章节复数与复变函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程山东大学数学院主讲：主讲：郑修才郑修才10/10/1山东大学数学院第1页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算1.2 1.2 复平面上曲线和区域复平面上曲线和区域1.3 1.3 复变函数复变函数1.4 1.4 复变函数极限和连续性复变函数极限和连续性第2页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算一、复数概念一、复数概念1、产生背景数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为实部与虚部。第3页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、复数表示法二、复数表示法1 1、(复平面上复平面上)点表示点表示-用坐标平面上点用坐标平面上点r(1)此时坐标面（称为复平面）与直角坐标平面区分与联络。第4页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、(复平面上复平面上)向量表示向量表示-（1）模 长度 ，记为 ，则（2）辐角()与 轴正向夹角 (周期性)第5页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform辐角主值辐角主值:注注注注其中主值确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示）式或借助复数向量表示.第6页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3 3、三角（或极坐三角（或极坐标标）表示）表示-由由得得欧拉公式5、代数表示-第7页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 复数各种表示可相互转换在不一样运算中可选择不一样表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示-将扩充复平面中全部复数唯一表示为一个点，则全部复数与复球面上点建立一一对应关系。第8页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、复数运算三、复数运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo第9页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform四、复数四、复数n n次方根次方根n个值恰为以原点为中心，内接正边形顶点，当时，为半径圆周称为主值。第10页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序；而复答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序；而复数是无序，所以不能比较大小。数是无序，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数特例），不妨取一致，（因为实数是复数特例），不妨取0 0和和i i加以讨论：加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为何？复数能否比较大小，为何？注：复数模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可注：复数模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小比较大小。第11页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、复数能够用向量表示，则复数运算与向量、复数能够用向量表示，则复数运算与向量 运算是运算是否相同？否相同？答：有相同之处，但也有不一样之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不一样，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算几何意义不一样。第12页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform经经典例典例题题例例1 1、判断以下命、判断以下命题题是否正确？是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）（）（）（）第13页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、求以下复数模与、求以下复数模与辐辐角角（1）（2）（3）（4）第14页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解（解（1 1）（2 2）第15页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（3）(4)第16页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例3 3、求满足以下条件复数、求满足以下条件复数z z：（1）（3）（2）且且第17页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第18页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第19页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例4 4 求方程求方程根。并将根。并将分解因式。分解因式。解 ，则其余三个根即为所求得由第20页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第21页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform1.2 1.2 复平面上曲线和区域复平面上曲线和区域一、复平面上曲线方程一、复平面上曲线方程平面曲线有直角坐标方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。第22页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform由代入知曲线C方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C参数方程等价于复数形式 。第23页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线第24页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、区域三、区域 1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域连通开集。第25页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform属于D内任一条简单闭曲线，在D内能够经过连续变形而收缩成一点。注：注：闭区域闭区域，它不是区域。，它不是区域。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相交点集：有界区域称为交点集：有界区域称为 C C内部；无界区域，称为内部；无界区域，称为 C C外部；外部；C C，称为内部与外部边界。，称为内部与外部边界。（经典例题见教材（经典例题见教材例例1.2.1，例，例1.2.2）第26页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform1.3 1.3 复变函数复变函数一、复变函数概念一、复变函数概念1、定、定义义对对于集合于集合G中中给给定定 ，总有一个（或几个）确定复数，总有一个（或几个）确定复数 与之对应，并称与之对应，并称G为定义集合，而为定义集合，而称为函数值集合称为函数值集合(值域值域).分类分类第27页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2、复变函数、复变函数 与实函数关系与实函数关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3 3、复变函数单值性讨论、复变函数单值性讨论第28页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform教材教材P12（例（例1.3.2)1.3.2)是否是否为单值为单值函数函数 令令 则 均为单值实二元函数 是单值函数。故 第29页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform教材(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值实二元函数方法二、见教材第30页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、映射二、映射复变函数几何图形表示复变函数几何图形表示第31页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 函数函数在几何上能够看着是把在几何上能够看着是把 z 平面上一个点集平面上一个点集 G（定义域）（定义域）变变到到 w 平面上一个点集平面上一个点集 G*（值值域）域）一个映射（或映照）。一个映射（或映照）。与 G 中点为一一对应映射为双射映射为双射第32页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform典典 型型 例例 题题例例1、求、求z 平面上以下平面上以下图图形在映射形在映射下象。下象。第33页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解解(1)(1)乘法模与辐角定理乘法模与辐角定理Howcomplextheexpressionare!第34页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transformuv4i图a虚虚轴轴上从点上从点0到到4i一段（一段（见图见图a）。）。(1)记记，则则即即w平面内平面内4图b（3）见见教材教材例例1.3.4（3）第35页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform映为（4 4）将直将直线线建立建立所所满满足象曲足象曲线线方程方程，消，消，是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左抛物点，开口向左抛物线线（见图见图c1)c1)vu图图c12其是以原点其是以原点为为焦点，焦点，开口向右抛物线（见图开口向右抛物线（见图c2c2）。）。将将线线映映为为，消，消x 得得第36页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、求以下曲求以下曲线线在映射在映射下象下象解法一解法一（1 1）消 x,y 建立 u,v 所满足象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程第37页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（2）代入原象曲线方程，得w平面内一条直线。第38页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解法二解法二代入原象方程得代入原象方程得 化化为实为实方程形式方程形式 （2 2）留作）留作练习练习。第39页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第40页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第41页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 1.4 1.4 复变函数极限和连续性复变函数极限和连续性第42页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第43页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第44页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第45页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform本章难点与重点本章难点与重点第46页张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform注注：分析中，习惯把变量之间对应关系称为函数；几何中，习惯把变量之间对应关系称为映射；代数中，习惯把变量之间对应关系称为变换。在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是看作是z z平面上集合平面上集合G G与与w w平面上集合平面上集合G*G*之间一个对应。之间一个对应。第47页