工程力学复习知识点.doc

一、静力学
1.静力学基本概念
（1）刚体
刚体：形状大小都要考虑的，在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始终保持不变的物体。在静力学中，所研究的物体都是指刚体。所以，静力学也叫刚体静力学。
（2）力
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态改变（外效应）和形状发生改变（内效应）。在理论力学中仅讨论力的外效应，不讨论力的内效应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，因此力是定位矢量，它符合矢量运算法则。
力系：作用在研究对象上的一群力。
等效力系：两个力系作用于同一物体，若作用效应相同，则此两个力系互为等效力系。
（3）平衡
物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。
（4）静力学公理
公理1（二力平衡公理）作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件为等大、反向、共线。
公理2（加减平衡力系公理）在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系，不改变原力系对刚体的外效应。
推论（力的可传性原理）作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点，而不改变它对刚体的效应。
在理论力学中的力是滑移矢量，仍符合矢量运算法则。因此，力对刚体的作用效应取决于力的作用线、方向和大小。
公理3（力的平行四边形法则）作用于同一作用点的两个力，可以按平行四边形法则合成。
推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用而平衡时，若其中任何两个力的作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用线在同一个平面内。
公理4（作用与反作用定律）两个物体间相互作用力同时存在，且等大、反向、共线，分别作用在这两个物体上。
公理5（刚化原理）如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此物体转换成刚体，其平衡状态不变。可见，刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡是必要的，但不一定是充分的。
（5）约束和约束力
1）约束：阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构成的。
2）约束力：约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方向相反。表4.1-1列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的表示法。其中前7种多见于平面问题中，后4种则多见于空间问题中。

表4.1-1 工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示
约束类型
约束简图
约束力矢量图
约束力描述
柔索类

作用点：物体接触点
方位：沿柔索
方向：背离被约束物体
大小：待求
这类约束为被约束物体提供拉力。
A

TB
TA
A

光滑面接触

单面约束：
作用点：物体接触点
方位：垂直支撑公切面
方向：指向被约束物体
大小：待求
这类约束为物体提供压力。
A

A
NA

NA
NA

双面约束：假设其中一个约束面与物体接触，绘制约束力，不能同时假设两个约束面与物体同时接触。
作用点：物体接触点
方位：垂直共切面
方向：指向被约束物体
大小：待求
这类约束为物体提供压力。
短链杆（链杆）

作用点：物体接触点
方位：沿链杆两铰点的连线
方向：不定
大小：待求
中间铰（连接铰）

作用点：物体接触点，过铰中心
方位：不定
方向：不定
大小：待求
用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力
固定铰

作用点：物体接触点，过铰中心
方位：不定
方向：不定
大小：待求
用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力
辊轴支座（活动铰）

作用点：物体接触点，过铰中心
方位：垂直支撑面
方向：不定
大小：待求
固定端

在约束面内既不能移动也不能转动，用两个方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表示限制移动的力，用作用面与物体在同一平面内的、转向任意假设的集中力偶表示限制转动的力偶。
向心轴承

Y向可微小移动，用方位互相垂直、方向任意假设的两个分力，表示限制径向的移动
止推轴承

三个方向都不允许移动，用三个互相垂直的力表示限制的移动。
球形铰

空间任意方向都不允许移动，用方位相互垂直，方向任意的三个分力来代替这个约束力
空间固定端

三个轴向都不允许移动和转动，用三个方位相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束力，并用三个矢量方位相互垂直，转向任意的力偶代替限制转动的约束力偶
（6）受力分析图
受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是：
1）明确研究对象，解除约束，取分离体；
2）把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。
（7）注意事项
画约束力时，一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画，并在研究对象与施力物体的接触处画出约束力；会判断二力构件和三力构件，并根据二力平衡条件和三力汇交定理确定约束力的方位；对于方向不能确定的约束力，有时可利用平衡条件来判定；若取整体为分离体时，只画外力，不画内力，当需拆开取分离体时，内力则成为外力，必须画上；一定注意作用力与反作用力的画法，这些力的箭头要符合作用与反作用定律；在画受力分析图时，不要多画或漏画力，要如实反映物体受力情况；画受力分析图时，应注意复铰（链接两个或两个以上物体的铰）、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理方法。
2. 力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩
（1）力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影

式中：、、分别是沿直角坐标轴、、轴的基矢量；、、分别为沿直角坐标轴的分力；、、分别为在直角坐标轴、、轴上的投影，且分别为(如图4.1-1)

图4.1-1
式中：、、分别为与各轴正向间的夹角；则为在平面上的投影，如图4.1-1所示。
（2）力对点之矩（简称力矩）
在平面问题中，力对矩心的矩是个代数量，即

式中为矩心点至力作用线的距离，称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转动为逆时针方向时，上式取正号，反之则取负号。
在空间问题中，力对点之矩是个定位矢量，如图4.1-2，其表达式为
图4.1-2

力矩的单位为或。
（3）力对轴之矩
图4.1-3
力对任一轴之矩为力在垂直轴的平面上的投影对该平面与轴交点之矩，即

其大小等于二倍三角形的面积，正负号依右手螺旋法则确定，即四指与力的方向一致，掌心面向轴，拇指指向与轴的指向一致，上式取正号，反之取负号。显然，当力与矩轴共面（即平行或相交）时，力对轴之矩等于零。其单位与力矩的单位相同。
从图4.1-3中可见，的面积等于面积在平面（即面）上的投影。由此可见，力对轴之矩等于力对轴上任一点的矩在轴上的投影，或力对点的矩在经过点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。即

（4）合力矩定理
当任意力系合成为一个合力时，则其合力对于任一点之矩（或矩矢）或任一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩（或矩矢）或同轴之矩的代数和（或矢量和）。
力对点之矩矢
力对点之矩
力对轴之矩
3.汇交力系的合成与平衡
（1）汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。
（2）汇交力系合成结果
根据力的平行四边形法则，可知汇交力系合成结果有两种可能：其一，作用线通过汇交点的一个合力,为；其二，作用线通过汇交点的一个合力等于零，即，这是汇交力系平衡的充要条件。
（3）汇交力系的求解
求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法与解析法，如表4.1-2所示。对于空间汇交力系，由于作图不方便一般采用解析法。
表4.1-2 求解汇交力系的两种方法

合力
平衡条件
几何法
按力的多边形法则，得汇交力系的力的多边形示意图，其开口边决定了合力的大小和方位及指向，指向是首力的始端至末力的终端
力的多边形自行封闭
解析法
平面汇交力系

、轴不相互平行；有两个独立方程，可解两个未知量
空间汇交力系

、、轴不共面；有三个独立方程，可解三个未知量
4.力偶理论
（1）力偶与力偶矩
1）力偶：等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。
2）力偶的性质：力偶没有合力，即不能用一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶对物体只有旋转效应，没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只能与力偶等效或平衡。
3）力偶矩：力偶的旋转效应决定于力偶矩，其计算如表4.1-3所述。
表4.1-3 力偶矩的计算
平面力偶矩
空间力偶矩矢

逆时针转向取正号；反之取负号
大小：
方位：依右手螺旋法则，即四指与力的方向一致，掌心面向矩心，拇指指向为力偶矩矢的矢量方向。
代数量
自由矢量
力偶矩的单位：或
力偶的等效条件：
等效的力偶矩矢相等
推论1：只要力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意转动或移动，或从刚体的一个平面移
到另一个相互平行的平面上，而不改变其对刚体的旋转效应。
推论2：在力偶矩大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，
而不改变其对刚体的旋转效应。
力偶矩与力对点之矩的区别：力偶矩与矩心位置无关，而力对点之矩与矩心位置有关
表中，为组成力偶的力的大小，为力偶中两个力作用线间的垂直距离，称为力偶臂。
（2）力偶系的合成与平衡
力偶系合成结果有两种可能，即一个合力偶或平衡。具体计算时，通常采用解析法，如表4.1-4所述。
表4.1-4 力偶的合成与平衡的解析法
平面力偶系
空间力偶系
合成
合力偶

平衡

平衡方程

可求解一个未知量

、、轴不共面；可求解三个未知量
表中，、、分别为力偶矩矢在相应坐标轴上的投影。
注意，力偶中两个力和，对任一轴之矩的和等于该力偶矩矢在同一轴上的投影，即

式中，为矢量与轴的夹角。
（3）汇交力系和力偶系的平衡问题
首先选取分离体；然后画分离体受力分析图，在分析约束力方向时，注意利用力偶只能与力偶相平衡的概念来确定约束力的方向；接下来，列写平衡方程，对于力的投影方程，尽量选取与未知力垂直的坐标轴，使参与计算的未知量的个数越少越好，尽量使一个方程求解一个未知量，而力偶系的平衡方程与矩心的选取没有关系，注意区分力偶的矢量方向或是转向，确定好投影的正方向；最后求出结果，结果的绝对值表示大小，正负号表示假设方向是否与实际的指向一致，正号代表一致，负号则表示相反。
5.一般力系的简化与平衡
（ 1）力线平移定理
作用在刚体上的力，若其向刚体上某点平移时，不改变原力对刚体的外效应，必须对平移点附加一个力偶，该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。
同理，根据力的平移定理可得：共面的一个力和一个力偶可合成为一个合力，合力的大小、方向与原力相等，其作用线离原力作用线的距离为。
（2）任意力系的简化
1）简化的一般结果
根据力线平移定理，可将作用在刚体上的任意力系向任一点Ｏ（称为简化中心）简化，得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系，进而可以合成为一个力和一个力偶。该力等于原力系向简化中心简化的主矢，该力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
主矢 作用线通过简化中心
主矩
注：主矢的方向和大小与简化中心无关，只与原力系中各个分力相关，其作用线仍通过简化中心；主矩一般与简化中心的位置有关。
2）简化的最后结果
任意力系向一点简化后的最后结果，见表4.1-5。
表4.1-5 任意力系向一点的简化的最后结果
主矢
主矩
最后结果
说明

或
平衡
任意力系的平衡条件
或
合力偶
此主矩与简化中心无关

或
合力
合力的作用线过简化中心

合力的作用线离简化中心的距离为

力螺旋
力螺旋中心轴（力的作用线）过简化中心
与成角
力螺旋中心轴（力的作用线）离简化中心的距离为
3）平行分布的线载荷的合成
①平行分布线载荷和线载荷集度
平行分布线载荷：沿物体中心线分布的平行力，简称线载荷。
线载荷集度：沿单位长度分布的线载荷，以表示，其单位为或。
②同向线荷载合成结果
同向线荷载合成结果为一个合力，该合力的大小和作用线位置依据合力投影定理和合力矩定理求得。
均匀分布和线性分布的线载荷合成结果如表4.1-6所述。
表4.1-6 线载荷合成结果

均匀分布的线载荷
线性分布的线载荷
力学简图

合成结果
作用在分布线长度中点的一个合力，其作用线的方向与线载荷的方向一致
作用在距离线载荷集度为零的分布长度的处，也就是距离线载荷集度最大的分布长度的处，其作用线的方向与线载荷的方向一致
大小

（3）力系的平衡条件与平衡方程
任意力系平衡条件：力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零，即

表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但应当指出，在空间力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。
表4.1-7 力系的平衡方程
力系名称
平衡方程的表示形式
独立方程的数目
平面力系
汇交力系
标准式
一力矩式
二力矩式
2

说明
（、轴不平行，不重合）
(点和汇交点的连线不能垂直轴)
(、连线不能通过汇交点)
力偶系

1
平行力系
标准式
二力矩式
2

说明
（轴不能垂直各力）
(、连线不能和各力平行)
任意力系
标准式
二力矩式
三力矩式
3

说明

（、轴不平行，不重合）
(、连线不能垂直轴)
(、、三点不共线)
空间力系
汇交力系
标准式
一力矩式
二力矩式
三力矩式
3

说明
(任意两根轴不能平行、重合)
(轴不能通过汇交点；轴不能垂直轴和轴所组成的平面；轴和汇交点所组成的平面不能垂直轴和轴组成的平面)
(、轴不能通过汇交点；不能在、轴上
找到两点、,使、和汇交点共线；如、轴有交点,则轴不能垂直此交点和汇交点的连线)
(、、三轴没有共同交点；如有一直线经过汇交点且和、两轴有交点,则此直线不能为轴；轴也不能和经过汇交点且和、两轴有交点的直线平行或相交；从汇交点不能引一直线
和、、三轴相交)
力偶系
标准式
3

平行力系
标准式
三力矩式
3

说明
(轴平行各力,面垂直轴)
(、、三条轴不能有共同交点；如果、轴有交点,经过点平行各力的直线为,则轴不能和直线共面;三条轴中任两条轴都不能共面;不能作出与三条轴都相交且平行的直线)
任意力系
标准式
四力矩式
五力矩式
六力矩式
6

说明
（、、三轴不能平行,重合）
(轴不能和轴共面)
（、不能在所在平面
内; 、不能都和或轴相交,也不能和或轴共面）
(轴与不共面,平面不过点)
注：建议各力系的平衡方程用表格中的标准式。
6.物体系统的平衡
（1）静定与静不定问题
1）静定问题
若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论，就可以求得全部未知量的问题，如图4.1-4（a）。
2）静不定（超静定）问题
若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论就不能求出全部未知量的问题，如图4.1-4（b）。静不定问题仅用刚体平衡方程式不能完全求解所有未知量，还需考虑作用与物体上的力与物体变形的关系，再列出某些补充方程来求解。静不定问题已超出了理论力学所能研究的范围，将留待材料力学、结构力学等课程中取研究。
图4.1-4

3）静不定次（度）数
在超静定结构中，总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数
（2）物体系统平衡问题的解法和步骤
1）判断物体系统是否属于静定系统。物体系统是否静定，仅取决于系统内各物体所具有的独立平衡方程的个数以及系统未知量的总数，而不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。若由个物体组成的静定系统，且在平面任意力系作用下平衡，则该系统总共可列出个独立平衡方程能解出个未知量。当然，若系统中某些物体受其他力系作用时，则其独立平衡方程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。
2）选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。根据已知条件和待求量，可以选取整个系统为研究对象，也可以取其中的某些部分或是某一物体为研究对象。
3）分析研究对象的受力情况并画出受力分析图。在受力分析图上只画外力而不画内力。在各物体的拆开出，物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。画物体系统中某研究对象的受力分析图时，不能将作用在系统中其他部分上的力传递、移动和合成。
4）列出平衡方程。平衡方程要根据物体所作用的力系类型列出，不能多列。为了避免解联立方程，应妥当地选取投影轴和矩轴（或矩心）。投影轴应尽量选取与力系中多数未知力的作用线垂直；而矩轴应使其与更多的未知力共面（矩心应选在多数未知力的交点上）。力求做到一个平衡方程中只包含一个未知量。
5）由平衡方程解出未知量。若求得的约束力或约束力偶为负值。说明力的指向或力偶的转向与受力分析图中假设相反。若用它代入另一个方程求解其他未知量时，应连同其负号一起代入。
6）利用不独立平衡方程进行校核。
7.平面桁架
（1）定义
由若干直杆在两端用铰链彼此连接而成几何形状不变的结构成为桁架。杆件与杆件的连接点称为节点。所有杆件的轴线在同一平面内的桁架称为平面桁架，否则称为空间桁架。
（2）对于桁架的分析计算作如下假设
1）各杆件都用光滑铰链连接。
2）各杆件都是直杆。
3）杆件所受的外载荷都作用在节点上。对于平面桁架各力作用线都在桁架平面内。
4）各杆件的自重或略去不计，或平均分配到杆件两端的节点上。
根据以上假设，桁架中各杆件都是二力构件，只受到轴向力作用，受拉或受压。
（3）平面桁架内力的计算方法
分析桁架的目的就在于确定各杆件的内力，通常有两种计算桁架内力的方法，如表4.1-8所述。当需要计算桁架中所有杆件的内力时，可采用节点法；若仅计算桁架中某几根杆件的内力，一般以截面法较为方便，但有时也可综合应用节点法和截面法。在计算中，习惯将各杆件的内力假设为拉力。若所得结果为正值，说明杆件是拉杆，反之则为压杆。
表4.1-8 平面桁架内力计算方法

节点法
截面法
研究对象
取节点为研究对象
将桁架沿某个面截成两部分，取其中一部分为研究对象
平衡方程
应用平面汇交力系平衡方程求解桁架内力
应用平面任意力系平衡方程求解桁架内力
为简化计算，一般先要判断桁架中的零力杆（内力为零的杆件），对于表4.1-9所述的三种情况，零力杆可以直接判断出。
表4.1-9桁架零力杆的判断
节点类型
特点
条件
图示
判断
型节点
节点上连接两根杆件，且只有两根杆件不重合、不共线
节点上不受力

两杆全是零力杆
节点受一集中力，其方位与其中一根杆件的轴线共线

杆件轴线不与力方位重合的杆件为零力杆
型节点
节点上连接三根杆件只有三根杆件，其中两根杆件的轴线共线，另一根杆件与这两根杆件不重合
节点上不受力

杆件轴线不与两根轴线共线杆件重合的杆件为零力杆
9.物体的重心
（1）物体的重心是一确定的点，它与物体在空间的位置有关。
（2）物体的重心坐标公式
1）或
式中：、、表示物体重心的坐标；及表示各微小部分的重量；、、及、、表示各微小部分重心所在位置的坐标；表示物体的总重量。
2）当物体在同一近地表面时，其重心就是其质心，则质心坐标公式为
或
式中：、、表示物体质心的坐标；及表示各微小部分的质量；、、及、、表示各微小部分质心所在位置的坐标；表示物体的总质量。
3）当物体在同一近地表面及均质时，其重心就是体积中心，则体积中心的坐标公式为
或
式中：、、表示物体体积中心的坐标；及表示各微小部分的体积；、、及、、表示各微小部分体积中心所在位置的坐标；表示物体的总质量。
4) 当物体在同一近地表面、均质及等厚薄板时，其重心就是形心，则形心的坐标公式为
或
式中：、、表示物体形心的坐标；及表示各微小部分的面积；、、及、、表示各微小部分形心所在位置的坐标；表示物体的总面积。
一、轴向拉伸与压缩
（一）考试大纲
1．材料在拉伸、压缩时的力学性能
　　低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力-应变曲线；力学性能指标。
2．拉伸和压缩
　　轴力和轴力图；杆件横截面和斜截面上的应力；强度条件；胡克定律；变形计算。
（二）考点主要内容
　　要求：
①了解轴向拉（压）杆的受力特征与变形特征；
②了解内力、应力、位移、变形和应变的概念；
③掌握截面法求轴力的步骤和轴力图的作法；
④掌握横截面上的应力计算，了解斜截面上的应力计算；
⑤熟悉胡克定律及其应用、拉（压）杆变形计算；
⑥了解常用工程材料（低碳钢、铸铁）拉（压）时的力学性能，掌握强度条件的应用。
1. 引言
1) 材料力学的任务
材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性计算的学科。这些计算是工程师选定既安全又最经济的构件材料和尺寸的必要基础。
强度是指构件在荷载作用下抵抗破坏的能力。
刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力。
稳定性是指构件保持其原有平衡形式的能力。
2) 变形固体的基本假设
各种构件均由固体材料制成。固体在外力作用下将发生变形，故称为变形固体。材料力学中对变形固体所作的基本假设如下。
①连续性假设：组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。
②均匀性假设：在固体的体积内，各处的力学性能完全相同。
③各向同性假设：在固体的各个方向上有相同的力学性能。
④小变形的概念：构件由荷载引起的变形远小于构件的原始尺寸。
3) 杆件的主要几何特征
杆件是指长度L远大于横向尺寸（高度和宽度）的构件。这是材料力学研究的主要对象。杆件的两个主要的几何特征是横截面的轴线。
①横截面：垂直于杆件长度方向的截面。
②轴线：各横截面形心的连线。
若杆的轴线为直线，称为直杆。若杆的轴线为曲线，称为曲杆。
2. 轴向拉伸与压缩

图5-1-1
轴向拉伸与压缩杆件的力学模型，如图5-1-1所示。
①受力特征：作用于杆两端的外力的合力，大小相等、指向相反、沿杆件轴线作用。
②变形特征：杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短）。
3. 轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力
1) 内力
内力是由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。
2) 截面法
截面法是求内力的一般方法。用截面法求内力的步骤如下。

①截开：在须求内力的截面处，假想沿该截面将构件截开分为二部分。
②代替：任取一部分为研究对象，称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。
③平衡：对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。
截面法的图示如图5-1-2所示。

图5-1-2
3) 轴力
轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以或N表示。轴力规定以拉力为正，压力为负。
4) 轴力图
轴力图是表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线，如图5-1-3。
4. 轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力。正应力在整个横截面上均匀分布，如图5-1-4所示，其表示为
(5-1-1)
式中：为横截面上的正应力，N/m2或Pa；为轴力，N；A为横截面面积，m2。
F
2F

F
FN
x
(+)
(-)
F

5. 轴向拉压杆斜截面上的应力
斜截面上的应力均匀分布，如图5-1-5，其总应力及应力分量为
总应力 　　　 (5-1-2)
正应力 　　 (5-1-3)
切应力 　　 (5-1-4)
式中：为由横截面外法线转至截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；为斜截面m-m的截面积；为横截面上的正应力。以拉应力为正，压应力为负。以其对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。
轴向拉压杆中最大正应力发生在的横截面上，最小正应力发生在的纵截面上，其值分别为

最大切应力发生在的斜截面上，最小切应力发生在的横截面和的纵截面上，其值分别为

图5-1-5
6. 材料的力学性能　
1) 低碳钢在拉抻时的力学性能
低碳钢拉伸时的应力-应变曲线如图5-1-6所示。

图5-1-6 低碳钢拉伸时的应力—应变曲线
这一曲线分四个阶段，有四个特征点，见表5-1-1。
表5-1-1
阶段
图5-1-6中线段
特征点
说明
弹性阶段
Oab
比例极限
弹性极限
为应力与应变成正比的最高应力；
为不产生残余的最高应力
屈服阶段
bc
屈服强度
为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力
强化阶段
ce
抗拉强度
为材料在断裂前所能承受的最大名义应力
局部变形阶段
ef

产生颈缩现象到断裂
应力－应变曲线上还有如下规律：
①卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，如图5-1-6中的直线。
②冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限提高
而塑性降低的现象，称为冷作硬化，如图5-1-6中曲线，在图5-1-6中，段表示未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变；段表示经冷作硬化，再拉伸到断裂后的塑性应变。
主要性能指标表5-1-2。
表5-1-2 主要性能指标表
性能
性能指标
说明
弹性性能
弹性模量Ｅ
当≤时，
强度性能
屈服强度
材料出现显著的塑性变形
抗拉强度
材料的最大承载能力
塑性性能
延伸率
材料拉断时的变形程度
截面收缩率
材料的塑性变形程度

2) 低碳钢的力学性能
低碳钢在压缩时的应力—应变曲线如图5-1-7中实线所示。
低碳钢压缩时的比例极限、屈服强度、弹性模量Ｅ与拉伸时基本相同，但测不出抗拉强度。
3) 铸铁拉伸时的力学性能
铸铁拉伸时的应力-应变曲线如图5-1-8所示。

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，实验时只能测到抗拉强度。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。
4) 铸铁压缩时的力学性能
铸铁压缩时的应力－应变曲线如图5-1-9所示。
铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4~5倍，破坏时破裂面与轴线成角，宜于作抗压构件。
5) 塑性材料和脆性材料
延伸率的材料称为脆性材料。
6) 屈服强度
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以表示，如图5-1-10所示。

7. 强度条件
1) 许用应力
材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。
塑性材料　　
脆性材料　　
式中：为屈服强度；为抗拉强度；ns、nb为安全系数。
2) 强度条件
构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为

强度计算的三大类问题：
强度校核　
截面设计　
确定许可荷载　，再根据平衡条件，由计算。
8. 轴向拉压杆的变形　胡克定律
1) 轴向拉压杆的变形
杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短；而在轴向压缩时，轴向缩短，横向伸长，如图5-1-11所示。

轴向变形　 　 　 (5-1-8)
轴向线应变　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (5-1-9)
横向变形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(5-1-10)
横向线应变　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(5-1-11)
2) 胡克定律
当应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比，即

式中 E为材料的弹性模量。
或用轴力及杆件变形量表示为

式中：为杆的抗拉(压)刚度，表示抗拉压弹性变形的能力。
3) 泊松比
当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与轴向线应变之比的绝对值为一常数，即

泊松比是材料的弹性常数之一，无量纲。
二、剪切
（一）考试大纲
剪切和挤压的实用计算；剪切面；挤压面；抗剪强度；挤压强度。
（二）考点主要内容
要求：
①熟悉连接件与被连接件的受力分析；
②准确判定剪切面与挤压面，掌握剪切与挤压的实用计算；
③准确理解切应力互等定理的意义，了解剪切胡克定律及其应用。
1. 剪切的概念及实用计算
(1) 剪切的概念

剪切的力学模型如图5-2-1所示。
①受力特征：构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。
②变形特征：构件沿内力的分界面有发生相对错动的趋势。
③剪切面：构件将发生相对错动的面。
④剪力：剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行，用或表示。
(2) 剪切实用计算
1) 名义切应力
假定切应力沿剪切面是均匀分布的。若为剪切面面积，为剪力，则名义切应力为
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(5-2-1)
2) 许用切应力
按实际的受力方式，用实验的方法求得名义剪切极限应力，再除以安全因数n。
3) 剪切条件
剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力
　 (5-2-2)
2. 挤压的概念及实用计算
(1) 挤压的概念
①挤压：两构件相互接触的局部承压作用。
②挤压面：两构件间相系接触的面。
③挤压力：承压接触面上的总压力。
(2) 挤压实用计算
1) 名义挤压应力
假设挤压力在名义挤压面上均匀分布，则名义挤压应力为
　　　　　　　　　 (5-2-3)
式中：Abs为名义挤压面面积。当挤压面为平面时，则名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压面为曲面时，则名义挤压面面积各取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积，如图5-2-2所示。

键的名义挤压面面积

铆钉的名义挤压面面积为

2) 许用挤压应力
根据直接实验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力，再除以安全系数。
3) 挤压强度条件
挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力，即

3. 切应力互等定理　剪切胡克定律
(1) 纯剪切
①纯剪切：若单元体各个侧面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切。纯剪切引起的剪应变，如图5-2-3所示。
②剪应变：在切应力作用下，单元体两相互垂直边间直角的改变量。单位为rad，无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时，为正，反之为负。
(2) 切应力互等定理
在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的切应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线（图5-2-3），即

(3) 剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与剪应变成正比，即

式中G为剪切弹性模量。
对各向同性材料，E、G、间只有二个独立常数，它们之间的关系为

三、扭转
（一）考试大纲
扭矩和扭矩图；圆轴扭转切应力；切应力互等定理；剪切胡克定律；圆轴扭转的强度条件：扭转角计算及刚度条件。
（二）考点主要内容
要求：
①了解杆件产生扭转变形的受力特征与变形特征；
②了解传动轴的外力偶矩计算，掌握求扭矩和作扭矩图的方法；
③掌握横截面上切应力分布规律和切应力的计算；
④掌握圆截面极惯性矩、抗扭截面系数计算公式。
1. 扭转的概念
(1) 扭转的力学模型

扭转的力学模型如图5-3-1所示。

①受力特征：杆两端受到一对力偶矩相等、转向相反、作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。
②变形特征：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
③扭转角：杆件任意两横截面间相对转动的角度。
(2) 外力偶矩的计算
轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系：
　 　　　 　　　　　　　 　(5-3-1)
　 (5-3-2)
式中：传递功率N的单位为千瓦（kW）或公制马力（，）；转速n的单位为转每分（r/min），Me的单位为kN·m。
2. 扭矩和扭矩图
①扭矩：受扭杆件横截面上的内力，是一个横截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用表示，见图5-3-2，其值用截面法求得。
②扭矩符号：扭矩的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，当矢量的指向与截面外向的指向一致时，扭矩为正，反之为负。
③扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
3. 圆杆扭转时的切应力及强度条件
(1) 横截面上的切应力
1) 切应力分布规律
横截面上任一点的切应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图5-3-3。

2) 切应力计算公式
横截面上距圆心为的任一点的切应力
　　　　　 　　　　　　　　　　(5-3-3)
横截面上的最大切应力发生在横截面周边各点处其值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5-3-4)
3) 切应力计算公式的讨论
①公式适用于线弹性范围（≤），小变形条件下的等截面实心或空心圆直杆。
②为所求截面上的扭矩。
③Ｉp称为极惯性矩，Ｗt称为抗扭截面系数，其值与截面尺寸有关。

对于实心圆截面（图5-3-4(a)）
　　　　　　　　　　　　　　　(5-3-5)　
对于空心圆截面（图5-3-4(b)）
　 (5-3-6)
其中：。
(2) 圆杆扭转时的强度条件
强度条件：圆杆扭转时横截面上的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即
　 　≤　　　　　　　　　　　　　　(5-3-7)
由强度条件可对受扭圆杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。
4. 圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件
(1) 圆杆的扭转角计算
单位长度扭转角
　　 　 　 　　　　　　(5-3-8)
式中：的单位为
扭转角
　　 　　　　　　　　　　　　 (5-3-9)
式中：的单位为
若长度LＬ内T、G、IP均为常量，则
(5-3-10)
公式适用于线弹性