孤立奇点
7．设函数在以为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8．设是的级极点，则是的（ ）级极点
(A) （B） （C） （D）
9．设为函数的级极点，那么( )
（A）8 （B）6 (C)4 （D）2
10.是函数的（ ）奇点
（A）可去奇点 （B）极点
（C）本性奇点 （D）非孤立奇点

二、填空题
1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 。
2．幂级数的收敛半径 。
3．在处的泰勒展开式为 。
4．假设是函数的级极点，则是函数的 　　 　 极点．
5．双边幂级数的收敛域为 ．
6．函数在内洛朗展开式为 ．
7．具有可去奇点，6级级点和本性奇点的一个函数为 ．
8．函数在内洛朗展开式为 ．
9．函数的有限奇点为 ，类型为 ．
10．函数在扩充复平面上的奇点为 ；类型为 ．
三、用幂级数证明初值问题在解析的唯一解为
四、菲波那契(Fibonacci)数列各项之间的关系为：。证明函数在处的泰勒展开式的系数即为菲波那契(Fibonacci)数列，并明确给出的表达式．
五、试证明
1．
2．
.六、将函数在内展开成洛朗级数.
七、试证在内的洛朗展开式为：
其中
答案：
一、´，´，´，Ö，´，Ö，，Ö，´，´
二、1．（B） 2．（C） 3．（C） 4．（B） ５．（D）
６．（D） ７．（C） ８．（B） ９．（A） 10．（A）

二、1．不能确定 2．1 3． 4．一级 5． 6。 7． 8. 9. 二级极点、一级极点、三级极点 10．；可去奇点，本性奇点
四、.
六、.

答案

第五章 留数理论及其应用
七、 判断题
1．若是函数的奇点，则可将函数在处展开来计算在处的留数（ ）
2．在处的留数与在处的留数相等。（ ）
3．若，则在内无奇点。（ ）
4．若是函数的可去奇点，则在处的留数为0。（ ）
5．假设是函数的级极点，则，
。（ ）

八、 选择题
1．是函数的( )
（A）可去奇点 （B）一级极点
（C） 二级极点 （D）本性奇点
2．设函数与分别以为级极点与级极点（），则为的（ ）
（A）可去奇点 （B）级极点
（C）级零点 （D）本性奇点
3．设为函数的本性奇点，则为函数的（ ）
（A）可去奇点 （B）一级极点
（C）本性奇点 （D）非孤立奇点

4．设在内解析，为正整数，那么( )
（A） （B） （C） （D）
5.如果为的级极点，则为的（ ）级极点
(A) （B） （C） （D）
6．是函数的（ ）
（A）可去奇点 （B）一级极点
（C）二级极点 （D）本性奇点
7． （ ）
（A） （B） （C） （D）
8．（ ）
（A） （B） （C） （D）

九、 填空题
1．设为函数的 奇点．
2为函数的 奇点．
3．是函数的 级极点．
4．设为函数的级零点，那么 ．

5．设为函数的级极点，那么 ．
6．设，则 ．
7．设，则 ．
8．设，则 ．
9．积分 ．
四、计算下列函数在各孤立奇点处的留数。
1． 2。 3。 4．
五、计算下列围线积分。
1． 2。 3.
4．，其中C为不经过0和1的简单闭曲线.
5．
答案：一、1。´ 2。´ 3。´ 4。´ 5。√
二、(1)A (2) B (3) C (4) C (5) D (6) C (7) A (8)B
三、1。可去 2。本性 3。1 4。 5. 6. 7. 8. 9.
四、(1) 为的一级极点，
为的本性奇点，
(2) 为的本性奇点， 为的本性奇点
又
所以，

(3) 为的3级极点，为的1级极点，所以

（4）均为的一级极点，为的极点。

由知
五、1．被积函数在积分区域内有两个奇点，均为单极点。又因为

所以
=。
2．=
因为

所以=

因为

所以=，从而有

3. 因为

所以
=。
4．（1）0。
（2）C只包含0时，积分为
（3）C只包含1时，积分为
（4）C包含0，1时，积分为
5．当时，为可去奇点，积分为零。
当时，为一级极点，
当时，为级极点，

所以

第七章 傅立叶变换
十、 判断题
1．任意函数的傅立叶变换都存在。（ ）
2．的正弦变换就是为奇函数时的傅立叶变换。（ ）
3．

则

成立。（ ）
4．具有性质其中的积分就是我们数学分析中熟悉的广义积分。（ ）
5．因为，所以。（ ）
6．古典意义下的傅立叶变换的所有性质对于广义傅立叶变换均成立，且形式完全相同。（ ）
十一、 选择题

（9）设，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）

十二、 填空题
（5） 积分
（6）积分
（7）假设函数的傅立叶变换为，则函数的傅立叶变换为
（8）函数的傅立叶逆变换为
（9）积分方程的解
十三、 计算下列函数的傅立叶变换
（1） （2）（3）
（4） （5）
十四、 计算下列函数的傅立叶变换，并求给出的相应的积分的值。
（1），
（2），
十五、 已知函数F求下列函数的傅立叶变换。
（1） （2） （3） （4））
十六、 计算下列函数的傅立叶逆变换。
（1） （2）
（3）
八、证明：若F 其中为一实函数，则
F
F
九、证明：

答案：一、1。´ 2。√ 3。´ 4。´ 5。√ 6。´
二、(1)D (2) A (3) C (4) B (5) A (6) C (7) B (8) D (9) B (10) C
三、1。 2。 3。 4。
5. 6. 7. 8. 9.
四、(1) =
(2) 因为F ，，所以
F

（5）因为由相似性质F
五（1）
所以在连续点处
=
所以。

（2）
，
因此
六、（1）因为由相似性质，FF
（2）F
F
（3）因为由相似性质，
F F F
=
（4）F F
七、（1）F {F}=
=
（2）, 所以
（3）=，所以

十七、 证

F
同理可证另一等式.
九、证

第八章 拉普拉斯变换
十八、 判断题
1．Laplace变换本质是傅立叶变换。（ ）
2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。（ ）
3． 和的拉普拉斯变换结果相同。
4．可以通过计算在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（ ）
5．可以通过计算 在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（ ）
6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。（ ）
十九、 选择题
（2）（ ）
（A） （B） （C） （D）
(3) （ ）
（A） （B）
（C） （D）
(4) （ ）
（A） （B）
（C） （D）
(5) 函数的拉普拉斯逆变换为（ ）
（A） （B）
（C） (D)
(6) 函数的拉普拉斯逆变换为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
(7)积分的值为（ ）
（A） 0 (B) (C) (D)
(8) 积分的值为（ ）
（A） 0 (B) 1 (C) (D) 不存在
(9) 时的值为（ ）
（A） 0 (B) 1 (C) (D) 不存在

二十、 填空题
（1）设 则
（2）

（3）
（4）

（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
二十一、 计算下列函数的拉普拉斯变换.
（1） （2）
（3） （4） （5）
二十二、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）

六、计算下列积分。
（1） （2） (3)
（4） (5)
七、利用拉普拉斯变换求解下列微分方程或方程组。
1．
2．
3．
4．
5.
6．
7．
8．
答案：一、1。√2。´ 3。´ 4。´ 5。´ 6。√
二、(1)C (2) A (3) B (4) D (5) A (6) D (7) B (8) A (9)A

三、1。 2。 3。 4。 5.
6. 7. 8. 9.
四、（1）
（2）[
（3）
（4）

（5）
。

五、 （1）
（2）因为

=++=
（3） +
=
（4）+
=
（5）=
（6）2

六、（1）因为=，
所以
（2）
(3) 因为，所以

（4）因为 所以。
(5) 因为=
七、(1) （2）
(3) 假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

整理得

将上式右端的第一项写为

可得的拉普拉斯逆变换为

将上式右端的第二项写为

其拉普拉斯逆变换为

因此，原方程的解为

（4）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

从而

即

两边积分得或，取逆变换得又知 所以方程的解为

其中
（5）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

整理得

这是一个一阶线性非齐次微分方程，这里

所以

所以方程的解为
为任意常数。
（6）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

所以

则

求拉普拉斯逆变换得

又 所以
（7）假设 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

整理得

进行拉普拉斯逆变换，有

（8）．假设 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有

即

化简得

求拉普拉斯逆变换得

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