1.1.2函数求导法则及基本公式.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.1.2函数的求导法则及基本公式（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 熟记导数的基本公式和求导法则。
2、 会用基本公式和求导法则求函数的导数。
3、 会用复合函数的求导法则求导。
4、 会求函数的高阶导数。
重点
会用基本公式和求导法则求函数的导数
难点
会用复合函数的求导法则求导
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 导数的四则运算
定理1 20分钟
例1-例6 20分钟
二、 复合函数求导法则
定理2 10分钟
例7-例9 20分钟
三、 高阶导数 10分钟
例10 10分钟

作业
P51-2（5）、（6）、（7）、（8），3

备注

6
1.1.2函数的求导法则及基本公式
一、导数的四则运算
定理 如果函数都在处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在处可导，且有
（1）
（2）
特别地，若时，因为常数的导数为零，故有
（3）
注：定理中的（1），（2）可推广到任意有限项的情形，如

证明 以（2）为例
设 则

所以
令 取极限，并注意到（可导必连续），就得到，即
【例1】已知函数，求。
解

【例2】已知函数，求。
解
【例3】已知函数，求。
解

【例4】已知，求。
解

【例5】求的导数。
解
【例6】求的导数。
解
二、复合函数求导法则
定理2 如果函数在处可导,函数在对应点处也可导,则复合函数在处可导,且
或写成
证明 给自变量以改变量,相应函数及有改变量和,由于在处可导,由极限与无穷小的关系有（其中是时的无穷小）
从而 此式在或时均成立
于是当时, 有
又函数在点处可导,故在点处连续,从而有,
因此
即

注：
（1）上述定理又称链导法则，即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。该法则可推广到有多个中间变量的复合函数上去，例如，，均可导，则复合函数的导数为。
（2）中间变量的设置以保证内外层函数能成为基本初等函数或简单函数的形式为准。
【例7】求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
解 （1）设，则

（2）设，则

（3）设，则

【例8】求下列函数的导数：
（1）（2）（3）
解 （1）
（2）
（3）

【例9】已知，求。
解
三、高阶导数
如果函数的导数仍是的可导函数，则称的导数是函数的二阶导数，记为
，或，或，或
相应地，把的导数 称为函数的一阶导数。
类似地，如果的导数存在，则称这个导数为的三阶导数，记作
， ， 或
依次类推，就可以定义函数的n阶导数，并且记为
， ， 或
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
注：高阶导数的求法，在本质上与求一阶导数相同，只是在求导过程中反复运用了一阶导数的求法。
【例10】求函数 的n阶导数。
解

…………

即