复变函数与积分变换题库习题集带答案.doc

复变函数与积分变换习题集第一章 复数与复变函数一、 判断题 （8）平面点集是单联通区域。 （9）如果不是实数，则。二、 选择题1当时，的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）2一个复数乘以，则( ) （A）复数的模不变，辐角减少p/2。 （B）复数的模不变，辐角增加p/2。（C）复数的模增加，辐角减少p/2。（D）复数的模减少，辐角增加p/2。3.设复数满足，那么（）（A）（B）（C）（D）4复数的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）5设为实数，且有，则动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（）（A）（B）（C）（D）7设为复数，则方程组的解是（ ）（A） （B） （C） （D）8方程所代表的曲线是（）（A）中心为，半径为的圆周 （B）中心为，半径为的圆周（C）中心为，半径为的圆周（D）中心为，半径为的圆周9下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（）（A）（B）（C） （D）10设且，为复数，则函数的最大值为（）（A） （B）1 （C）2 （D）三、填空题1设，则 2设，则 3复数的指数表示式为 4设，则 5以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式所表示的区域是 连通区域方程所表示曲线的直角坐标方程为 不等式所表示的区域是圆的 部。四、若复数满足，试求的取值范围五、设是两个复数且满足都是负实数，证明必为实数。六、设复数，试证.七、试证非零复数满足的充要条件是他们有相同的辅角.八、设，试证.九指出下列各题中点z的存在范围，是否区域，若是，指出是有界区域还是无界区域，单联通还是多连通的。 （1）； （2） （3）； （4） （5）（6）（7） （8）答案一、，二、(1) C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)A (7)B (8)C (9)A (10)A三、1 2。 3。 4。 5。4 6。单 7。 8。 外四、（或）九、(1)直线的左边，无界单联通区域。 （2）以1为心，以2为心的圆的外部，无界多连通区域 （3）以原点为心的去心单位圆，有界多连通区域。 （4）角形域，无界单联通区域. （5）圆的外部，无界多连通区域 （6）椭圆的内部，有界单联通区域。 （7）圆抛物线，不是区域. （8）直线不是区域.第二章 解析函数三、 判断题（1）设为整函数，则也是整函数。（2）设和均为整函数，则也是整函数。（3）设和均为整函数，则也是整函数。（4）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（5）若均在区域D内解析，则在区域D内为常数. (6 )指数函数是以为周期的函数。（7）在整个复平面上有界. ( 8 ) 对任意复数 。四、 选择题1设和均为整函数，下列命题错误的是（ ）（A）是整函数 （B）是整函数 （C）是整函数 （D）是整函数2函数在点处是( )（A）解析的 （B）可导的（C）不可导的 （D）既不解析也不可导3假设点是函数的奇点，则函数在点处( )（A）不可导 （B）不解析（C）不连续 （D）以上答案都不对4下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( )（A） （B）（C） （D）5函数在处的导数( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在6函数在复平面内 ( )（A）处处解析 （B）处处可导 （C） 在坐标轴上可导 （D）在坐标轴上解析7设为任意实数，则( )（A）无定义 （B）等于1 （C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于18设，则( )（A） （B） （C） （D）9设是复数，则( )（A）在复平面上处处解析 （B）的模为（C）一般是多值函数 （D）的辐角为的辐角的倍10下列数中，为实数的是( )（A） （B） （C） （D）三、填空题1假设，则 2设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 3设，则 4设，则方程的所有根为 5cos(iln5)= 6复数 7复数 8Ln(cosi)= 9 10方程的全部解为 四、证明：如果在连续，则函数都在处连续.五、设, 指出它在哪些点处不连续，并说明原因.六、讨论下列函数的解析性：（1） （2） （3） （4） （5） （6）七、求的实部、虚部。八求下列初等函数的值。（1） （2） （3）； （4） （5）（6） （7） 九、解方程： （1） （2）（3）答案一、，二、(1) C (2)B (3)B (4)D (5) A (6) C (7)D (8) A (9) C (10)B三、1 2。常值函数3。 4。 5。 6。7。 8。 9。 10。五、除外连续. 六、（1）处处不解析（2）仅在原点可导，处处不解析 （3）在原点可导，处处不解析（4）仅在处可导，处处不解析 （5）在直线上可导，处处不解析 （6）处处解析七、实部为， 虚部为。八求下列初等函数的值。（1） （2） （3）； （4） （5）（6） （7）九、解方程：（1）（2） （3），第三章 复变函数的积分五、 判断题（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、积分中值定理等均可推广到复变函数。（ ）（2） 有界整函数必为常数。（ ）（3） 积分的值与半径的大小无关。（ ）（4） 若在区域内有，则在内存在且解析。（ ）（5） 若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析。（ ）（6） 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。（ ）（7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ）（8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ）二、选择题：1设C为从原点沿至的有向线段，则( )（A） （B） （C） （D）2设C为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( )（A） （B） （C） （D）以上都不对3设C为从沿至的直线段，则( )（A） （B） （C） （D）4设C为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）5设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）6设，其中，则( )（A） （B） （C） （D）7设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）8设为椭圆，则积分= （ ）（A） （B） （C） （D）9设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( )(A) （B） （C） （D）10设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( )（A） （B） （C） （D）三、填空题1设为负向圆周，则 2设为正向圆周，则 3设其中曲线C为椭圆正向，则 4设为正向圆周，则 5解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 6设C是从到的直线段，则积分 7设C为过点的正向简单闭曲线，则当从曲线C内部趋向时， ，当从曲线C外部趋向时， 。8调和函数的共轭调和函数为 9若函数为某一解析函数的虚部，则常数 10设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 四、计算积分12., 其中且。 3，其中为不经过的简单正向闭曲线.五、设在平面上解析，且恒大于正常数M, 试证为常值函数.六、证明：若在圆周上及其内部解析，则七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.答案：一、， ，二、1C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8A 9. D 10. B三、1 2 3. , , 4. 5. 平均值6。 7。，0 8. 9. 10. 四、1. 设 则 所以2当时，； 当时，； 当时，3分情况讨论：（1）为不包含的简单正向闭曲线=0（2）为包含，不包含的简单正向闭曲线（3）为包含，不包含的简单正向闭曲线（4）为即包含，也包含的简单正向闭曲线=0五、提示：对运用刘维尔定理.七、提示：估值不等式证明极限. 再用柯西积分公式计算，可验证。八、.第四章 级数六、 判断题（9） 幂级数在收敛圆上处处收敛。（ ）（10） 幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）（11） 如果是和的极点，则是的极点。（ ）（12） 如果是的本性奇点，为的极点，则是的本性奇点。（ ）（13） 如果是的本性奇点，为的极点，则是的极点。（ ）（14） 如果是的级零点，为的级极点，则是的可去奇点。（ ）（15） 如果是的级极点，则是的级极点。（ ）（16） 若，则在内无奇点。（ ）（17） 存在在原点解析，在处取值为的函数。（ ）一、选择题：1设，则( )（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在2下列级数中，条件收敛的级数为( )（A） （B）（C） （D）3.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）4级数的收敛域是( )（A） （B） （C） （D）不存在的5函数在处的泰勒展开式为( )（A） （B）（C） （D）6是函数的 ( )奇点（A）可去奇点 （B）极点 （C）本性奇点 （D）非孤立奇点7设函数在以为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）48设是的级极点，则是的（ ）级极点(A) （B） （C） （D）9设为函数的级极点，那么( )（A）8 （B）6 (C)4 （D）2 10.是函数的（ ）奇点（A）可去奇点 （B）极点 （C）本性奇点 （D）非孤立奇点二、填空题1若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 。 2幂级数的收敛半径 。3在处的泰勒展开式为 。4假设是函数的级极点，则是函数的 极点5双边幂级数的收敛域为 6函数在内洛朗展开式为 7具有可去奇点，6级级点和本性奇点的一个函数为 8函数在内洛朗展开式为 9函数的有限奇点为 ，类型为 10函数在扩充复平面上的奇点为 ；类型为 三、用幂级数证明初值问题在解析的唯一解为四、菲波那契(Fibonacci)数列各项之间的关系为：。证明函数在处的泰勒展开式的系数即为菲波那契(Fibonacci)数列，并明确给出的表达式五、试证明12.六、将函数在内展开成洛朗级数.七、试证在内的洛朗展开式为：其中答案：一、，二、1（B） 2（C） 3（C） 4（B） （D） （D） （C） （B） （A） 10（A） 二、1不能确定 21 3 4一级 5 6。 7 8. 9. 二级极点、一级极点、三级极点 10；可去奇点，本性奇点四、.六、.答案第五章 留数理论及其应用七、 判断题1若是函数的奇点，则可将函数在处展开来计算在处的留数（ ）2在处的留数与在处的留数相等。（ ）3若，则在内无奇点。（ ）4若是函数的可去奇点，则在处的留数为0。（ ）5假设是函数的级极点，则，。（ ）八、 选择题1是函数的( )（A）可去奇点 （B）一级极点（C） 二级极点 （D）本性奇点2设函数与分别以为级极点与级极点（），则为的（ ）（A）可去奇点 （B）级极点（C）级零点 （D）本性奇点3设为函数的本性奇点，则为函数的（ ）（A）可去奇点 （B）一级极点（C）本性奇点 （D）非孤立奇点4设在内解析，为正整数，那么( )（A） （B） （C） （D）5.如果为的级极点，则为的（ ）级极点(A) （B） （C） （D） 6是函数的（ ）（A）可去奇点 （B）一级极点（C）二级极点 （D）本性奇点7 （ ）（A） （B） （C） （D）8（ ）（A） （B） （C） （D）九、 填空题1设为函数的 奇点2为函数的 奇点3是函数的 级极点4设为函数的级零点，那么 5设为函数的级极点，那么 6设，则 7设，则 8设，则 9积分 四、计算下列函数在各孤立奇点处的留数。1 2。 3。 4五、计算下列围线积分。1 2。 3.4，其中C为不经过0和1的简单闭曲线.5答案：一、1。 2。 3。 4。 5。 二、(1)A (2) B (3) C (4) C (5) D (6) C (7) A (8)B 三、1。可去 2。本性 3。1 4。 5. 6. 7. 8. 9.四、(1) 为的一级极点，为的本性奇点，(2) 为的本性奇点， 为的本性奇点又所以， (3) 为的3级极点，为的1级极点，所以（4）均为的一级极点，为的极点。由知五、1被积函数在积分区域内有两个奇点，均为单极点。又因为 所以 =。2= 因为 所以=因为所以=，从而有3. 因为所以 =。4（1）0。 （2）C只包含0时，积分为 （3）C只包含1时，积分为（4）C包含0，1时，积分为5当时，为可去奇点，积分为零。 当时，为一级极点， 当时，为级极点， 所以 第七章 傅立叶变换十、 判断题1任意函数的傅立叶变换都存在。（ ）2的正弦变换就是为奇函数时的傅立叶变换。（ ）3则 成立。（ ）4具有性质其中的积分就是我们数学分析中熟悉的广义积分。（ ）5因为，所以。（ ）6古典意义下的傅立叶变换的所有性质对于广义傅立叶变换均成立，且形式完全相同。（ ）十一、 选择题 （9）设，则=（ ） （A） （B） （C） （D）十二、 填空题（5） 积分 （6）积分 （7）假设函数的傅立叶变换为，则函数的傅立叶变换为 （8）函数的傅立叶逆变换为 （9）积分方程的解 十三、 计算下列函数的傅立叶变换（1） （2）（3） （4） （5）十四、 计算下列函数的傅立叶变换，并求给出的相应的积分的值。（1）， （2），十五、 已知函数F求下列函数的傅立叶变换。（1） （2） （3） （4）十六、 计算下列函数的傅立叶逆变换。（1） （2） （3）八、证明：若F 其中为一实函数，则F F 九、证明：答案：一、1。 2。 3。 4。 5。 6。二、(1)D (2) A (3) C (4) B (5) A (6) C (7) B (8) D (9) B (10) C三、1。 2。 3。 4。5. 6. 7. 8. 9.四、(1) =(2) 因为F ，所以F（5）因为由相似性质F五（1）所以在连续点处=所以。（2），因此六、（1）因为由相似性质，FF（2）F F （3）因为由相似性质，F F F =（4）F F 七、（1）F F= = （2）, 所以 （3）=，所以 十七、 证 F 同理可证另一等式.九、证第八章 拉普拉斯变换十八、 判断题1Laplace变换本质是傅立叶变换。（ ）2任意函数的拉普拉斯变换都存在。（ ）3 和的拉普拉斯变换结果相同。4可以通过计算在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（ ）5可以通过计算 在处留数得到的拉普拉斯逆变换。（ ）6用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。（ ）十九、 选择题（2）（ ）（A） （B） （C） （D） (3) （ ）（A） （B） （C） （D）(4) （ ）（A） （B） （C） （D）(5) 函数的拉普拉斯逆变换为（ ）（A） （B）（C） (D) (6) 函数的拉普拉斯逆变换为（ ） （A） （B）（C） （D）(7)积分的值为（ ）（A） 0 (B) (C) (D) (8) 积分的值为（ ）（A） 0 (B) 1 (C) (D) 不存在 (9) 时的值为（ ）（A） 0 (B) 1 (C) (D) 不存在 二十、 填空题 （1）设 则 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 二十一、 计算下列函数的拉普拉斯变换.（1） （2） （3） （4） （5）二十二、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。（1） （2） （3） （4） （5） （6）六、计算下列积分。（1） （2） (3)（4） (5)七、利用拉普拉斯变换求解下列微分方程或方程组。123 4 5. 678答案：一、1。2。 3。 4。 5。 6。 二、(1)C (2) A (3) B (4) D (5) A (6) D (7) B (8) A (9)A 三、1。 2。 3。 4。 5. 6. 7. 8. 9.四、（1） （2） （3） （4） （5） 。五、 （1） （2）因为=+=（3） + =（4）+ =（5）=（6）2 六、（1）因为=， 所以 （2） (3) 因为，所以（4）因为 所以。 (5) 因为=七、(1) （2）(3) 假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有整理得 将上式右端的第一项写为 可得的拉普拉斯逆变换为 将上式右端的第二项写为其拉普拉斯逆变换为 因此，原方程的解为（4）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有从而 即两边积分得或，取逆变换得又知 所以方程的解为其中 （5）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有整理得 这是一个一阶线性非齐次微分方程，这里 所以 所以方程的解为 为任意常数。（6）假设对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有所以 则 求拉普拉斯逆变换得 又 所以（7）假设 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有整理得 进行拉普拉斯逆变换，有 （8）假设 对方程两边同时进行拉普拉斯变换，有即 化简得 求拉普拉斯逆变换得41