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材料力学 重点及其公式
材料力学的任务 （1）强度规定； （2）刚度规定； （3）稳定性规定。
变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。
外力分类：表面力、体积力；
内力：构件在外力的作用下，内部互相作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加互相作用力
截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保存另一部分研究（2）在保存部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保存部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。
应力： 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。
杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；
静载荷：载荷从零开始平缓地增长到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。
失效因素：脆性材料在其强度极限破坏，塑性材料在其屈服极限时失效。两者统称为极限应力抱负情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：，，强度条件：，等截面杆
轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：，。横向应变为：，横向应变与轴向应变的关系为：。
胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 ，这就是胡克定律。E为弹性模量。
将应力与应变的表达式带入得：
静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅运用静力平衡方程无法解出所有未知力。
圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设。物理关系——胡克定律。力学关系 圆轴扭转时的应力：；
圆轴扭转的强度条件： ，可以进行强度校核、截面设计和拟定许可载荷。
圆轴扭转时的变形：； 等直杆：
圆轴扭转时的刚度条件： ，
弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系；；
Q、M图与外力间的关系
a）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
b）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
c）在梁的某一截面。，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。
d）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一忽然变化，弯矩图的斜率也发生忽然变化形成一个转折点。
梁的正应力和剪应力强度条件，
提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(减少最大弯矩，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状
塑性材料：，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：， 采用T字型或上下不对称的工字型截面。
等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。
二向应力状态分析—解析法
（1）任意斜截面上的应力；
（2）极值应力 正应力：，
切应力：，
（3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
与之间的关系为：，即：最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45°
扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化（2）画内力图拟定危险截面（3）拟定危险点并建立强度条件
按第三强度理论，强度条件为： 或， 对于圆轴，，其强度条件为：。按第四强度理论，强度条件为： ，经化简得出：，对于圆轴，其强度条件为：。

工程力学习题汇总
第一部分 静力学
判断题
1、力的三要素是大小、方向、作用线。 （ ）
2、两个力只能合成唯一的一个力，故一个力也只能分解为唯一的两个力。
（ ）
3、力偶对其作用面内任意一点之矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。（ ）
4、作用于刚体上的力F，可以平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶。 （ ）
5、作用力和反作用力必须大小相等、方向相反，且作用在同一直线上和同一物体上。 （ ）
1、物体的形心不一定在物体上。 （ ）
2、作用力与反作用力是一组平衡力系。 （ ）
3、两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等。 （ ）
4、力系的合力一定比各分力大。 （ ）
5、两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等。 （ ）
1、作用力与反作用力是一组平衡力系。 （ ）
2、作用在任何物体上的力都可以沿其作用线等效滑移 （ ）
3、图示平面平衡系统中，若不计定滑轮和细绳的重力，且忽略摩擦，则
可以说作用在轮上的矩为m的力偶与重物的重力F相平衡。 （ ）
m

F

4、作用在同一刚体上的两个力，使刚体处在平衡的必要和充足的条件是：
这两个力大小相等、方向相反、作用线沿同一条直线。 （ ）
5、物体的重心和形心虽然是两个不同的概念，但它们的位置却总是重合
的。 （ ）
选择题
1、假如力FR是F1、F2两力的合力，用矢量方程表达为 FR = F1 + F2，则三力大小之间的关系为 。
A．必有FR = F1 + F2 B．不也许有FR = F1 + F2
C．必有FR＞F1，FR＞F2 D．也许有FR＜F1，FR＜F2

第二部分 材料力学部分
判断题
1、杆件的基本变形有四种：轴向拉伸或压缩、剪切、挤压和弯曲。（ ）
2、当作用于杆件两端的一对外力等值、反向、共线时，则杆件产生轴向拉伸或压缩变形。 （ ）
3、轴力的大小与杆件的横截面面积有关。 （ ）
4、拉（压）杆中，横截面上的内力只与杆件所受外力有关。 （ ）
5、轴力的大小与杆件的材料无关。 （ ）
1、轴力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。 （ ）
2、从某材料制成的轴向拉伸试样，测得应力和相应的应变，即可求得其
E = σ / ε 。 （ ）
3、构件抵抗变形的能力称为刚度。 （ ）
4、轴向拉压杆任意斜截面上只有均匀分布的正应力，而无剪应力。
（ ）
5、材料的弹性模量E是一个常量，任何情况下都等于应力和应变的比值
（ ）
1、正应变的定义为 （ ）
2、对于拉伸曲线上没有屈服平台的合金塑性材料，工程上规定作为名义屈服极限，此时相相应的应变为 （ ）
3、在有集中力作用处，梁的剪力图要发生突变，弯矩图的斜率要发生突变。 （ ）
4、圆环形截面的W= （ ）
5、在研究一点的应力状态时，正应力为零的平面称为主平面。 （ ）
选择题
1、 两根受相同轴向拉力作用的杆件，它们的材料和横截面面积相同，杆
１的长度为杆２的２倍，试比较它们的轴力和轴向变形。对的结论为：
（ 　）
A．两杆的轴力和轴向变形相同
B．两杆的轴力相同，杆１的轴向变形比杆2的小
C．两杆的轴力相同，杆１的轴向变形比杆2的大
D．两杆的变形相同，杆１的轴力比杆2大
2、低碳钢的拉伸过程中，（ ）阶段的特点是应力几乎不变，而应变
却显著增长。
　　　　A．弹性　　　B．屈服　　C．强化　　D．.颈缩　
3、二根圆截面拉杆，材料及受力均相同，两杆直径d1 / d2 =2 ,若要使二杆轴向伸长量相同，那么它们的长度比l 1 / l 2 应为（ ）。
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4、图示圆截面悬臂梁，若其它条件不变，而直径增长一倍，则其最大正应力是本来的（ ）倍。
A： B：8
C：2 D：

5、图示结构，其中AD杆发生的变形为（ ）。
A．弯曲变形
B．压缩变形
C．弯曲与压缩的组合变形
D．弯曲与拉伸的组合变形
6、三根试件的尺寸相同，材料不同，其应力应变关系如图所示，（ ）
试件弹性模量最大。
A．（1） B．（2） C．（3）
1、平面汇交四个力作出如下图所示力多边形，表达力系平衡的是（ ）。

2、截面C处扭矩的突变值为（ ）。

A． B．
C． D．

3、 某点为平面应力状态（如图所示），该点的主应力分别为：（ ）

50Mpa
30Mpa
A．
B．
C．

4、在研究一点的应力状态时，引用主平面的概念，所谓主平面是指（ ）。
A．正应力为零的平面 B．剪应力最大的平面
C．剪应力为零的平面 D．正应力应力均为零的平面
5、一直径为d的实心圆轴，按强度条件计算其受扭转时的允许转力矩为T，当此轴的横截面面积增长一倍时，其允许扭转力矩将为（ ）。
A．2T; B．2T
C．4T. D．4T
1、作为脆性材料的极限应力是（ ）
A. 比例极限 B 弹性极限
C．屈服极限 D．强度极限
2、为了保证结构的安全和正常工作，对构件承载能力规定是（ ）
A．强度规定； B．强度规定和刚度规定；
C．刚度规定和稳定性规定； D．强度规定、刚度规定和稳定性规定。
3、第二强度理论是（ ）
A．最大剪应力理论； B．最大拉应力理论；
C．最大拉应变理论； D．形状改变比能理论。
4、工程中一般是以哪个指标来区分塑性材料和脆性材料的？（ ）
A．弹性模量 B．强度极限
Ｃ．比例极限 D．延伸率
5、环形截面对其形心的极惯性矩为（ ）
A. ;
B. ;
C. ;
D .
1、塑性材料的危险应力是（ ），脆性材料的危险应力是（ ）
A. 比例极限
B. 弹性极限
C． 屈服极限
D． 强度极限
2、圆轴扭转变形时最大的剪应力发生在（ ）
. A．圆心处 B．中性轴处
C．圆轴边沿 D．不拟定。
3、假如仅从扭转强度方面考虑，图（a）、（b）所示的传动轴的两种齿轮布置方式中 ，（ ）图的较为合理。

2m
m
m
( A )
2m
m
F
( B )
m
(c)

4、假如仅从弯曲正应力强度方面考虑，图（c）、（d）所示梁的两种支座布置方式中 ，（ ）图的较为合理。
q
( B )
q
( A )

5、杆件的刚度是指（ ）。
A． 杆件的软硬限度； B． 杆件的承载能力；
C． 杆件对弯曲的抵抗能力； D． 杆件对变形的抵抗能力。
1、物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复本来形状和尺寸的性质称为（ ）。
A．弹性 B．塑料 C．刚性 D．稳定性
2、没有明显屈服平台的塑性材料，其破坏应力取材料的（ ）。
A．比例极限 B．名义屈服极限 C．强度极限
3、低碳钢的拉伸σ－ε曲线如图。若加载至强化阶段的C点，然后卸载，则应力回到零值的途径是沿（ ）。
A． 曲线cbao B．曲线cbf (bf ∥ oa)
C． 直线ce (ce ∥ oa) D．直线cd (cd∥oσ)
c
a
b
d
e
f
ε

o

4、一圆截面直杆，两端承受拉力作用，若将其直径增大一倍，其他条件不变，则下列不对的是（ ）。
A．其轴力不变 B．其应力是本来的
C．其强度将是本来的2倍 D．其伸长量是本来的
5、钢筋通过冷作硬化解决后，其性能的变化是 。
A． 比例极限提高 B． 弹性模量减少 C．延伸率提高
1、某直梁横截面面积一定，试问下图所示的四种截面形状中，那一种抗弯能力最强 。
A．矩形 B．工字形 C．圆形 D．正方形

2、T形截面铸铁材料悬臂梁受力如图，轴Z为中性轴，横截面合理布置的方案应为 。

（A） （B） （C） （D）
3、物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复本来形状和尺寸的性质称为（ ）。
A．塑性 B．弹性 C．刚性 D．稳定性
5、两拉杆的材料和所受拉力都相同，且均处在弹性范围内，若两杆长度相同，而截面积A1＞A2，则两杆的伸长ΔL1（ ）ΔL2。
A．大于 B．小于 C．等于
1、两根直径相同而长度及材料不同的圆轴，在相同扭矩作用下，其最大剪应力和单位长度扭转角之间的关系是（ ）。
A. τmax1 = τmax2，θ1 = θ2；
B. τmax1 = τmax2，θ1 ≠ θ2；
C. τmax1 ≠ τmax2，θ1 = θ2；
D. τmax1 ≠ τmax2，θ1 ≠ θ2；
2、一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一段为钢，另一段为铝，则两段的（ ）。
A. 应力相同，变形不同
B. 应力相同，变形相同
C. 应力不同，变形相同
D. 应力不同，变形不同
3、对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上规定（ ）为其条件屈服应力。
A. 产生0.2﹪塑性应变时的应力值
B. 产生2﹪塑性应变时的应力值
C. 其弹性极限
D. 其强度极限
4、第三强度理论的相称应力表达式是（ ）。
A. B.
C. D.
4、试判断图示直角弯拐中各段分属于哪种基本的变形形式或什么组成成份的组合变形形式。
AB段:
BC段:
x
y
z
P
m
B
C
A
D
CD段:

1、某点的应力状态如图所示，该点的主应力分别为σ1=_________、

50Mpa
30Mpa
σ2=_________ σ3= _________。

2、判断下列各结构是静定还是静不定
P
(a)

P

(b)

P
P

答：（a）是（ ）结构， （b）是（ ）结构，
（c）是（ ）结构， （d）是（ ）结构。
4、塑性材料拉伸试应力超过屈服极限后逐渐卸载，短时间后再重新加载其 将得到提高，而 变形将减小。
5、一圆截面直杆，两端承受拉力作用，若将其直径增大一倍，其他条件不变，则其轴力 (变或不变)；其应力是本来的 倍；其抗拉刚度将是本来的 倍；其伸长量是本来的 倍。
计算题
计算题
1、组合梁受力和约束如图，其中q=1kN/m, M=4kN·m, 不计梁的自重。求支座A和D处的约束力。
2m
2m
2m
2m
B
C
D
A
q
M

C
D
q
M
RD
RC
(1) 取CD杆研究

(2) 取整体研究
B
C
D
A
q
M
RD

RB

RA

3、第四题（15分）图示刚架中，AB为直角弯杆。已知q=3kN/m， P=6kN, M=10kN·m， 不计刚架自重。求固定端A处的约束力。
4m
B
A
3m
q
M
P

结构的尺寸及载荷如图所示。求：支座A处的约束反力和杆BF、 杆DE的受力。

A
C
D
E
P=20 kN
F
XA
FBF
YA
A
B
C
1m
1m
D
E
P=20 kN
1m
1m
F

解：研究ACEF,画受力图，列方程
C
E
F
FBF
FDE
XA
YA

由 可知杆BF受大小为10KN的压力
再研究杆CEF,画受力图，列方程

拉压杆
图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。
B
A
F1
F2
C
2
1
2
1

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，运用正应力相同；

1、如图所示托架，AB为圆钢杆cm，BC为正方形木杆a=14cm。杆端均用铰链连接。在结点B作用一载荷P=60kN。已知钢的许用应力=140MPa。木材的许用拉、压应力分别为=8MPa，Mpa，试校核托架能否正常工作。

解 （1）校核托架强度

由 ，
解得 kN
由 ，
解得 kN
杆AB、BC的轴力分别为kN, kN，即杆BC受压、轴力负号不参与运算。
钢杆 Mpa<140Mpa=
木杆 Mpa>3.5Mpa=
故木杆强度不够，托架不能安全承担所加载荷。
2、AC、BC为钢杆，横梁AB为刚体，P=20kN；AC、BC横截面的面积为A＝100mm2，E=200GPa，［σ］=120MPa
（1） 校核两杆的强度
（2） 求P力作用点F的位移

F
D
C
B
A
2m
1m
1m
P
1m
NBD
NAC
F
B
A
P
ΔlA
ΔlB
F'
ΔlF

(1) 强度校核

(2) 求F点的位移

一铰接结构由杆AB和AC组成如图所示。杆AC的长度为杆AB的两倍，横截面面积均为mm2。两杆材料相同，许用应力MPa，试求结构的许可载荷。

解：
由：
可以得到： ，即AC杆比AB杆危险，故
kN
kN
由：
可求得结构的许可荷载为 kN

1、某传动轴受力如图所示。已知轴的转速n =300r/min，积极轮输入功率P1=367kW，三个从动轮输出功率P2= P3＝110kW, P4=147kW。若轴的许用应力，试设计轴的直径d 。
m2
m3
m1
m4

2、一电机的传动轴传递的功率为30kW，转速为1400r/min，直径为40mm，轴材料的许用切应力=40Mpa，剪切弹性模量G=80GPa，，许用单位扭转角=1º/m，试校核该轴的强度和刚度。
解 （1）计算扭矩
N·m
（2）强度校核
由式（8-28）有
Mpa<40Mpa=
（3）刚度校核
由式（9-11）有
º/m<1º/m=
该传动轴即满足强度条件又满足刚度条件
 3、图示等直圆杆，已知外力偶矩 ， ， 许用切应力 ，许可单位长度扭转角 ，切变模量 。试拟定该轴的直径d。

解：扭矩图如图（a）
   （1）考虑强度，最大扭矩在BC段，且 

      （1）
    (2）考虑变形

    （2）
比较式（1）、（2），取
4、一传动轴如图所示，已知轴的直径d=4.5cm，转速n=300r/min。积极轮输入功率,从动轮B、C、D输出的功率,分别为：,,, , 试校核该轴的强度和刚度。
B
A
C
D
MB
MA
MC
MD

弯曲
1、简支梁约束及尺寸如图： 1、试求A、B的约束力；2、列出BC的剪力、弯矩方程； 3、画出该梁的剪力、弯矩图。
2m
A

B

2m

C

x
RA
RB
2kN
2kN
4kN·m
1kN·m

(1) 求支反力

(2) 列剪力和弯矩方程

图示矩形截面钢梁，承受集中载荷F与集度为q的均布载荷作用，试拟定截面尺寸b。已知载荷F=10 kN，q=5 N/mm，许用应力[σ] =160 Mpa。
1m
m
B

A

q

F

1m
m
1m
m
b

2b

RA

RB

解：(1) 求约束力：

(2) 画出弯矩图：
x
M
3.75kNm
2.5kNm
(+)
(-)

(3) 依据强度条件拟定截面尺寸

解得：

1、已知平面应力状态如图所示（单位为MPa），求主应力及最大切应力的值。